精品解析：湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

曾都一中2025年秋高二10月月考 数学试题 命题人：刘晓峰 审题人：钟于建、余虹吟、姜华红 范围（必修二第十章概率，选择性必修1第一章空间向量与立体几何，第二章直线的方程） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 2. 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线过原点，相互垂直直线间的斜率关系，平移知识，可得到所求直线. 【详解】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为， 再将该直线向右平移1个单位可得：，即. 故选：A. 3. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 5. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 6. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断. 【详解】解：当时，：，：，，可得两直线平行； 若与平行，则，解得或舍， 故为充要条件， 故选：C. 7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 8. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），①.②为定值.③的最大值为.④|的最大值为，以上命题为真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出直线l1，l2所过的定点A，B的坐标.并由直线方程得，所以，为定值；由基本不等式可求出的最大值，及的最大值.对照已知命题逐个判断即可. 【详解】由，得. 由，得. 由，得. 由，得 . 所以. 由直线和直线，知. 所以.所以.所以，为定值. . 因为，所以，即的最大值为. 依次对照已知命题可知①②正确，③④错误.所以真命题的个数为2. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥 C. 若和互斥，则和一定相互独立 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由相互独立事件的定义可判断A；由相互独立事件和互斥事件的概念可判断B，C；举反例判断D，进而可得正确选项. 【详解】，为两个随机事件，且，， 对于A：由两个事件相互独立的定义知：若，则，相互独立，故选项A正确； 对于B：若和相互独立，则的发生对的发生的概率没有影响，所以和一定不互斥，故选项B正确； 对于C：若和互斥，则，若，相互独立则， 若和互斥，则和不相互独立，故选项C不正确； 对于D：设，则，， 则，，可得， 而，故选项D不正确. 故选：AB. 10. 下列说法在确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. 分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，当不同时为0时，方程表示直线；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，分截距为0和截距不为0两种情况，利用待定系数法进行求解；D选项，代入，得到，两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 即，故两平行线距离为，B正确； C选项，当截距为0时，设直线方程为，将代入得，故直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，将代入得， 则直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为或，C错误； D选项，直线与相交于点， 故， 两点确定一条直线，则过点，的直线方程为，D正确. 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故答案为： 13. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个； 同理由1，2，4组成的三位自然数共6个； 由1，3，4组成的三位自然数也是6个； 由2，3，4组成的三位自然数也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个． 由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”． 由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”． 所以三位数为”有缘数”的概率． 考点：1．分类加法；2．古典概型． 14. 已知，，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 四. 解答题 15. 已知一条动直线， （1）求直线恒过的定点的坐标； （2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将直线，变形得.解不等式组，可得定点的坐标； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出对应的m的取值范围，取其并集，可得到直线不经过第二象限时，m的取值范围. 【小问1详解】 由，得. 当时，无论取何值，方程成立. 解得，即. 所以直线恒过定点. 【小问2详解】 由（1）可知，直线恒过定点. 当时，直线的斜率不存在， 此时直线方程为，不经过第二象限； 当时，直线的斜率存在，且与轴有交点. 因为直线不经过第二象限，所以该直线的纵截距小于或等于零. 令，则，即 . 所以 .解得. 综上所述：m的取值范围是. 16. 已知的三个顶点分别为． （1）求边的中线和高所在直线的方程； （2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程； （2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程. 【小问1详解】 ①边的中点为，又直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为，即． ②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即， 由题意，原点到直线的距离为2，即，解得， 所求直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点． （1）求证：平面平面PAB； （2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时，求点C到平面AEF的距离． 【答案】（1）证明：因为，，则， 平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，因此，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得点C到平面AEF的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设，，其中， 易知平面的一个法向量为， 由已知可得，解得， 所以，为的中点，即， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为， 所以点C到平面AEF的距离为：. 18. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，，求的值； （2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； （3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义直接求解即可； （2）设动点为直线上一点，则.据此，将转化为的函数，利用函数的单调性求得的最小值，即； （3）设，根据曼哈顿距离的定义，求出点动点P围成的几何体形状，进而求得其表面积. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 设动点为直线上一点，则， 所以，即， 当时，单调递增，所以； 当时，单调递增，所以； 当时，单调递减，； 综上，，所以. 【小问3详解】 动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形， 其表面积为. 证明如下：设，因为，所以若，则. 当时，. 设，，，则. 所以， 所以，，，四点共面，所以当时，P在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理，对等边三角形内部任意一点，， 设，则. 所以，所以. 所以满足方程的点P，构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2025年秋高二10月月考 数学试题 命题人：刘晓峰 审题人：钟于建、余虹吟、姜华红 范围（必修二第十章概率，选择性必修1第一章空间向量与立体几何，第二章直线的方程） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 16 8. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），①.②为定值.③的最大值为.④|的最大值为，以上命题为真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥 C. 若和互斥，则和一定相互独立 D. 10. 下列说法在确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. 分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角______． 13. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是__________． 14. 已知，，则的最小值为_____. 四. 解答题 15. 已知一条动直线， （1）求直线恒过的定点的坐标； （2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围； 16. 已知的三个顶点分别为． （1）求边的中线和高所在直线的方程； （2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点． （1）求证：平面平面PAB； （2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时，求点C到平面AEF的距离． 18. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，，求的值； （2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； （3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $