精品解析：山东省菏泽市巨野县巨野县麒麟镇第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

山东省菏泽市巨野县巨野县麒麟镇第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】锐角三角函数的定义． 【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A． 2. 如图，某人沿着坡比 的斜坡前进了米，那么他上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】设BC=x，根据坡比的定义可得AC=2x，在直角△ABC中，利用勾股定理即可得到一个关于x的方程，即可求得BC的长． 【详解】设上升的高度是BC=x米， ∵i=1：2， ∴AC=2BC=2x， 根据勾股定理得：x2+（2x）2=52， 解得：x=， 故选D. 【点睛】本题考查了勾股定理，以及坡度的定义，理解定义熟练掌握勾股定理是解题关键． 3. 如图，是斜靠在墙上的长梯，是梯上一点，梯脚与墙角的距离为（即的长），点与墙的距离为（即的长），长为，则梯子的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用．因为，所以，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：假设梯子长，由题意得，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴梯子的长为． 故选：B． 4. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①所有的正三角形都相似； ②所有的正方形都相似； ③所有的等腰直角三角形都相似； ④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似的性质，对应角相等，对应边成比例，进行逐个分析，可知①②③明显正确，④不一定成立，⑤不一定成立，即可得解. 【详解】矩形的每个角都等于90°，即对应角相等，但对应边不一定成比例，所以④不正确；菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，所以⑤不正确.易知①②③正确.故选B. 【点睛】此题主要考查相似的性质，熟练掌握，即可解题. 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 6. 如图，路灯距地面米，身高米的小明从距离灯底（点）米的点处，沿所在直线行走米到达点时，小明身影长度（ ） A. 变长2.5米 B. 变短2米 C. 变短2.5米 D. 变短3米 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM的长，同理求出BN的长，再求出AM与BN的差即可. 【详解】∵OF⊥OM,DA⊥OM， ∴QF∥AD， ∴△ADM∽△OFM， ∴ ，即 ， 解得AM＝5cm； 同理可得，∵△BNE∽△ONF， ∴ 即 ， 解得BN＝2m， ∴AM－BN＝5－2＝3m. 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 7. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　） A. 海里/时 B. 30海里/时 C. 海里/时 D. 海里/时 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°-20°=60°， ∴∠C=90°， ∵AB=20海里， ∴AC=ABcos30°=10（海里）， ∴救援船航行的速度为：10÷=30（海里/小时）． 故选：D． 8. 如图，的直径为10，弦的长为8，M是弦上的动点，则的长的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂线段最短可知当时最短，当是半径时最长．根据垂径定理求最短长度． 【详解】解：由垂线段最短可知当时最短，即； 当是半径时最长，． 所以长的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________. 【答案】30° 【解析】 【详解】试题分析： 先由α为锐角，tan（90°﹣α）=，可得90°﹣α=60°，解得α=30°． 考点：特殊角的三角函数值 10. 在中，若∠A、∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性与偶次幂即可cosA =，sinB=，利用特殊角的三角函数可得∠A=60°，∠B=45°，从而即可得解． 【详解】解：∵|cosA－|＋(sinB－)2＝0， ∴cosA =，sinB= ∴∠A=60°，∠B=30° ∴∠C＝180°-60°-30°=90°， 故答案为90°． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性与偶次幂、特殊角的三角函数以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 11. 如图，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走，到达一个景点，再由沿山破行走到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于________．（结果用根号表示） 【答案】 【解析】 【分析】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，根据45°角可求出CE的长，根据30°角求出DE的长，求出ED和CE后相加即可求出CD． 【详解】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图： ∵△CBE是等腰直角三角形， ∴BE=CE=BC°=200=100m， ∵∠BAD=30°， ∴ED=BF=600°=600= 300m， ∴CD=CE+ED=300+100m， 故答案为300+100 【点睛】本题解直角三角形，应先分解图形；认清图形间的关系，并解直角三角形；利用其关系求解，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键. 12. 如图，中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由可证得，再结合即可得到、与的相似比，从而得到、与的面积比，即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴、与的相似比为， ∴、与的面积比为， ∴． 13. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是_____． 【答案】（-8，4）或（8，-4） 【解析】 【分析】由在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标． 【详解】∵点E（-4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大， ∴点E的对应点E′的坐标是：（-8，4）或（8，-4）． 故答案为（-8，4）或（8，-4）． 【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意位似图形有两个． 14. 在中，，D为边上一点且，在边上取一点E，使以点A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边比值相等的性质是解题的关键． 先作出图形，再根据三角形相似的性质分类讨论，即可解题． 【详解】解：作图如下， 根据题意得，当时，， ∵，， ∴， ∴， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：或． 15. 的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 16. 在中，，则与的大小关系为：_____．（填“、、”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，过点作交于点，连接，可得，，进而得到，由得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接， 则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（满分52分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，零指数幂，实数的混合运算．先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解： 18. 如图，有一段斜坡长为米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 （1）求坡高； （2）求斜坡新起点到原起点的距离精确到米 参考数据：，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）根据坡角的定义直接代入数值解答即可； （2）在中先求出长，． 【小问1详解】 在中，米． 【小问2详解】 在中，米； 在中，米 米． 答：坡高米，斜坡新起点与原起点的距离为米． 19. 如图，矩形内接于，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 由矩形性质可得，进而得到，由设，则，再根据三角形相似比等于高之比列出方程，解出x，最后求得的长度. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 设， 则． ∴． ∴． 解得：． 则． 20. 我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】没有居民需要搬迁． 【解析】 【分析】求出P点到MN的距离，比较P点到MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁． 【详解】过点P作PD⊥MN于D， ∴MD=PD•cot45°=PD，ND=PD•cot30°=PD， ∵MD+ND=MN=2， 即PD+PD=2， ∴PD==≈1.73﹣1=0.73＞0.6． 答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁． 21. 如图在中，点在边上，，，，求长．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，可得，即得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 【答案】 证明：设正方形的边长为， 则，，， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的简单应用．分别计算相关三角形的对应边的比例关系，根据相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】略 23. 如图，P是的弦延长线上的一点，，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点作于点，连接，先根据垂径定理可得，则可得，再在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市巨野县巨野县麒麟镇第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 2. 如图，某人沿着坡比 的斜坡前进了米，那么他上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，是斜靠在墙上的长梯，是梯上一点，梯脚与墙角的距离为（即的长），点与墙的距离为（即的长），长为，则梯子的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①所有的正三角形都相似； ②所有的正方形都相似； ③所有的等腰直角三角形都相似； ④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 6. 如图，路灯距地面米，身高米的小明从距离灯底（点）米的点处，沿所在直线行走米到达点时，小明身影长度（ ） A. 变长2.5米 B. 变短2米 C. 变短2.5米 D. 变短3米 7. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　） A. 海里/时 B. 30海里/时 C. 海里/时 D. 海里/时 8. 如图，的直径为10，弦的长为8，M是弦上的动点，则的长的取值范围（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________. 10. 在中，若∠A、∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝____． 11. 如图，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走，到达一个景点，再由沿山破行走到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于________．（结果用根号表示） 12. 如图，中，，，则______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是_____． 14. 在中，，D为边上一点且，在边上取一点E，使以点A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 15. 的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 16. 在中，，则与的大小关系为：_____．（填“、、”） 三、解答题（满分52分） 17. 计算：． 18. 如图，有一段斜坡长为米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 （1）求坡高； （2）求斜坡新起点到原起点的距离精确到米 参考数据：，， 19. 如图，矩形内接于，若，求的长． 20. 我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 21. 如图在中，点在边上，，，，求长．     22. 如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 23. 如图，P是的弦延长线上的一点，，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $