学案34 培优课 一元二次方程根的分布-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

培优课一元二次方程根的分布 学案34 学案34培优课 一元二次方程根的分布 听 昆学习任务 记 1.结合一元二次函数的图象，理解并掌握一元二次方程根的分布.（数学抽象） 2.能利用一元二次方程根的分布解决问题.（逻辑推理、数学运算） 一、一元二次方程根的基本分布一零分布 「方法总结」设一元二次方程ax2+bx十c=0 【例题1】若一元二次方程kx2十3kx十k一3=0 (a≠0)的两实根分别为x1,x2,且x1≤x2,一元 的两个不等实根都是负数，则实数飞的取值范 二次方程根的k分布，即x1,x2相对于常数飞的 围为 位置，解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线 「方法总结」所谓一元二次方程根的零分布，指 的开口方向；②一元二次方程根的判别式；③对应 的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方 区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区 程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次 间端点的位置关系.此类问题有时也可转化为根 方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两 与系数的关系来解决.另外，零分布可以理解成！ 个根分布在零的两侧，这种分布一般利用判别式 分布的特殊形式. 和根与系数的关系即可解决. 跟踪训练2关于x的方程x2+(m-1)x+ 跟踪训练1若一元二次方程x2十3kx十k一3 m2一2=0的两个实根分别为x1,x2· =0有一个正根和一个负根，则实数的取值 (1)若x1<一1，x2>1,求实数m的取值范围； 范围为 (2)若1<x1≤x2<2,求实数m的取值范围. 二、一元二次方程根的非零分布—k分布 【例题2】已知一元二次方程x2-2ax十4=0. (1)若方程两根均大于1，求实数a的取值 范围； (2)若方程两根一个大于1，另一个小于1，求实 数a的取值范围： (3)若方程两根一个在(0,1)内，另一个在(6,8) 内，求实数a的取值范围. 三、一元二次方程根的分布的应用 【例题3】若方程x2-2ax十a=0在区间(-1， 1)上有两个不相等的实数根，则实数a的取值 范围是 ( A.(-∞，0U(1,+∞) B.(-1,0) c.(-30) D.(-3,0U1,+∞) 931 人教B版数学必修第一册 听 「方法总结」一元二次方程根的分布的应用问 A.[8,+∞) 题，大多是一元二次方程根的分布与其他知识相 B.(-∞，-4) 笔 结合问题，或能转化为一元二次方程根的分布问 C.(-∞，-4)U(8,+∞) 题，需注意恰当的转化时机. D.(-∞，-8] 跟踪训练3已知A={x∈R|x2+2x+力=0}且 4.若二次函数y=x2-2x+m在区间(1，+∞) A∩{x∈Rx>0}=☑，求实数p的取值范围， 上有且仅有一个零点，则m的取值范围为 ( A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 5.(多选)若关于x的一元二次不等式x2一2x一a ≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的 值可以是 () A.2 B.4 C.6 D.8 6.若关于x的方程3x2一5x+a=0的两根分别 课堂达标 满足-2<x1<0,1<x2<3,则实数a的取值 1.关于x的方程ax2-2x十1=0，如果a<0,那 范围为 么方程根的情况是 7.已知关于x的方程x2+2(a-1)x十2a+6= A.有两个相等的实数根 0,在下列两种情况下分别求实数a的取值 B.有两个不相等的实数根 范围： C.没有实数根 (1)有两个大于1的不等实数根； D.不能确定 (2)至少有一个正实数根， 2.若关于x的一元二次方程x2+(a2+1)x十a一 2=0的一个根比1大，另一个根比1小，则a 的取值范围是 A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-3,1) D.(0,2) 3.若关于x的一元二次方程x2十qx十8-9=0 有两个正实数根，则实数q的取值范围是 ( 课后反思 1194课堂达标 所以方程ax2十bx十c=0有两个不相等的实数根. 1.D[由题意知，函数f(x)为连续函数，因为f(a)·f(b)<0,所 令f(x)=ax2+bx十c. 以函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，又因为函数f(x) ①当c<0时，f(0)=c<0,f(1)=a+b+c 在区间[a,b]上是单调函数，所以函数f(x)在区间[a,b]上 至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个 因为f1)-8-号a-2c+0-子4-6>0， 零点，即方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实数根.] 所以f(0)·f(1)<0. 6 故方程f(x)=0有一个实数根在区间(0,1)内. 2.C[因为f(1)=6-1=5>0,f(2)=2-4=-1<0,所以 ②当c>0时，f(0)=c>0. f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定存在 零点.] 3.B 1 =-124. 4.C[因为f(x)=3ax一1一2a在区间(-1,1)上单调且存在 零点，所以f(-1)·f(1)=(-3a-1-2a)·(3a-1-2a) 由a>0知f(合)<0， =(-5a-1）a-1)<0,解得a>1成a<-日] 所以fo·j(号)<0， 5.C[f(1.4065)<0,f(1.438)>0, .f(1.4065)·f(1.438)<0, 故方程了(x)=0有一个实数根在区间(0,2)内。 .该方程的解在区间(1.4065,1.438)内， 由①②知，当a>0时，方程ax2十bx十c=0有一个实数根在 又|1.4065-1.438|=0.0315<0.02×2， 区间(0,1)内. .方程的近似解可以是1.42225.] 学案34培优课 一元二次方程根的分布 6.a2=4b-号[因为函数f(x)=x2十az十6有零点，但不 能用二分法求出，所以函数f(x)=x2十ax十b的图象与 【例题1】(-0一号)U(3,十∞）[由题意知及≠0，设方程 x轴相切，所以△=a2一4b=0,所以a2=4b.此时由x2十ax kx2+3kx十-3=0的两根分别为x1,x2, 子=0，得2=-号] |x1十x2<0, 则x1<0,x2<0,即 x1x2>0, 7.解：令f(x)=x2-5, (△=9k2-4k(k-3)>0, 因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内 3k∠0， 所以 有零点x0 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29, , 因为f(2.2)·f(2.3)<0, k(5k+12)>0 所以x。∈(2.2,2.3). 即-3<0， 又≠0，解得<-1号或>3.] 5 再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25, k(k-3)>0, f(2.25)=0.0625, 跟踪训练1(0,3)[设方程kx2+3kx十k一3=0的两根分别 因为f(2.2)·f(2.25)<0, 为x1,x2, 所以x0∈(2.2,2.25) k≠0， 由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05， 依题意知 △=9k2-4k(k-3)>0, 因此原方程的正根的近似值可取为2.2+2.25=2.25。 2 223 0, 8.解：(1)当a=0时，3b+6c=0,所以b=-2c 解得0<k<3.] 方程ax2十bx十c=0为bx十c=0, 【例题2】解：令f(x)=x2-2ax十4，画出函数图象（图略）. 所以x=一后从而可得x=合 1 △≥0， (1)根指题意得2a>2,解得2<a<号所以a的取值范 ②)证明：当a>0时，由2a+3b+6c=0,得6=-号a-2 f(1)>0, 周为4=8-4ac=(号a+2r)-4ac=台a-c+c 国为[2，号) =号(a-c)‘+3c2>0, (2)由 A>0, 1f(1)<0, 1136 f(0)>0, 2.A[令f(x)=x2+(a2+1)x+a-2, f(1)<0, (3)由 f(6)<0, 得9<a<所以a的取值范因 由题意，得f(1)<0, 即a2+a<0,解得-1<a<0.] f(8)>0, 3.D[因为一元二次方程x2十qx十8-q=0有两个正实数根， 为（侣）： △=g2-4(8-g)≥0， 所以一q>0, 解得q≤一8，所以实数q的取值 跟踪训练2解：(1)令f(x)=x2+(m-1)x十m2-2,图象开 (8-q>0, 口向上，其对称轴为工，m, 范围是(-∞，一8].故选D.] 2 4.A[二次函数y=x2-2x十m图象的对称轴为x=1, 由x1<-1,x2>1, 因为函数在区间(1，十∞)上有且仅有一个零，点， (4=(m-1)2-4(m2-2)>0, 所以1一2十m<0,得m<1, 则f(-1)=1-m+1+m2-2<0, 即m的取值范围为(-∞，1).] (1)=1+m-1+m2-2<0, 5.BC[设f(x)=x2一2x一a,其图象为开口向上，对称轴是 解得0<m<1, 直线x=1的抛物线，如图所示.因为关于x的一元二次不等 所以m的取值范围为(0,1). 式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，又对称轴为 (2)由1<x1≤x2<2, f(-1)≤0， 直线x=1,则 f(-2)>0, n3-a≤0，解得3≤a<8.故 (8-a>0, 4=(m-1)2-4(m2-2)≥0， 选BC. 1<,m<2, 则 2 f(2)=4+2(m-1)+m2-2>0, y=f(x) f(1)=1+m-1+m2-2>0, 解得-1+2≤m<-2, 5-4-3-2 01245x 3 所以m的取值范围为 1+25,-2 3 6.（-12,0)[设f(x)=3x2-5x+a,由题意，得 【例题3】C[令g(x)=x2-2ax十a,由方程x2-2ax十a= f(-2)=22+a>0, 0在区间（一1,1)上有两个不相等的实数根，可得 f(0)=a<0, 解得-12<a<0.] △=4a2-4a>0, a<0或a>l, f(1)=-2+a<0, -1<a<1, f(3)=12+a>0, -1<a<1, 即 g(-1)>0, 1 7.解：(1)由方程x2+2(a一1)x+2a+6=0有两个大于1的不 等实数根， g(1)>0, a<1, (4=4(a-1)2-4(2a+6)>0, 解得-宁<a<0.] 可21 跟踪训练3解：.A∩{x∈Rx>0}=☑， f(1)=1+2(a-1)+2a+6>0, ∴.若A=☑，则△=4-4p<0,解得p>1; 解得-<a<-1.即实数。的取位范围为（号，-）小： 若A≠⑦，则A={x|x≤0}， (2)关于x的方程x2+2(a一1)x+2a+6=0无实数根时， 即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0. 4(a-1)2-4(2a+6)<0, △=4-4p≥0， 解得-1<a<5, 设两根分别为x1,x2,则x1十x2=一2<0， 关于x的方程x2+2(a-1)x+2a十6=0有两个负实数 x1x2=p≥0， 根时， .0≤p≤1 4(a-1)2-4(2a+6)≥0， 综上所述，p≥0. -2(a-1)<0, 解得a≥5， .实数p的取值范围为[0，十o). 2a+6>0, 课堂达标 所以关于x的方程x2十2(a-1)x十2a十6=0无实数根或有 1.B[.a<0, 两个负实数根时，a>-1, ∴.△=(-2)2-4a=4-4a>0, 可得关于x的方程x2+2(a-1)x+2a+6=0至少有一个正 方程有两个不相等的实数根.门 实数根，则a≤一1.即a的取值范围为（一∞，一1]. 371■