学案29 函数奇偶性的综合应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

课堂达标 (2)由图象知，函数f(x)的定义域为[一3,3]，值域为[0,2]. 1.C[由奇函数、偶函数的图象知①②正确； (3)由图象知，不等式f(x)<1对应的x满足一1<x<1,即 对于⑧，如f)=x∈(-，0)U(0,+o,f)是青 实数x的取值范围为（一1,1）. 函数，但f(x)的图象不过原点，所以③错误； 学案29函数奇偶性的综合应用 对于④，如f(x)=1 x∈（-∞，0)U(0,+co),f(x)是锅 课堂活动 活动一 函数，但f(x)的图象不与y轴相交，所以④错误.] 新知导学 2.A[由题知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠士1}，定 问题1提示：要求f(2),先求f(-2)=一1， 义城关于原点对称，且f(-x)=一x+(一x)=1x+x 因为∫(x)是偶函数， (-x)2-1x2-1 所以f(2)=f(-2)=一1. =(x),所以函数∫(x)为偶函数，图象关于y轴对称.故 当x>0时，一x<0, 选A.] 所以f(-x)=一x十1， 3.C[因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 又f(x)为偶函数， 所以f(0)=0,f(-1)=-f(1)=-(12十1)=-2， 所以f(x)=f(-x)=-x+1. 所以f(-1)十f(0)=-2.故选C.] 新知应用 4.B[画数f(x)=+' x 解：(1)设x>0,则-x<0, f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x. 又f(x)是R上的奇函数， 可得f-)=(C)+11=-fx), .f(x)=-f(-x)=x2-x, 所以函数f(x)为奇函数， 又f(x)的定义域为R,.f(0)=0, 其图象关于原点对称， -x2一x,x<0, 又由x>0时，f(x)>0, 综上，f(x)= x2-x,x≥0. 所以函数f(x)图象为B选项对应的图象.] (2):f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 5.D[当y=f(x)=x2,D为R时，f(0)=0,但f(x)为偶 ·f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 函数； 由f(x)十g(x)=2x+x2.① 用一x代替x, 当f(z)三D为(-∞，0)U0,+∞)时，f(x)为奇函数， 得f(-x)十g(-x)=-2x+(-x)2, 但f(x)在x=0处无意义. f(x)-g(x)=-2x十x2,② 综上，“f(0)=0”是“函数y=f(x)是奇函数”的既不充分也 (①十②)÷2，得f(x)=x2; 不必要条件.故选D.] (①-②)÷2，得g(x)=2x. 6.00[由已知得f(0)=0,故m=0. 活动二 由f(x)是奇函数， 新知导学 可得f(一x)=一f(x), 问题2(1)提示：f(x)在（一∞，0）上也单调递增.设x1<x2 -x十0 x十0 <0,则-x1>-x2>0.因为f(x)在(0，十∞)上单调递增， x2十nx十1' 所以f(一x1)>f(一x2).又因为f(x)是奇函数，所以f(一x1) x2-nx+1=x2+nx+1, =一f(x1),f(-x2)=一f(x2),即-f(x1)>-f(x2),两边同 解得n=0.] 时乘以-1，得到f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-o∞，0)上单调 7.解：(1)补全函数f(x)的图象如图.由图象知，f(1)=1,f(一2) 递增 =2. (2)提示：f(x)在（一∞，0）上单调递减.设x1<x2<0,则-x1 >-x2>0.因为f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以f(-x1) >f(-x2).又因为f(x)是偶函数，所以f(一x1)=f(x1), f(-x2)=f(x2),即f(x)>f(x2),所以f(x)在(-∞，0)上 单调递减， 新知生成 0 123 4 1.单调递增相同 2.单调递减相反 3.-M 3 4.N 291■ 新知应用 在[0，十∞)上单调递减， 1A[因为函数f(x)为R上的偶函数， .f(2)<f(1)<f(0), 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2). 即f(-2)<f(1)<f(0).] 又当x∈[0，十∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2， 7.一x(答案不唯一)[函数f(x)=一x是R上的减函数，又 所以f(π)>f(3)>f(2),故f(x)>f(-3)>f(-2).] 是R上的奇函数.] 2.C[因为f(x)是定义域为（一2,2）的增函数，且为奇函数， 8.解：(1)因为a>b,所以a-b>0, 所以由f(3a-1)+f(a-1)>0,可得f(3a-1)>-f(a-1) 由题意得fa)+f-b)0, f(1-a), a-b 所以f(a)+f(-b)>0. 3a-1>1-a, 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以2<3a-1<2,解得31<a<1, 即a(合， 所以f(-b)=一f(b), -2<1-a<2, 所以f(a)-f(b)>0,故f(a)>f(b). 1<a<3, (2)由(1)知f(x)为R上的增函数， 所以口的取值范周是（分），故选C] 因为f(1+m)+f(3-2m)≥0， 课堂达标 所以f(1+m)≥-f(3-2m), 1.C[因为当x≥0时，f(x)=x2-x, 即f(1+m)≥f(2m-3), 所以1+m≥2m-3,所以m≤4. 当x<0时，一x>0, 所以f(-x)=x2十x, 所以实数m的取值范围为（一∞，4]. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 学案30培优课函数性质的综合问题 所以f(x)=f(-x)=x2+x, 【例题1】0[f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0. 即f(x)=x2+x(x<0).] 2.C[当x>0时，-x<0, 因为f)的图象关于直线r= 2对称，于是f(x)=f1-x), 则f(-x)=-x2-bx,又f(x)为奇函数， 所以f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)=-f(-x)=x2+bx, f(3)=f(-2)=-f(2)=0,f(4)=f(-3)=-f(3)=0, 即a.x2-2x=x2+bx,解得a=1,b=-2, f(5)=f(-4)=-f(4)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+ 可验证当x<0时，对a=1,b=一2， f(4)+f(5)=0.] 也有f(x)=一f(一x), 跟踪训练1①②[，f(x)为奇函数，.f(x)的图象关于原 故f(a+b)=f(-1)=1.] 点对称，而f(x一1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个 3B[奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上具有相同 单位得到的， 的单调性，故f(x)在区间[-7，一3]上单调递增，且f(-4) .(x一1)的图象关于点(1,0)对称， =-f(4)=-5.故选B.] 故①正确； 4.B[由题意得，f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),故有 若g(x)=f(x一1)的图象关于直线x=1对称，则有g(x十1)= |f(x)-g(x)=x2+3x+2, 所以f(x)=3x,当x=1 g(-x+1), (-f(x)-g(x)=x2-3x+2, 即f(x)=f(-x),∴.②正确； 时，f(1)=3.故选B.] :f(x)=-f(x+2), 5.AC[根据偶函数在[0,7]上的图 ∴.f(x+2)=-f(x+4), 象及其对称性，作出函数在[一7， .f(x)=f(x+4). 0]上的图象，如图所示，可知这个 又f(4-x)=f(x), 函数有三个单调递增区间；有三 -7-3.50 39 .f(4十x)=f(-x), 个单调递减区间；在其定义域内 .f(x)=f(4十x)=f(-x), 有最大值7；在其定义域内有最小值但不是一7.] 从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图象关于y轴对称，故③ 6.f(-2)<f(1)<f(0)[.f(x)是偶函数， 错误.] .f(-x)=f(x), 【例题2】解：(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2, 任取x1x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>-1. .m=0,即f(x)=一x2十2. 又f(x2)=f(x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)+1> f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴， f(x1),所以函数f(x)在R上是增函数. 1130人教B版数学必修第一册 课 学案29 函数奇偶性的综合应用 记 官学习任务 1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.（数学运算） 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.（数学抽象、逻辑推理） 课堂活动 新知应用 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 活动一掌握利用奇偶性求函数解析式 x<0时，f(x)=一x2一x,求函数f(x)的解 阄新知导学 析式； 问题1若已知函数f(x)为偶函数，且当x<0 (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x) 时，f(x)=x+1,那么f(2)的值为多少？能否 十g(x)=x2十2x,求函数f(x),g(x)的解 求出当x>0时f(x)的解析式？ 析式. 「方法总结」利用f(x),g(x)一奇一偶，把一x 的负号或提或消，最终得到关于f(x),g(x)的二 元方程组，从而解出f(x)和g(x). 厅新知生成 活动二。掌握函数奇偶性与单调性的综合 用奇偶性求解析式的步骤 应用 如果已知函数的奇偶性和区间[a,b]上的解析 阄新知导学 式，求关于原点对称的区间[一b,一a]上的解析 问题2(1)已知函数y=f(x)是定义在R上的 式，其解决思路为： 奇函数，且在(0，十∞)上单调递增，判断f(x) (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就 在（一∞，0）上的单调性，并说明理由， 应在哪个区间上设 (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出一f(一x)或f(一x), 从而得到f(x). 1178 函数奇偶性的综合应用学案29 (2)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函 「方法总结」利用函数的奇偶性、单调性解不等 听 数，且在(0，+∞)上单调递增，判断f(x)在 式的步骤 (一∞，0)上的单调性，并说明理由. (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不 记 等式转化为f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)的 形式 (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函· 数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的！ “f”,转化为简单不等式（组）求解 同新知生成 1.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](0≤a<b)上 课堂小结 单调递增，则f(x)在[-b,-a]上 即在对称区间上单调性 求解析式 函数奇偶性的应用 单调性与奇偶性的综合应用 2.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](0≤a<b)上 单调递增，则f(x)在[-b,-a]上 即在对称区间上单调性 课堂达标 3.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](0≤a<b)上 1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0 有最大值M,则f(x)在[一b,一a]上有最小值 时，f(x)=x2-x,则当x<0时，f(x)的解析 式是 ) 4.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](0≤a<b)上 A.f(x)=x2-x 有最大值N,则f(x)在[一b,一a]上有最大值 B.f(x)=-x2-x C.f(x)=x2十x 新知应用 D.f(x)=-x2十x 1.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0，十∞) |ax2-2x,x>0, 时，f(x)是增函数，则f(一2)，f(π)，f(一3) 2.已知函数f(x)= 为奇函数， -x2+bx,x≤0 的大小关系是 ( 则f(a+b)= ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) A.-2 B.-1 B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) C.1 D.2 D.f(x)<f(-2)<f(-3) 3.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上单调递增，且 2.已知奇函数f(x)在定义域（一2,2）上是增函 f(4)=5,那么函数f(x)在区间[-7，一3]上 数，且f(3a-1)+f(a-1)>0,则a的取值范 围是 A.单调递增，且f(-4)=5 A(-1,》 a(子》 B.单调递增，且f(一4)=-5 C.单调递减，且f(-4)=一5 c.(分) n停》 D.单调递减，且f(-4)=5 7910 人教B版数学必修第一册 听 4.已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,f(x) 8.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a, 课 为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)-g(x) b∈R,当a+6≠0时，都有fa)士fb)0. 记 a+b x2+3x十2，则f(1)的值为 ( (1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系； A.1 B.3 (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的 C.4 D.6 取值范围. 5.(多选)一个定义在区间[-一7,7]上的偶函数，它 在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是 ( A.这个函数有三个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 C.这个函数在其定义域上有最大值7 D.这个函数在其定义域上有最小值一7 6.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则 f(0),f(1),f(-2)的大小关系是 7.写出一个定义域为R,既是减函数又是奇函数 的函数f(x)= 课后反思 1180