学案27 二次函数的单调性与最值-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

二次函数的单调性与最值学案27 听 学案27二次函数的单调性与最值 课 记 昆学习任务 1.会利用二次函数的单调性求参数的取值范围.（数学运算） 2,会根据给定自变量的范围求二次函数的最值.（逻辑推理、数学运算） 一、已知二次函数单调性求参数 角度3轴动区间动 【例题1】已知函数f(x)=x2一x一8在区间 【例题4】求函数y=-x(x-a)在x∈[-1，a] [5,20]上具有单调性，则实数的取值范围是 上的最大值. A.(-∞，10]U[40,+∞) B.(-∞，-40]U[-10,+∞) C.[10,+∞) D.[10,40] 「方法总结」解决二次函数单调性问题的关键 是数形结合思想，重点研究二次函数图象的开口 方向和对称轴，结合图象求解.解题时应注意所给 条件是“在某区间上单调”还是“单调区间为某 区间” 跟踪训练1若函数f(x)=x2+2(a一1)x十2在 区间（一∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围 是 :若函数f(x)=x2十2(a-1)x+2 的单调递减区间是（一∞，4幻，则实数a的取值是 「方法总结」二次函数的最值问题主要有三种 类型：轴动区间动、轴动区间定、轴定区间动.无论 二、二次函数的最值问题 哪种类型，解题的关键都是确定图象的对称轴与 角度1轴定区间动 区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对 【例题2】若函数y=x2-2x,x∈[-2，a],则函 称轴与区间的位置关系进行分类讨论， 数的最小值g(a)= 跟踪训练2(1)函数f(x)=x2一4x一6的定义 角度2轴动区间定 域为[0，m],值域为[一10，一6]，则m的取值 【例题3】已知函数f(x)=一2x2十mx+3(0≤ 范围是 ( m≤4)，在[0,1]上的最大值为4，则m的值为 A.[0,4] B.[2,4] C.[2,6] D.[4,6] 7311 人教B版数学必修第一册 (2)(多选)已知函数f(x)=-x2+2ax十1-a (2)若f(x)<6-6x的解集为(-1，b). 在[0,1]上有最大值2，则a的值可以为( ①求a,b的值； 记 A.2 B.-1 ②求函数h(x)=2x+3-f(x)在x∈[t,t十2]的 C.1 D.-2 最大值. 课堂达标 1.已知y=x2+3x+1,x∈[-2,1]，则y的取值 范围为 ( A.[-1,5] B-可 c . 2.函数f(x)=2x2-m.x十3在(-∞，-2]上单 5.已知二次函数f(x)=ax2一2x-3,若不等式 调递减，在（一2，+∞）上单调递增，则f(1) f(x)<0的解集为{x-1<x<3. 等于 (1)求实数a的值； A.-3 B.7 (2)当x∈[一2,3]时，求f(x)的值域； C.13 D.不能确定 (3)当x∈t,t+1]时，求f(x)的最小值g(t). 3若函数f)一女-十a的定义蚊和利值城的 为[1，b],则b的值为 4.设函数f(x)=x2十ax+3,a∈R. (1)若对于任意的x∈[2,4幻，f(x)≥0恒成立， 求a的取值范围； 课后反思… 174新知应用 8.证明：函数f(x)=√x十x的定义域为[0，十∞)， 证明：令y=f)2对任意xE0,+∞)且x≠ 任取x1,x2∈[0，十∞)且x1≠x2, 22 刚是))因+：-瓜- 盛- 2(z-x) -2(x1十x2) x2一x1 x2一x1 x2-方xz,-x)x 1 =+1. 因为x1>0,x2>0, x2+√x 所以E,十>0，xix>0,所以Ay<0, E1x,∈[0，+∞)，Ay>0. △x △x 所以fx)=名在(0，十0)上是减画数. 函数f(x)=√元十x是增函数. 课堂达标 学案27二次函数的单调性与最值 1A[南=得1的钟率为二二=号] x1-x2 -3-4 【例题1】A[根据题意，函数f(x)=x2-kx一8为二次函 2cg0-a2-18=f2-2 EB一xA 1.1-1 数，共图象开口向上，对称轴为直线x=令，若函数于(x) 3.B[f(x)=反在[1，a]上的平均变化率为=石-1 x2-kx一8在区间[5,20]上具有单调性， △xa-1 1十后=年，解得a=9.故选B.] 11 2≥20， 解得k≤10或k≥40， 4.B[由题意得a=fm）-fm)_2n+1-②m+1）=2, 所以实数k的取值范围是（一∞，10]U[40,十∞）.] n-m n-m 6=gm）-g(m）_3n+2-(3m+2-=3, 跟踪训练1（-∞，一3]一3[函数f(x)的图象的对称轴 n-m n-m 为直线x=1一a,若函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减， 故a<b.] 则1一a≥4，解得a≤一3. 5.B[由题毫u,)-f<01≠，不坊假设x,<, 若函数f(x)的单调递减区间为（一∞，4]，则1一a=4,解得 x2一x1 a=-3.] 则f(x1)>f(x2), 角度1 所以∫(x)在R上单调递减， 又f(1-a)>f(2a-1), a2-2a,-2a≤1， 【例题2】 [:函数y=x2-2x=(x-1D)2-1, 所以1-a<2a-1, -1,a>1 解不等式得a>2 .对称轴为直线x=1, , 当一2<a≤1时，函数在[一2，a]上单调递减， 则实数a的取值范周为（号+）] 则当x=a时，ymn=a2-2a; 当a>1时，函数在[一2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递 1 6.2 [:A,B,C三点共线，且A点横坐标与C点横坐标不 增，则当x=1时，ymn=-1. 相等， 1a2-2a,-2<a≤1， AB,AC的针率存在且相学，中号8号名 综上，g(a)= -1,a>1. .2(a+b)=ab, 角度2 【例题3】22[f(x)=-2x2+mx+3=-2(x-公）'+ + 8+3, 7.解：在to处，虽然W1(t)=W2(to), 0≤m≤4， 但W)-W,。-△)W,)-w,,-△) △t △t 0≤g≤1， 即W。-△4)-w1)W,-△)-w2,) △t △t “当x=婴时，fx)取得最大值， 所以在相同时间△内，甲厂比乙厂的平均治污率小 所以乙厂治污效果较好. 8+3=4,解得m=22.] 1126 角度3 1 【例题4】解：函数图象的对称轴为直线x 3.3[由函数f(x)=7x2-x十a,可得对称轴为x=1, =号又x[-1],故a>-1,号> 故函数f(x)在1，b]上单调递增. :函数f(工)三？2工十口的定义减和值拔均 1 a 2 为[1，b](b>1), 的右边 1 .对称轴在x=一 图① f)=, 2 -1+a=1, 即 1当-1<号<a,即a≥0时，由二次函数周象（如周①）可 (f(b)=b, 8-6+a=6 知，y=f(号）- 解得a=号6=1成6=8.：6>1,6=3.] (2)当a<经，即-1<a<0时，由二次画数的图象（如图②） 4.解：(1)法一：由题知，任意x∈2,4幻有f(x)≥0， 即当x∈[2,4幻时，f(x)mn≥0， 可知，ymx=f(a)=0. 由f(x)=x2十ax十3图象的对称轴为x=-名， 综上可知，当-1<a<0时，ym=0,当a≥0时，yax=4 当-2≤2，即a≥-4时，f(x)在2,4上单调递增， 此时f）=f2)=7+2a≥0，甲a≥-名： 当2<-号<4，即-8<a<-4时，fx)在[2，-]上单 图② 调适减，在[受上单洞适增， 跟踪训练2(1)B[函数f(x)=x2-4x一6的图象是开口向 此时f)。=f(-号）=3-≥0， 上，且以直线x=2为对称轴的抛物线， 故f(0)=f(4)=-6,f(2)=-10. 解得-2√3≤a≤2√3，矛盾，舍去； 函数f(x)=x2-4z-6的定义域为[0，m],值域为[-10，-6]， 当-号≥4，即a≤-8时，fx)在2，上单调递减， .2≤m≤4，即m的取值范围是[2,4].] (2)AB[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 此时f(z)=f(4)=19十4a>0,即a≥-，矛盾，舍去. 当a>1时，f(x)mx=f(1)=a; 当0≤a≤1时，f(x)mx=f(a)=a2-a+l; 茶上所递a的取准范国为[名十e四 当a<0时，f(x)mx=f(0)=1-a. 法二：由题，得f(x)=x2+ax十3≥0对任意x∈[2,4]都 以a>1'或0≤a1, 所以 成立，即a≥-x号/ a=2 a2-a+1=2 或/a<0, 令g)=-x-2ue2,):则a≥g)m 1-a=2, 解得a=2或a=-1.] 课堂达标 令m(x)=x+三，明m()=x+三在B,们上单羽递增， 1C=+3x+1=(e+）°-， 则g(x)=一m(x)在[2,4幻上单调递减， 3 故gc)=g2=子即a≥-名 其图象是对称轴为x=一2，开口向上的抛物线， 所以a的取值范围为[名十e) 7 所以当x=一昌时y有最小位，为一号， (2)①x2+a.x+3<6-6x,即x2+(a十6)x-3<0的解集 当-1时y有最大佳，为(1+2）°-号-5， 为(-1，b), |-(a+6)=-1十b, 划的取位范网为[-可 则有 -3=-b, 解得一8， b=3. 故选C.] ②由于h(x)=2x十3-f(x)=2x+3-(x2-8x十3)= -x2+10x=-(x-5)2+25, 2.C[由题意可知，对称轴为x=空=-2， 当t十2≤5，即t≤3时，h(x)在[t,t十2]上单调递增， 所以m=-8,f(x)=2x2+8x+3,f(1)=13.] 所以h(x)mx=h(1+2)=-(t-3)2+25=-t2+6t+16; 271■ 当t<5<t十2，即3<t<5时，h(x)在[t,5]上单调递增，在 域为{x|x=士2}，关于原点对称，则f(x)=√x2一4+ [5,t+2]上单调递减， √/4-x2=0, 所以h(x)mx=h(5)=25; 所以函数f(x)既是奇函数也是偶函数， 当t≥5时，h(x)在t,t十2]上单调递减， (4)法一：函数f(x)的定义域是（一∞，0）U(0,十∞)， 所以h(x)mx=h(t)=-t2+10t. 对任意x∈(-∞，0)U(0,+∞)， -t2+6t+16,t≤3， 都有-x∈(-∞，0)U(0,十∞). 综上所述，h(x)x=25,3<t<5, 当x>0时，一x<0, -t2+10t,t≥5. f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x); 5.解：(1)因为f(x)=ax2一2x-3<0的解集为{x|一1<x<3}, 当x<0时，一x>0, a>0, f(-x)=-x+1=f(x). -1+3=- -2 所以〈 a’解得a=1, 综上可知，对任意x∈(-∞，0)U(0,十∞)， 1X3=3, 都有f(一x)=f(x),故f(x)为偶函数. 法二：作出函数f(x)的图象如图.此函数的图象关于y轴 所以a的值为1. 对称， (2)由(1)可得f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, 所以函数f(x)是偶函数， 二次函数的图象开口向上，对称轴为x=1, 当x=1时，f(x)mn=f(1)=-4, 当x=-2时，f(-2)=(-1-2)2-4=5, 当x=3时，f(3)=(3-1)2一4=0， 所以f(x)的值战为[-4,5]. 活动二 (3)因为f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,二次函数的图象 新知导学 开口向上，对称轴为x=1, 问题3提示：函数图象如图所示 当t十1≤1，即t≤0时，f(x)在[t,t+1]上单调递减， 所以g(t)=f(t+1)=(t+1-1)2-4=t2-4; 当t<1<t+1,即0<t<1时，g(t)=f(1)=-4; 当t≥1时，f(x)在t,t十1]上单调递增， 0 所以g(t)=f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3, -- -r-7-+-r t2-4,t≤0， 所以f(x)的最小值g(t) -4,0<t<1, 新知生成 t2-2t-3,t≥1. (1)原点y轴 新知应用 学案28函数的奇偶性 1.B[由题意得，a一1十(-2a)=0,可得a=-1,则f(x)的 定义域为[一2,2]，所以f(x)=一x2十bx十4，由f(一x)= 课堂活动 活动一 f(x)可得，-x2-bx十4=-x2+bx+4对于x∈[-2,2]恒 成立，所以2bx=0,所以b=0,所以a+b=一1，故选B.] 新知导学 问题1提示：y轴. 2.解：(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x, 问题2提示：原点， f(-x)关于原点对称的点为P'(x,一f(-x),图③为图 新知生成 ①补充后的图象，易知f(3)=一2. f(-x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(一x,f(一x) 新知应用 关于y轴对称的点为P'(x,f(一x),图④为图②补充后的 解：(1)函数f(x)的定义域为R,关于原，点对称， 图象，易知f(1)>f(3). 且f(一x)=（一x)3-x=-x3-x=一f(x), 所以函数f(x)为奇函数. 2 (2)函数∫(x)的定义域为R,关于原点对称，且f(一x)=(一x) -3-2-11f012 123元 一3一x=x2一3x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数， x2-4≥0， (3)由题意得{ 解得x=士2，即函数(x)的定义 4-x2≥0， ④ 1128