学案33 函数零点的存在性及其近似值的求法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 学案33 函数零点的存在性及其近似值的求法 记 学习任务 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数.（数学抽象） 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.（数学运算） 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.（逻辑推理） 2.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的一条 课堂活动 曲线，有如下的对应值表： 活动一。理解函数零点存在定理 1 2 3 4 5 6 阄新知导学 y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88 问题1对于函数f(x)=x2-2x一3，计算f(0) 则下列说法正确的是 () 和f(4)的值，并思考：在区间(0,4)内，方程 A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点 x2一2x一3=0是否有解？如何从函数值变化 B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点 的角度说明？ C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点 D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点 「方法总结」判断函数零点所在区间的方法 判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在 区间[a,b]上的图象是否连续，若连续，看是否存 问题2若函数y=f(x)在区间[m,n]上有定 在f(a)f(b)<0,若存在，则函数y=f(x)在区 义，且f(m)=3,f(n)=一1，仅根据这些条件， 间(a,b)内必有零点. 能否确定f(x)在(m,n)内存在零点？若不能， 活动二。了解二分法 还需要补充什么条件？ 阄新知导学 问题3某档综艺栏目有猜价格游戏，主持人给 出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内 猜中，则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报 后新知生成 价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样 、 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的策略，能提高猜中的可能性？ 的，并且 (即在区间 两个端点处的函数值异号)，则函数y=∫(x) 在区间(a,b)中至少有一个零点，即3x。∈ (a,b), 仓新知应用 同新知生成 1.函数f(x)=x3十x一3的零点所在的区间是 一般地，求函数零点的近似值，可以通过计算 ( 函数值，从而不断缩小零点所在的区 A.(0,1) B.(1,2) 间来实现，这种求函数零点近似值的方法称为二 C.(2,3) D.(3,4) 分法. 1190 函数零点的存在性及其近似值的求法学案33 今新知应用 第一步检查|b一a|≤2e是否成立，如果成立，取 听 x1= ,计算结束；如果不成立，转到第二步. 课 1.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用 二分法求函数零点近似值的是 第二步计算区间(a,b)的中点“ 对应的函数 2 记 值若f)=0,取z ,计算结束； 若f)≠0，转到第三步. B D 2.在用二分法求函数∫(x)零点的近似值时，第 第三步若fa/(告)<0，将之的值赋给 一次所取的区间是[一2,4]，则第三次所取的区 （用生6表示，下同，同到第一步，香则 间可能是 ) A.[1,4] B.[-2,1] 必有f士)了6)<0将时的值赋给 c[2. n 回到第一步。 新知应用 「方法总结」用二分法求函数零点的近似值应 已知函数f(x)=2x2-8x-1为R上的连续 具备的条件： 函数，判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点？ (1)函数图象在零点附近连续不断； 若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确： (2)在该零点左右函数值异号. 度为0.1)；若不存在，请说明理由. 只有满足上述两个条件，才可以用二分法求函数 零点的近似值。 活动三掌握用二分法求函数零点的近似值 阄新知导学 问题4用二分法求方程x3一x2一1=0的一个近 似解，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2) 内，则下一步可断定该实数根所在的区间是什么？ 「方法总结」用二分法求函数零点的近似值应！ 遵循的原则 (I)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n] (一般采用估计值的方法完成). (2)取区间端点的中点c,计算f(c),确定有解区 厅新知生成 间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”， 直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算， 二分法求函数零点近似值的步骤 得到函数零点的近似值. 在函数零点存在定理的条件满足时（即f(x)在 区间[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a) 气课堂小结 f(b)<0),给定近似的精确度ε，用二分法求零点 判断零点所在区间 x,的近似值x1,使得x1一x。|<e的一般步骤 函数零点 存在定理 如下： 用二分法求函数零点的近似值 人教B版数学必修第一册 听 与课堂达标 那么方程x3+x2一2x一2=0的一个近似解 (精确度为0.02)为 笔 1.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调，且图象是 A.1.3125 B.1.375 连续不断的，若(a)·f(b)<0,则方程f(x) C.1.42225 D.1.4065 =0在区间[a,b]上 6.已知函数f(x)=x2十ax十b有零点，但不能 A.至少有一实数根 用二分法求出，则a,b的关系是 ,函 B.至多有一实数根 数f(x)的零点是 .(用a表示) C.没有实数根 7.用二分法求方程x2一5-0的一个正根的近似 D.必有唯一的实数根 值.（精确度为0.05） 2已知数/)= 一x2,在下列区间中，一定 包含f(x)零点的区间是 ( A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的唯 一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0, 取区间(2,4)的中点x1= 2+4 =3,计算得 f(2)·f(3)<0,则此时零点x。所在的区间是 ( 8.已知关于x的方程ax2+bx十c=0,其中2a十 A.(2,4) B.(2,3) 3b+6c=0(c≠0). C.(3,4) D.无法确定 (1)当a=0时，求方程的实数根； 4.已知函数f(x)=3a.x-1-2a在区间(-1,1) (2)当a>0时，求证：方程有一个实数根在区间 上存在零点，则 ) (0,1)内. 1 A.6 <a<1 B.a1 C.a<- 5 或a>1 naK- 5.若函数f(x)=x3十x2-2x-2的一个正零点 附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如 表所示： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.438)≈0.165 f(1.4065)≈-0.052 课后反思 11927.(-∞，-1)U(2,3)[函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)的 活动二 零点为-1,2,3. 新知导学 利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图（略）， 问题3提示：可以不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速 由图可知不等式(x十1)(x一2)(x一3)<0的解集为(-∞，一1) 地接近真实价格 U(2,3).] 新知生成 1 8.解：(1)当x>0时，f(x)=1一 区间中点 新知应用 1 所以f1)=1-1=0. 1.C[由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a,b]上 (2)0当x>0时，令f(x)=0,即1-1 的图象连续不断，且f(a)f(b)<0,即函数的零，点是变号零 =0, 点时，才能将区间[a,b]一分为二，逐步得到零点的近似值」 解得x=1. 对各选项分析可知，选项A,B,D都符合，而选项C不符合， 所以1是函数f(x)的一个零点， 因为在零，点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零 ②当x0时，令f(x)=0 点的近似值]. 即(a-1)x+1=0.(*) 2.D[第一次所取的区间是[-2,4]， 1∠0 当a>1时，由(*)得x=1 .第二次所取的区间可能为[一2,1]，[1,4幻， 所以己。是画数了✉)的一个套点； 六第三次将取的区烟可能为[-8，打，[合川小， 当a=1时，方程(*)无解； ][4 当a<1时，由(*)得x=1=a >0(不合题意，舍去) 活动三 新知导学 上所送，当a>1时，函数f()的零点是1和。 问题4提示：令f(x)=x3-x2-1,则f(1)=-1<0,f(2)= 当a≤1时，函数f(x)的零，点是1. 3>0(2）=日>0， 学案33函数零点的存在性及其近似值的求法 课堂活动 所以f(名）<0，故下一步可断定该实数根所在的区间 活动一 为(1，) 新知导学 问题1提示：f(0)=一3，f(4)=5,由于f(x)是二次函数，图 新知生成 象连续，且在区间端，点处函数值一正一负，所以图象必然穿 atbatb 2 2 b a 过x轴，所以在区间(0,4)内，方程x2-2x一3=0必有解，即 新知应用 3x。∈(0,4)，f(x0)=0. 问题2提示：不能确定，需要补充函数在区间[m,n]上的图象 解：f(-1)=9,f(1)=-7. 是连续不断的， 因为f(-1)f(1)<0,f(x)为R上的连续函数， 新知生成 所以函数f(x)在（一1,1)上必存在零，点， 连续不断f(a)f(b)<0f(x)=0 设为x0: 新知应用 区间 中点的值 中点函数值符号 1.B[因为f(0)=-3<0, (-1,1) 0 f(0)=-1<0 f(1)=-1<0,f(2)=7>0, f(3)=27>0,f(4)=65>0, (-1,0) f(-0.5)= 2>0 7 -0.5 f(1)·f(2)<0, (-0.5,0) -0.25 f(-0.25)= 所以函数f(x)的零点所在区间是(1,2).] >0 2.B[由题表可知，f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)· (-0.25,0) -0.125 1 f(-0.125)=32>0 ∫(5)<0.由函数零点存在定理知，函数y=∫(x)在区间 (2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在一个零点，所以函数y= (-0.125,0) -0.125-0|=0.125<0.2 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.虽然f(1)·f(2)>0, 由于|-0.125-0=0.125<0.2， 但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在多个零点.] 所以一0.0625可作为这个函数一个零点的近似值， 351■ 课堂达标 所以方程ax2十bx十c=0有两个不相等的实数根. 1.D[由题意知，函数f(x)为连续函数，因为f(a)·f(b)<0,所 令f(x)=ax2+bx十c. 以函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，又因为函数f(x) ①当c<0时，f(0)=c<0,f(1)=a+b+c 在区间[a,b]上是单调函数，所以函数f(x)在区间[a,b]上 至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个 因为f1)-8-号a-2c+0-子4-6>0， 零点，即方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实数根.] 所以f(0)·f(1)<0. 6 故方程f(x)=0有一个实数根在区间(0,1)内. 2.C[因为f(1)=6-1=5>0,f(2)=2-4=-1<0,所以 ②当c>0时，f(0)=c>0. f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定存在 零点.] 3.B 1 =-124. 4.C[因为f(x)=3ax一1一2a在区间(-1,1)上单调且存在 零点，所以f(-1)·f(1)=(-3a-1-2a)·(3a-1-2a) 由a>0知f(合)<0， =(-5a-1）a-1)<0,解得a>1成a<-日] 所以fo·j(号)<0， 5.C[f(1.4065)<0,f(1.438)>0, .f(1.4065)·f(1.438)<0, 故方程了(x)=0有一个实数根在区间(0,2)内。 .该方程的解在区间(1.4065,1.438)内， 由①②知，当a>0时，方程ax2十bx十c=0有一个实数根在 又|1.4065-1.438|=0.0315<0.02×2， 区间(0,1)内. .方程的近似解可以是1.42225.] 学案34培优课 一元二次方程根的分布 6.a2=4b-号[因为函数f(x)=x2十az十6有零点，但不 能用二分法求出，所以函数f(x)=x2十ax十b的图象与 【例题1】(-0一号)U(3,十∞）[由题意知及≠0，设方程 x轴相切，所以△=a2一4b=0,所以a2=4b.此时由x2十ax kx2+3kx十-3=0的两根分别为x1,x2, 子=0，得2=-号] |x1十x2<0, 则x1<0,x2<0,即 x1x2>0, 7.解：令f(x)=x2-5, (△=9k2-4k(k-3)>0, 因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内 3k∠0， 所以 有零点x0 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29, , 因为f(2.2)·f(2.3)<0, k(5k+12)>0 所以x。∈(2.2,2.3). 即-3<0， 又≠0，解得<-1号或>3.] 5 再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25, k(k-3)>0, f(2.25)=0.0625, 跟踪训练1(0,3)[设方程kx2+3kx十k一3=0的两根分别 因为f(2.2)·f(2.25)<0, 为x1,x2, 所以x0∈(2.2,2.25) k≠0， 由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05， 依题意知 △=9k2-4k(k-3)>0, 因此原方程的正根的近似值可取为2.2+2.25=2.25。 2 223 0, 8.解：(1)当a=0时，3b+6c=0,所以b=-2c 解得0<k<3.] 方程ax2十bx十c=0为bx十c=0, 【例题2】解：令f(x)=x2-2ax十4，画出函数图象（图略）. 所以x=一后从而可得x=合 1 △≥0， (1)根指题意得2a>2,解得2<a<号所以a的取值范 ②)证明：当a>0时，由2a+3b+6c=0,得6=-号a-2 f(1)>0, 周为4=8-4ac=(号a+2r)-4ac=台a-c+c 国为[2，号) =号(a-c)‘+3c2>0, (2)由 A>0, 1f(1)<0, 1136