学案26 函数的平均变化率-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 学案26函数的平均变化率 课 记 学习任务 1.了解直线的斜率及意义.（数学抽象） 2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系.（数学抽象） 3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.（逻辑推理） 2.若A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点共线，则 课堂活动 b= () 活动一掌握直线的斜率公式及应用 A.2 B.3 阄新知导学 C.9 D.-9 「方法总结」利用斜率公式求直线的斜率应注 问题1如图所示，在平面直角坐标系中，在过点 意的事项 A的直线AB,AC,AD中，你能找到一个量来 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不 描述它们的不同点吗？ 与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是 不存在的. (2)斜率公式与A,B两点的先后顺序无关，也就 是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交 换位置 活动二掌握平均变化率的计算 阄新知导学 厅新知生成 问题2某公路上存在一段长为2km的测速路 般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 段，假定测速超过100km/h即为超速，某汽车 A(x1y),B(x2y2),当x1≠x2时，称y 用时1.5min,它超速了吗？你觉得这种测速 x2一x1 的本质是什么？ 为直线AB的 ;当x1=x2时，称直线 AB的 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾 斜程度 若记△x=x2一x1,相应的△y=y2一y1,则当 △x≠0时，斜率可记为公2 △y 后新知生成 新知应用 1.(多选)若直线1的斜率k=-2,且过点(3,2)， 般地，当工：时，称 则直线1经过点 ) 为函数y=f(x)在区间[x1,x2] A.(0,4) B.(4,0) (x1<x2时)或[x2,x1门(x1>x2时)上的平均变 C.(6,-4) D.(-2,1) 化率 1170 函数的平均变化率 学案26 个新知应用 口新知生成 课 求函数f(x)=一2x2+5在区间[2,2十△x]上 函数递增、递减的充要条件 的平均变化率。 一般地，若区间I是函数y=f(x)的定义域的子 记 集，对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1), ,Ay-y当（即Ay-f,)-f,则： y2=fx2)△xx2-x △x x2一x1 (1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是 Ay △.x 0在区间I上恒成立； (2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是 △x 0在区间I上恒成立. 今新知应用 用平均变化率证明函数f(x)=2在(0，十∞) 上是减函数. 「方法总结」求函数f(x)在[x1,x2]上的平均 变化率的步骤 (1)先求△x=x2-x1· (2)再求△y=f(x2)-f(x1). (3)由定义求出A-f(x)-f(x) △x x2-x1 活动三利用平均变化率证明函数的单调性 阄新知导学 问题3(1)已知函数f(x)=2x+3,求x在区间 [一2,1]上的平均变化率，并判断函数在该区间 的单调性。 「方法总结」利用平均变化率判断或证明函数 的单调性的步骤 (1)取值：任取x1,x2∈I,且x1≠x2 (2)计算：求△y=f(x2)-f(x1),△x=x2- △y x1'△x (2)设函数(x)求x在区间[2,4小上的平 (3)判符号：根据x1,x2的范围判断A义的符号，确 △x 均变化率，并判断函数在该区间的单调性. 定函数的单调性. (4)下结论：若Ay>0,则f(x)在区间I上是增函 △x 数：带之0，则f)在区同1上袋减周数 7110 人教B版数学必修第一册 听 课堂小结 A(-∞，0U(,+∞) 记 直线的斜率公式 B(号+) 函数的平 均变化率 平均变化率的定义 利用平均变化率证 平均变化率的应用 c(o,) 明函数的单调性 课堂达标 D.(o,] 6.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共 1.直线1经过两点(4，一2)，(-3,4)，则1的斜 率为 ( 线，则+号的值为 a A-号 b.7 7.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如 图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？ 7 C.一6 7 D.6 W乙Wt) 2.已知函数f(x)=2x2一4的图象上两点A,B, 甲W,(t月 且xA=1,xB=1.1,则函数f(x)从A点到B to-△ 点的平均变化率为 () A.4 B.4x C.4.2 D.4.02 3.已知函数f(x)=√在[1，a]上的平均变化率 为，则实数a的值为 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 4.已知f(x)=2x+1和g(x)=3x十2在区间 8.证明：函数f(x)=√元+x是增函数 [m,n]上的平均变化率分别为a和b,则 ( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.不确定 5.函数f(x)的定义域为R,且对于任意x1,x2∈ R(,≠，)均有fa,）-f<0成立，若 x2一x1 f(1-a)>f(2a-1),则实数a的取值范围为 课后反思 172课堂达标 新知生成 1,D[对于A,y=一x2+1,图象开口向下，在(0，十∞)上单调 斜率斜率不存在 递减，不符合题意； 新知应用 对于B,y=x2-一2x,图象开口向上，对称轴为直线x=1,其 1.BC[直线l的斜率k=一2，且过点(3,2)， 在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，不符合题意； 对于C,y=1一x在(0，十∞)上单调递减，不符合题意； 对A,计第号号一2A： 对于D,y=|x|一1，当x>0时，y=x一1，在(0，+∞)上单 调递增.故选D.] 对于B,计算0一2 4-3一2，故B正确； 2.ABD[由减函数的定义，知A说法正确； 对于C,计算4二2=一2，故C正确； 6-3 对于B,3x1,x2∈(a,b),当x1<x2时，f(x1)>f(x2), 所以f(x)不是(a,b)上的增函数，B说法正确； 对子D计年是=≠-2楼D境溪] 对于C,若f(x)= 红，0≤x≤1，则f(x)在[0,1]和1,2] x-1,1<x≤2， 2D[尚品-号号每样6=-a] 上均单调递增，但f(x)在[0,2]上不单调递增，C说法错误； 活动二 对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确.故选ABD.] 新知导学 3.B[函数f(x)=x2一3mx+18(m∈R)图象的对称轴为直 线z=驷，若f(2)在(0,3)上不单羽，剥0<3%<3，解 2 km2 km=80 km/h, 间题2提示：记测速为v,则v=1.5min1h 得0<m<2.] 因此它没有超速.这种测速的本质是汽车的平均速度. 4.C[由题意知a≠0，当a>0时，最大值为4a一b,最小值为 新知生成 2a-b,差为2a,所以a=1;当a<0时，最大值为2a一b,最小 f(x2)-f(x1) 值为4a-b,差为-2a,所以a=-1.综上，a的值为1或 x2-x1 -1.] 新知应用 5.C[f(x)在R上为增函数， 解：因为△y=f(2+△x)一f(2) 且f(2m)>f(-m+9), =-2(2+△x)2+5-(-2×22+5) .2m>-m+9,即m>3,故选C.] =-8△x-2(△x)2, a-3<0, 6.D[依题意得，实数a满足2a>0, 所以Ay=-8-2△，即平均变化率为-8-2△z. △x a-3+5≥2a, 活动三 解得0<a≤2.] 新知导学 7.解：(1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2, 问题3(1)提示：根据平均变化率公式y=f(x)一f(x)】 △x x2一x1 fx)-f(a)=-1_x-1 3(x1-x2) x1=-2,x2=1, x1十2x2十2(x1+2)(x2+2)1 f(-2)=2×(-2)十3=-1，f(1)=2×1十3=5，则平均变 因为3≤x1<x2≤5， 所以x1-x2<0,(x1十2)(x2十2)>0， 化率Ay=5-(-1)6 8z1-(-2)=3=2.因为平均变化率2>0，表明在 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 区间[一2,1]上，随着x值增大，y值平均增长速度为正，所以 所以f(x)在[3,5]上为增函数. 函数f(x)=2x+3在区间[一2,1]上单调递增， (2)由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数， 4 则f(x)的最大值为f(5)=7, (2提示：，=2，=4h(2②)=号A(0=子，根操公式可得 11 1 2 f(x)的最小值为f(3)= 2=一8因为平均变化率 4 1 学案26函数的平均变化率 一8<0，说明在区间[2,4]上，随着x值增大，y值平均变化 1 课堂活动 为负，即画数h(x)=1在区间[2,4们上单调递减。 活动一 新知导学 新知生成 问题1提示：斜率， (1)>(2)< 251■ 新知应用 8.证明：函数f(x)=√x十x的定义域为[0，十∞)， 证明：令y=f)2对任意xE0,+∞)且x≠ 任取x1,x2∈[0，十∞)且x1≠x2, 22 刚是))因+：-瓜- 盛- 2(z-x) -2(x1十x2) x2一x1 x2一x1 x2-方xz,-x)x 1 =+1. 因为x1>0,x2>0, x2+√x 所以E,十>0，xix>0,所以Ay<0, E1x,∈[0，+∞)，Ay>0. △x △x 所以fx)=名在(0，十0)上是减画数. 函数f(x)=√元十x是增函数. 课堂达标 学案27二次函数的单调性与最值 1A[南=得1的钟率为二二=号] x1-x2 -3-4 【例题1】A[根据题意，函数f(x)=x2-kx一8为二次函 2cg0-a2-18=f2-2 EB一xA 1.1-1 数，共图象开口向上，对称轴为直线x=令，若函数于(x) 3.B[f(x)=反在[1，a]上的平均变化率为=石-1 x2-kx一8在区间[5,20]上具有单调性， △xa-1 1十后=年，解得a=9.故选B.] 11 2≥20， 解得k≤10或k≥40， 4.B[由题意得a=fm）-fm)_2n+1-②m+1）=2, 所以实数k的取值范围是（一∞，10]U[40,十∞）.] n-m n-m 6=gm）-g(m）_3n+2-(3m+2-=3, 跟踪训练1（-∞，一3]一3[函数f(x)的图象的对称轴 n-m n-m 为直线x=1一a,若函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减， 故a<b.] 则1一a≥4，解得a≤一3. 5.B[由题毫u,)-f<01≠，不坊假设x,<, 若函数f(x)的单调递减区间为（一∞，4]，则1一a=4,解得 x2一x1 a=-3.] 则f(x1)>f(x2), 角度1 所以∫(x)在R上单调递减， 又f(1-a)>f(2a-1), a2-2a,-2a≤1， 【例题2】 [:函数y=x2-2x=(x-1D)2-1, 所以1-a<2a-1, -1,a>1 解不等式得a>2 .对称轴为直线x=1, , 当一2<a≤1时，函数在[一2，a]上单调递减， 则实数a的取值范周为（号+）] 则当x=a时，ymn=a2-2a; 当a>1时，函数在[一2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递 1 6.2 [:A,B,C三点共线，且A点横坐标与C点横坐标不 增，则当x=1时，ymn=-1. 相等， 1a2-2a,-2<a≤1， AB,AC的针率存在且相学，中号8号名 综上，g(a)= -1,a>1. .2(a+b)=ab, 角度2 【例题3】22[f(x)=-2x2+mx+3=-2(x-公）'+ + 8+3, 7.解：在to处，虽然W1(t)=W2(to), 0≤m≤4， 但W)-W,。-△)W,)-w,,-△) △t △t 0≤g≤1， 即W。-△4)-w1)W,-△)-w2,) △t △t “当x=婴时，fx)取得最大值， 所以在相同时间△内，甲厂比乙厂的平均治污率小 所以乙厂治污效果较好. 8+3=4,解得m=22.] 1126