学案18 一元二次不等式的解法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

不等式x一5|+|x十3|≥10可化为-(x一5)+(x+3)= (2)原不等式可化为3x2一6x十2≥0. 8≥10不成立； 当x>5时， 配方得3(x-10-1≥0，中(x-1D°≥分 不等式x-5|+|x十3|≥10可化为(x-5)+(x十3)≥10， 解得x≥6. 两边开手方释，一川≥ 故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集为(-∞，-4]U 所以x-1长-或-1≥ 3 39 [6,十∞).故选D.] 4.B[由q:x-1<2,解得-1<x<3, 所以≤1-或x≥1+ 3 3 因为p:-1<x<4, 由p不能推出q,但q能推出力. 或x≥3+3》 所以原不等式的解集为☑≤5或 3 因此，p是q的必要不充分条件.] 活动二 5ABc[由2号>1，得x>2 新知导学 问题2提示：等价；优点是将不熟悉的分式不等式化归为熟悉 由题意得z>m,m∈的 的解集为(2，十∞)， 的一元二次不等式. 所以m≤2，又m∈N, 新知应用 故m=0,1,2.] 【) [因为不等式3江+≥0可转化为 6.-3[由数轴上的中点坐标公式可得工=2,8-3.] 1-4x 2 1(3x+1)(1-4x)≥0， 2-4号2x-0,0 1-4x≠0， 7.解：(1) 1 2x-1+3x<1.@ 2 解不等式@得≥-是，解不年式②得x<3。 所以愿不等式的解桌为[号，日）门 课堂达标 所以不等式复防标系为一<<小： 1.B[原不等式即为(x-2)(2x-1)≤0， |x≤-2， (2)原不等式等价于 解得<<2， (-(x-1)-(x+2)<5 |-2<x<1, 或 故原不等浅的解集为：合<≤2.门 (-(x-1)+(x+2)<5 或/1， 2(←，号）u(停+）[原不等我可化为经10， lx-1+x+2<5, 解得一3<x≤-2或-2<x<1或1≤x<2, 即子0 所以一3<x<2. 等价于(3x-2)(4x-3)>0. 故原不等式的解集为(-3,2). 解得<号或> 4 学案18一元二次不等式的解法 所以原不等式的解集为(，号)U(保，+)] 课堂活动 3.{al-3≤a≤-2}[令A={x|x|<1}={xl-1<x<1), 活动一 B={xl[x-(a+1)][x-(a+4)]<0}={xla+1<x<a+4. 新知导学 问题1提示：每个不等式含有一个未知数，未知数的最高次数 是2. a+1-10ia44元 新知生成 依题意，A二B,在数轴上作出包含关系图形， 1.≠ a+1≤-1， 如图所示，则 2.(1)(x1,x2)(-∞，x1)U(x2,+∞)(2)(x-h)2>k或 a+4≥1， (x-h)2<k 解得-3≤a≤-2.] 新知应用 4.解：将不等式x2-(a十a2)x十a3>0变形为(x-a)(x-a2)>0. 解：(1)原不等式可化为(2x-1)(x十3)<0， 当a<0时，有a<a2,所以x<a或x>a2； 当a=0时，a=a2=0,所以x≠0； 所以原不等式的解集为(-3,2)】 当0<a<1时，有a>a2, I116 所以x<a2或x>a; 1 当a=1时，a=a2=1,所以x≠1； 当且仅当a-2=。一2，即a=3时取等号. 当a>1时，有a<a2,所以x<a或x>a2. n=4-b2<4, 综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或 所以m>n.] 活动三 x>a2}:当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{xx<a2或x>a)； 新知导学 问题4提示：因为a,b为正数， 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 11 学案19 均值不等式及其应用（一） 所以。，后也为正数。 课堂活动 所以a+ a正=26+2话=2 a≥2√a a 活动一 新知导学 所以a+6++4 问题1提示士>瓜，当且仅当a=6时，等号成立， 。b=6,即a=6=1时，取得等号. 1 1 当且仅当a= 证明知下，-6-a十6,2@ 新知应用 a)-2Va5+66)_6-6)≥0， 证明：因为>06>0a+6-1,所以1+-1+2-2 a 2 2 同理得1+6=2+分， 即士产V6,当且仅当a=6时，等号成立。 所以(1+日)(1+名)=(2+)(2+云)=5+ 问题2提示6为矩形的面积西（士）为以产为边长 2(+号）≥5+4=9，当且仅当合=即a=b=时￥ 的正方形的面积，可以得到：周长一定的矩形中，正方形的面 号成立， 积最大. 问题3提示：由△ACDC△DCB, 所以(1+日)(1+合)≥9. 常器得cD=瓜， 课堂达标 60n=,且0D≥cD, 1.B[由题知0<a<b,且a十h=1,所以0<a<),号<b<1,故 22 即圆的半径不小于它的半弦长， #除D:因为a+6>a士》-日，故排除A因为a十6 2 新知生成 >2ab,故排除C.故选B.] 1.&6 2.B[由均值不等式的条件“一正、二定、三相等”，即均值不等 2 vab atbtc 3 式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x一2y)十 新知应用 (②)[只有当x>0时，才能由均值不等式得到x十1≥ x-2)≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2.故选B.] 2·王=2，故1特花； 3A>>02>x,生>V网，网>， 即>y,x>>>. 当a<0,b<0时，ab>0,由均值不等式可得 2 故选A.] 6+6>2d·品-2，故(2)正确： 1 4.C[由题图可知直角三角形的两直角边的长度分别为a,b, 由均值不等式可知，当兰>0，>0时，有义十二≥ 可将斜边长度取作c(c2=a2+b2), y y 则外围的正方形的面积为c2,也就是a2十b2 以·工=2成立，这时只需x与y同号即可，故(3) 四个阴影直角三角形的面积之和刚好为2ab, 2N五y 对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab, 错误.] 当且仅当a=b时等号成立.] 活动二 新知应用 5.AB[A中，当≥0时，x+1+≥2(x+)· A[m=a+, a-2a-2+1 +a—2+2≥2+2=4， =2,当且仅当x+1=十1，即x=0时，等号成立，正确： 171人教B版数学必修第一册 学案18一元二次不等式的解法 记 学习任务 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.（数学抽象） 2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法.（数学运算） 3.会解简单的分式不等式.（数学运算） 课堂活动 新知应用 求下列不等式的解集： 活动一。掌握一元二次不等式的解法 (1)2x2+5x-3<0;(2)-3.x2+6.x≤2. 阄新知导学 问题1给出下面四个不等式： (1)x2-x-6>0; (2)x2-x-6≤0； (3)x2-4x+4≥0； (4)2x2+x+5<0. 以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知 数？未知数的最高次数是多少？ 「方法总结」解一元二次不等式的一般步骤 (1)首先把各项系数变为整数，二次项系数变成 厅新知生成 正数. (2)分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全 1.一元二次不等式的概念 平方式形式 一般地，形如ax2十bx十c>0的不等式称为一 (3)写出不等式的解集. 元二次不等式，其中a,b,c是常数，而且 a 0.一元二次不等式中的不等号也可以 活动二掌握简单的分式不等式的解法 是“<”“≥”“≤”等】 阄新知导学 2.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法：如果x1<x2,则不等式 问题2 一3>0与(x-3)(x十2)>0等价吗？ x+2 (x-x1)(x-x2)<0的解集是 ,不 将之二3 等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是 2+2>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么 优点？ (2)配方法：一元二次不等式ax2+bx十c>0 (a≠0)通过配方总是可以变为 的形式，然后根据k的正负 等知识，就可以得到原不等式的解集， ■148 一元二次不等式的解法 学案18 同新知生成 课堂达标 分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.各 1.不等式(x-2)(1-2x)≥0的解集为 ( 课笔记 种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式 ax+b a女>引 cx+d >0(≥0)或ax+b <0(≤0). cxd c≤或x≥2 D女≤ 个新知应用 不等式江0的解集是 1不等式号1的解袋为 3.若不等式x<1成立时，不等式[x-(a十1)]· 「方法总结」解分式不等式时，首先经过同解变 [x-(a十4)]<0也成立，则实数a的取值范围 形转化为形如axt白>0（≥0）或axt cx+d 'cx+d <0(≤0) 为 的形式，再转化为一元二次不等式或其他整式不 4.解关于x的不等式：x2-(a十a2)x十a3>0(a∈R). 等式求解，解分式不等式进行转化时，要注意分母 不为零。 课堂小结 一元二次不等式的概念 元 二次 不等 一元二次不等式的解法 式的 解法 简单的分式不等式的解法 课后反思 ! 491