学案17 不等式的解集-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

不等式的解集学案17 学案17不等式的解集 听 昆学习任务 记 1.了解不等式（组）解集的概念，会求简单的一元一次不等式（组）的解集.（数学运算） 2.了解含绝对值的不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.（直观想象、数学运算） 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式.（数学运算） 「方法总结」不等式组的解集的求解步骤 课堂活动 (1)求出不等式组中每个不等式的解集， 活动一掌握一元一次不等式（组）的解法 (2)求出各解集的交集. 阄新知导学 (3)写出不等式组的解集， 问题1方程的解与方程的解集是一样吗？ 活动二。掌握含一个绝对值的不等式的解法 阄新知导学 问题3我们知道，数a的绝对值是指数轴上表 示数a的点与原点的距离，比如|a|=3是数轴： 上表示数a的点与原点的距离为3，即a=3或 问题2如何由方程的解集与不等式的解定义不 a=-3,那么a|>3的意义是什么呢？ 等式的解集？ 厅新知生成 不等式的解 能够使不等式成立的未知数的值 后新知生成 不等式的解集 不等式的 组成的集合 1.绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等 对于由若干个不等式联立得到的 式.例如，|x|>3,|x一1|≤2都是绝对值不 不等式组的解集 不等式组来说，这些不等式的解 集的 等式 2.绝对值不等式的解集 今新知应用 (1)当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解 |x-2<0, 为x>m或x<-m,因此解集为(-∞，-m) 不等式组 的解集为 3x<4x+3 U(m,十∞)； A.(-3,2) B.(-3,-2) (2)关于x的不等式|x≤m的解为一m≤x≤ C.(-∞，2] D.[-3,+∞) m,因此解集为[-m,m]. 4510 人教B版数学必修第一册 听 3数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 新知应用 课 一般地，如果实数a,b在数轴上对应的点分别 解不等式|2x-1<|x+1. 记 为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为 AB=|a一b|,这就是数轴上两点之间的距离 公式. 如果线段AB的中点M对应的数为x,则由 AM=MB可知|a-x|=|x-b|,因此：当 a<b时，有a<x<b,从而x-a=b-x,所以 x=4+6 2 当a≥b时，类似可得上式仍成立.这就是数轴 上的中点坐标公式. 新知应用 不等式|x一1>4的解集为 「方法总结」对于形如|x-a+|x一b|>c和 「方法总结」(1)如果c>0,那么|x|<c台 x-a|+|x-b|<c的不等式，一般以x=a, -c<x<c,|x|>c台x<-c或x>c. x=b为分界点，将数轴分为几个部分，利用分界 (2)如果c>0,那么|ax+b|<c台-c<ax+b 点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解.分段 <c,lax+b|>c台ax+b<-c或a.x+b>c. 讨论法适用于解含有多个绝对值的不等式. 活动三掌握含两个绝对值的不等式的解法 课堂小结 阄新知导学 元一次不等式（组）的解集 问题4|x+7|一|x一2|=3的几何意义是 不等式 的解集 什么？ 绝对值不等式 课堂达标 x十3>0， 1.不等式组 的解集为() 3(x-1)≤2x-1 同新知生成 A.(-3,0] B.(-3,2] |x-a士|x-b|≥c和|x-a土|x-b≤c型 c.☑ 不等式的两种解法 2.不等式|2x十1>3的解集是 (1)利用绝对值不等式的几何意义 A.{x|x<-2或x>1〉 (2)利用x一a=0,x一b=0的解，将数轴分成三 B.{x|-2<x<1》 个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为 C.{x|x<-2或x≥1》 不等式而求解。 D.{x|-2≤x<1} 1146 不等式的解集学案17 3.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是() 7.解下列不等式（组）： 听 A.[-5,7] (2x-1), B.[-4,6] (1) 课笔记 C.(-∞，-5]U[7,+∞) 2x 1十3x<1 2 D.(-∞，-4]U[6,+∞) (2)|x-1|+|x+2<5. 4.已知命题p:-1<x<4,9:x-1<2,则p是 q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2x-1 >1, 5.(多选)不等式组 3 的解集为 x>m,m∈N (2,十∞)，则m的值可以是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知数轴上，A(2),B(x),C(一8).若A与C 关于点B对称，则x=一· i反 4710=2a+7+2(a+3)(a+4). 活动二 :(a+3)(a+4)=a2+7a+12>a2+7a=a(a+7). 新知导学 ∴Q2>P2 问题3提示：a>3是数轴上表示数a的点与原点的距离大 .P<Q.] 于3，即a>3或a<一3.我们常用这个思路解含绝对值的不 2.C[用分析法证明“√2I<5”时，正确的步骤是“欲证√2I<5, 等式. 只需证21<25”.故选C.] 新知应用 3.B[“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故 (-∞，-3)U(5,+o∞)[|x-1|>4→x-1>4或x-1< 选B.] -4→x>5或x<-3, 4.C[根据分析法知需是√2一√3<√6一√7成立的充分条件， 故不等式的解集为(-∞，-3)U(5,十∞).] 活动三 即√2十√7<5+√6，结合不等式的性质，若a>b>0,则 新知导学 a2>b2,故选C.] 问题4提示：x十7川一|x一2|可以看成数轴上的动点（坐标 5.a>b[,215>2√12，.8+2√15>8+2√12，即(3)2+ 为(x))到一7对应，点的距离与到2对应点的距离的差等于 2√15+(5)2>(W2)2+2√/12+(6)2，∴(W3+√5)2>(W2+ 3,即x=-1. √6)2,5+5>2+6，故a>b.] 新知生成 6.x2+2>3x[(x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为x<1,所 (2)不含绝对值的 以x-1<0,x-2<0,所以(x一1)(x-2)>0,所以x2十2 新知应用 >3x.] 解：当x<0时，原不等式可化为一2x十1<一x十1， 7.证明：法一：（分析法) 解得x>0, :x>0中z>0,1+号>0， 又因为x<0,所以不等式无解； 六美证y1中1+受， 当0区<号时，原不等式可化为-2z+1<x+1, 解得x>0, 风离证1叶<1+红+宁只安运0<号 又为< :x>0,>0成立，故V1+<1+受 所以0<x<2； 1 法二：（反证法） 佩设V1什≥1+营， 当≥2时，原不等式可化为2x-1Kx十1，解得x<2, x>0, 又周为≥7：所以<<2， 不等式两边为正， 综上所述，原不等式的解集为{x|0<x<2}. 1+x≥1+x+4,即0 课堂达标 x+3>0,① x=0,与条件x>0矛盾. 1.B[解不等式组 3(x-1)≤2x-1,② 假设不成立，放中z<1+受成立， 将①式移项，得x>一3. 将②式去括号，得3x一3≤2x-1. 学案17不等式的解集 移项、合并同类项，得x≤2 课堂活动 所以不等式组的解集为（一3,2].] 活动一 2.A[由|2x+1>3,得2x+1>3或2x+1<-3,因此x 新知导学 一2或x>1,所以原不等式的解集为{x|x<一2或x>1}.] 问题1提示：不一样.方程的解集是方程的解构成的集合 3.D[法一：当x=0时，|x-5|+|x十3|=8≥10不成立，可 问题2提示：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集， 排除A,B; 新知生成 当x=一4时，|x一5|+x十3|=10≥10成立，可排除C,故 所有解交集 选D. 新知应用 法二：当x<-3时，不等式|x一5|十|x+3|≥10可化为 A[解不等式x-2<0,得x<2, -(x-5)-(x+3)≥10， 解不等式3x<4x十3，得x>一3， 解得x≤-4； 则不等式组的解集为（一3,2），故选A.] 当一3≤x≤5时， 151 不等式x一5|+|x十3|≥10可化为-(x一5)+(x+3)= (2)原不等式可化为3x2一6x十2≥0. 8≥10不成立； 当x>5时， 配方得3(x-10-1≥0，中(x-1D°≥分 不等式x-5|+|x十3|≥10可化为(x-5)+(x十3)≥10， 解得x≥6. 两边开手方释，一川≥ 故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集为(-∞，-4]U 所以x-1长-或-1≥ 3 39 [6,十∞).故选D.] 4.B[由q:x-1<2,解得-1<x<3, 所以≤1-或x≥1+ 3 3 因为p:-1<x<4, 由p不能推出q,但q能推出力. 或x≥3+3》 所以原不等式的解集为☑≤5或 3 因此，p是q的必要不充分条件.] 活动二 5ABc[由2号>1，得x>2 新知导学 问题2提示：等价；优点是将不熟悉的分式不等式化归为熟悉 由题意得z>m,m∈的 的解集为(2，十∞)， 的一元二次不等式. 所以m≤2，又m∈N, 新知应用 故m=0,1,2.] 【) [因为不等式3江+≥0可转化为 6.-3[由数轴上的中点坐标公式可得工=2,8-3.] 1-4x 2 1(3x+1)(1-4x)≥0， 2-4号2x-0,0 1-4x≠0， 7.解：(1) 1 2x-1+3x<1.@ 2 解不等式@得≥-是，解不年式②得x<3。 所以愿不等式的解桌为[号，日）门 课堂达标 所以不等式复防标系为一<<小： 1.B[原不等式即为(x-2)(2x-1)≤0， |x≤-2， (2)原不等式等价于 解得<<2， (-(x-1)-(x+2)<5 |-2<x<1, 或 故原不等浅的解集为：合<≤2.门 (-(x-1)+(x+2)<5 或/1， 2(←，号）u(停+）[原不等我可化为经10， lx-1+x+2<5, 解得一3<x≤-2或-2<x<1或1≤x<2, 即子0 所以一3<x<2. 等价于(3x-2)(4x-3)>0. 故原不等式的解集为(-3,2). 解得<号或> 4 学案18一元二次不等式的解法 所以原不等式的解集为(，号)U(保，+)] 课堂活动 3.{al-3≤a≤-2}[令A={x|x|<1}={xl-1<x<1), 活动一 B={xl[x-(a+1)][x-(a+4)]<0}={xla+1<x<a+4. 新知导学 问题1提示：每个不等式含有一个未知数，未知数的最高次数 是2. a+1-10ia44元 新知生成 依题意，A二B,在数轴上作出包含关系图形， 1.≠ a+1≤-1， 如图所示，则 2.(1)(x1,x2)(-∞，x1)U(x2,+∞)(2)(x-h)2>k或 a+4≥1， (x-h)2<k 解得-3≤a≤-2.] 新知应用 4.解：将不等式x2-(a十a2)x十a3>0变形为(x-a)(x-a2)>0. 解：(1)原不等式可化为(2x-1)(x十3)<0， 当a<0时，有a<a2,所以x<a或x>a2； 当a=0时，a=a2=0,所以x≠0； 所以原不等式的解集为(-3,2)】 当0<a<1时，有a>a2, I116