学案16 不等式的证明方法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 课 学案16不等式的证明方法 记 学习任务 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.（逻辑 推理) 2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点及反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些 简单的问题.（逻辑推理） 「方法总结」 综合法证明问题的三个步骤 课堂活动 仔细分析题目的已知条件（包括隐含条 活动一 掌握综合法证明问题 分析条件 件)，分析已知与结论之间的联系与区 选择方向 别，选择相关的公理、定理、公式 阄新知导学 结论，确定恰当的解题方法 问题1 能否借助a2-2ab十b2=(a-b)2证明 把题目中的已知条件，转化成解题所 需要的语言，主要是文字、符号、图形 不等式a2+b2≥2ab? 转化条件 组织过程 三种语言之间的转化，组织过程时要 有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的 思路 适当调整！ 解题后回顾解题过程，可对部分步骤 回顾反思 进行调整，并对一些语言进行适当的 修饰，反思总结解题方法的选取 厅新知生成 活动二掌握分析法证明问题 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推 新知导学 导最后得到结论的方法，在数学中通常称为 法.综合法最重要的推理形式为，其 问题2若a2>b2成立，只要保证 即可. 中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实 (填序号) 质就是不断寻找 ①b1>6®s>6,6g@a@6c 新知应用 已知a>b,ab<0,用综合法求证：>6 11 厅新知生成 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分 条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件（已知条件、公理、定理等）为止. 分析法最重要的推理形式为 ,其中力是 需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻 找结论成立的 1142 不等式的证明方法学案16 今新知应用 新知应用 听 用分析法证明：√2一1>2-5. 用反证法证明： 课笔 若-ad≥0，id>0,则结≤士 d 「方法总结」利用反证法证明问题的步骤 「方法总结」应用分析法证明问题时，常见失 (1)分清命题的条件和结论 分点 (2)作出与命题结论相矛盾的假设. (1)未严格套用分析法的格式. (3)由假设出发，推理得到矛盾。 (2)未找到明显的使命题成立的条件 (4)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不 活动三掌握反证法证明问题 成立，于是原结论成立，从而间接地证明原命题 阄新知导学 为真。 问题3对于a2+b2与2ab,如果我们能证明 课堂小结 a2+b2<2ab不成立，那么是否说明a2+b2≥ 2ab一定成立？ 综合法 不等式的证明 分析法 反证法 课堂达标 1.若P=√a+√a+7,Q=√a+3+√a十4(a≥ 厅新知生成 0),则P,Q的大小关系是 首先假设 成立，然后由此进行推理得到 A.P>Q 矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的 B.P=Q 方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的 C.P<Q 方法. D.由a的取值确定 431 人教B版数学必修第一册 听 2.用分析法证明“√21<5”时，正确的步骤是 6.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系 课 为 .（用“>”连接) 记 A.“√/21<5,21<25” 7.已知x>0,分别用分析法和反证法证明： B.“√21<5→21<25” 1+五<1+号 C.“欲证√21<5，只需证21<25” D.“因为21<25，所以21<5” 3.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a,b,c 中恰有一个偶数”正确的假设是 () A.自然数a,b,c中至少有两个偶数 B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是 奇数 C.自然数a,b,c都是奇数 D.自然数a,b,c都是偶数 4.要证√2-√3<√6一√7成立，只需证明 ( ) A.(2-3)2<(6-7)2 B.(2-√6)2<(3-√7)2 C.(2+7)2<(3+6) D.(2-√3-√6)2<(-7)2 5.设a=√3+√5，b=√2+√6，则a,b的大小关系 为 .（用“>”连接) 课后反思 1144可以为a>0>b,如a=1,b=一1， 学案16不等式的证明方法 所以<西“是“日>行的死不无分也不必要条件。 课堂活动 故选D.] 活动一 3.D[由a,b均为正实数，M=a3+b3,N=a2b+ab2, 新知导学 得M-N=a3十b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)= 问题1提示：能..(a-b)2=a2-2ab+b2≥0， (a-b)(a2-b2) .a2+b2≥2ab. =(a-b)2(a十b)≥0，当且仅当a=b时取等号， 新知生成 所以M≥N. 综合p→q必然成立的结论 故选D.] 新知应用 4.A[对于A,若√a>√b,则a>b≥0，显然a>b成立，选项A 证明：a>b,.b-a<0. .11b-a 正确； 又a-b-ab ab<0, 对于B,若ab>ac,当a>0时，b>c,当a<0时，b<c,选项B 错误； 对于C,若a>0,bc-ad>0,C-d=bc-ad 活动二 a b >0→ab>0, ab 新知导学 b>0,选项C错误； 问题2提示：①⑤ 对于D,令a=3,b=-2,1=1, 1 新知生成 C -2, p←q充分条件 满足a>6,1>， >但是兰=8 b =4, 新知应用 证明：要证√2一1>2一√3，只需证明√2十√3>3，只需证明 不满足>合选项D修民。 (√2+√3)2>32，即5+2√6>9， 故选A.] 只需证明√6>2，即6>4. 5.10一1（答案不唯一，满足a>b>c即可）[因为a>b> 因为6>4成立，所以√2-1>2一√3. c,b2≥0， 活动三 若b=0,则ab2=cb2=0; 新知导学 若b≠0，则b2>0,可得ab2>cb2； 问题3提示：是.此处应用的是命题p与其否定一力一真一假 综上所述，ab2≥cb2. 的原理. 所以对于任意a>b>c,命题力均为假命题， 新知生成 例如a=1,b=0,c=-1.] 结论的否定 6.①0[0若ab>0,a>6,则1-1-6-a<0, 11 新知应用 a b ab a b 所以①正确 证明设则十11 b ②若a>b,c>d,如a=2,b=1,c=-1,d=-2, 6d 0即2>0 则a-c=b一d=3,所以②错误 bd ③对于正数a,b,m,若a>b, (ad-bc>0; (ad-bc<0, 或 与条件bc-ad≥0，bd>0 则点-_6+m=ab+bm-ab-am=b-a)m bd>0 bd<0, aa+ma(a十m)a(a+m)' 矛盾， b-a<0,m>0,a>0,a+m>0, 假设不成立，…中中≤中 d 所以点_6士m<0,白<士m,所以③正骑.] aa十m aa+m 课堂达标 7.解：(1)①(x2+5x+6)-(2x2+5x十9)=-x2-3<0, 1.C[P>0,Q>0, 所以x2+5x+6<2x2+5x+9. 要比较P,Q的大小关系， ②x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0, 只需比较P,Q的大小关系， 故x2+y2+1>2(x+y-1). p2=a+a+7+2va·Wa+7 (2)由于2<a<3,则4<2a<6,又-2<b<一1，故2<2a+b =2a+7+2a(a+7), <5. Q2=a+3+a+4+2√a+3·Wa+4 114 =2a+7+2(a+3)(a+4). 活动二 :(a+3)(a+4)=a2+7a+12>a2+7a=a(a+7). 新知导学 ∴Q2>P2 问题3提示：a>3是数轴上表示数a的点与原点的距离大 .P<Q.] 于3，即a>3或a<一3.我们常用这个思路解含绝对值的不 2.C[用分析法证明“√2I<5”时，正确的步骤是“欲证√2I<5, 等式. 只需证21<25”.故选C.] 新知应用 3.B[“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故 (-∞，-3)U(5,+o∞)[|x-1|>4→x-1>4或x-1< 选B.] -4→x>5或x<-3, 4.C[根据分析法知需是√2一√3<√6一√7成立的充分条件， 故不等式的解集为(-∞，-3)U(5,十∞).] 活动三 即√2十√7<5+√6，结合不等式的性质，若a>b>0,则 新知导学 a2>b2,故选C.] 问题4提示：x十7川一|x一2|可以看成数轴上的动点（坐标 5.a>b[,215>2√12，.8+2√15>8+2√12，即(3)2+ 为(x))到一7对应，点的距离与到2对应点的距离的差等于 2√15+(5)2>(W2)2+2√/12+(6)2，∴(W3+√5)2>(W2+ 3,即x=-1. √6)2,5+5>2+6，故a>b.] 新知生成 6.x2+2>3x[(x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为x<1,所 (2)不含绝对值的 以x-1<0,x-2<0,所以(x一1)(x-2)>0,所以x2十2 新知应用 >3x.] 解：当x<0时，原不等式可化为一2x十1<一x十1， 7.证明：法一：（分析法) 解得x>0, :x>0中z>0,1+号>0， 又因为x<0,所以不等式无解； 六美证y1中1+受， 当0区<号时，原不等式可化为-2z+1<x+1, 解得x>0, 风离证1叶<1+红+宁只安运0<号 又为< :x>0,>0成立，故V1+<1+受 所以0<x<2； 1 法二：（反证法） 佩设V1什≥1+营， 当≥2时，原不等式可化为2x-1Kx十1，解得x<2, x>0, 又周为≥7：所以<<2， 不等式两边为正， 综上所述，原不等式的解集为{x|0<x<2}. 1+x≥1+x+4,即0 课堂达标 x+3>0,① x=0,与条件x>0矛盾. 1.B[解不等式组 3(x-1)≤2x-1,② 假设不成立，放中z<1+受成立， 将①式移项，得x>一3. 将②式去括号，得3x一3≤2x-1. 学案17不等式的解集 移项、合并同类项，得x≤2 课堂活动 所以不等式组的解集为（一3,2].] 活动一 2.A[由|2x+1>3,得2x+1>3或2x+1<-3,因此x 新知导学 一2或x>1,所以原不等式的解集为{x|x<一2或x>1}.] 问题1提示：不一样.方程的解集是方程的解构成的集合 3.D[法一：当x=0时，|x-5|+|x十3|=8≥10不成立，可 问题2提示：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集， 排除A,B; 新知生成 当x=一4时，|x一5|+x十3|=10≥10成立，可排除C,故 所有解交集 选D. 新知应用 法二：当x<-3时，不等式|x一5|十|x+3|≥10可化为 A[解不等式x-2<0,得x<2, -(x-5)-(x+3)≥10， 解不等式3x<4x十3，得x>一3， 解得x≤-4； 则不等式组的解集为（一3,2），故选A.] 当一3≤x≤5时， 151