学案35 函数的应用(一)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

函数的应用（一）学案35 学案35 函数的应用（一） 听 昆学习任务 笔记 1.了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应 用.（数学抽象） 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.（数学建模） 七课堂活动 「方法总结」求解一次函数模型的方法 待定系数法：将已知数据代入函数表达式y=x十b 活动一掌握一次函数模型的应用 (k,b为常数，≠0)，联立方程组求解k和b,注意计 询新知导学 算准确性，可通过回代数据点检验结果.另外要根据 实际情境确定自变量的取值范围，如时间非负、物品 问题1 一 次函数模型的特点是什么？如何 数量为整数等 求解？ 活动二掌握二次函数模型的应用 阄新知导学 问题2利用二次函数模型求最值时，需要注意 什么？ 后新知生成 一次函数模型 (k,b为常数，k≠0) 今新知应用 后新知生成 某长途汽车客运公司规定 y元 (a,b,c为常 旅客可随身携带一定质量 10---- 二次函数模型 数，a≠0) 的行李.若超过规定的质 量，则需购买行李票，行李0 6080x/kg 今新知应用 费用y(单位：元)是行李质量x(单位：kg)的一 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果！ 次函数，其图象如图所示 以单价30元销售，那么可卖出400件，如果单 (1)根据图象数据，求y关于x的函数解析式； 价每提高1元，那么销售量Q(单位：件)会减少 (2)旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 20,设每件商品的售价为x(单位：元)，这批商 品的总利润为y(单位：元). (1)请将销售量Q(单位：件)表示成关于每件商 品售价x(单位：元)的函数； 9510 人教B版数学必修第一册 (2)当每件商品的售价x为多少元时，才能使 100 x -一37（单位：万元）.每件产品售价为6元.通 课 这批商品的总利润y最大？ 过市场分析，该厂生产的果袋当年能全部售完. 记 (1)写出年利润Q(x)(单位：万元)关于年产量 x(单位：万件)的函数解析式；（注：年利润=年 销售收入一固定成本一流动成本) (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最 大？最大利润是多少？ 「方法总结」利用二次函数模型求最值的策略 根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方 法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求 最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省 等最值问题。 活动三掌握分段函数模型与对勾函数 模型的应用 阄新知导学 「方法总结」 (1)应用分段函数模型时的三个注意点 问题3分段函数模型的求解技巧是什么？ ①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. ②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范 围的并集。 ③分段函数的最值求法：逐段求函数值的最值，最 后比较再下结论. 厅新知生成 (2)实际问题中若遇对勾函数模型，往往涉及求最 大（小）值，一般考虑运用均值不等式求解 f1(x),x∈I1, f2(x),x∈I2, 5课堂小结 分段函数模型 f(x)= . 次函数模型的应用 fn(x),x∈I 二次函数模型的应用 6 函数的应用（一） 对勾函数模型 f(x)=ax+ 分段函数模型的应用 (a,b为常数，且ab>0) 对勾函数模型的应用 今新知应用 课堂达标 为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市 1.一辆汽车在某段路程中的行驶 场调查，生产需投入年固定成本2万元，每生产 路程s关于时间t变化的图象 x万件，需另投人流动成本W(x)万元，在年产 如图所示，那么图象所对应的 量不足8万件时，W(x)= x+2x(单位：万 函数模型是 ）0 A.一次函数模型 B.二次函数模型 元).在年产量不小于8万件时，W(x)=7x+ C.分段函数模型 D.对勾函数模型 1196 函数的应用（一）学案35 2.已知等腰三角形的周长为40cm,底边长y(单 6.某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速 听 位：cm)是腰长x(单位：cm)的函数，则函数的 度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则 课 定义域为 ( 汽车离开A地的距离y(单位：千米)关于时间 记 A.(10,20) B.(0,10) t(单位：小时)的函数解析式是 C.(5,10) D.[5,10) 7.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h 3.一定范围内，某种产品的购买量y(单位：吨)与单 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长 价x(单位：元)之间满足一次函数关系.如果购买 400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得 1000吨，则每吨800元；如果购买2000吨，则每 .v2 吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨 小于8O0km,那么这批物资全部到达灾区，最 少需要 h. A.820元 B.840元 8.某公司购得一台机器投入生产，根据市场分析， C.860元 D.880元 该机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万 4.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本 元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y= 为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量 -x2+18x-25(x∈N+). Q(单位：束)与销售单价x(单位：元)的关系为 (1)这台机器运转多少年时，可获得的总利润最 Q=100一5x,则当该店每天获利最大时，每束 大？最大总利润是多少？ 花应定价为 (2)这台机器运转多少年时，可获得的年平均利 A.15元 B.13元 润®最大？最大年平均利润是多少？ C.11元 D.10元 5.某超市搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超 过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金 额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣 优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金额为60元，则 此人购物实际所付金额为 A.940元 B.1000元 C.1140元 D.1200元 课后反思 9711学案35函数的应用（一） 3x2+4x-2,0<x<8, 1 所以Q(x) 课堂活动 100 35-（x+ x≥8. 活动一 新知导学 (2)当0<x<8时，Qx)=-3(x-6)+10, 问题1提示：一次函数模型的突出特点为其图象是一条直线 此时，当x=6时，Q(x)取得最大值，Q(x)max=Q(6)=10, 解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设 元、列式、求解。 吉≥8时，Q)-85-(+)≤5-22四 新知生成 35-20=15, y=kx十b 新知应用 当且收当一四布=10时， Q(x)取得最大值15. 解：(1)设y关于x的函数解析式为y=x十b(k≠0). 由于10<15，则Q(x)mx=15. 由题图可知，当x=60时，y=6; 所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为 当x=80时，y=10, 15万元 60+6=6：解得k= 所以 (80k+b=10, 5b=-6. 课堂达标 1.C[由s与t的图象，可知t分为4段，则函数模型为分段函 1 数模型.故选C.门 所以y=x一6.令5x一6≥0，得x≥30， 40-2x>0, 所以y关于x的函数解析式为 2.A[由题意得y十2x=40,则y=40-2z,且 2x>40-2x, y日-6≥0 解得10<x<20.故选A.] 3.C[设该产品满足函数关系y=x十b(k≠0)，则 (2)根据题意，当y=0时，x=30. 1000=800k+b, k=-10, 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30kg 解得 则y=-10x十9000.当 2000=700k+b, b=9000, 活动二 y=400时，即400=一10x十9000，得x=860.故选C.] 新知导学 4.B[设每天获利y元，则y=(100一5x)(x-6)-100= 问题2提示：利用二次函数模型求最值时，应特别注意取得最 -5(x-13)2+145, 值时的自变量的值与实际意义是否相符， 由x>0,Q=100-5x≥0，得0<x≤20， 新知生成 故当x=13时，每天获利最大.] y=ax2+bx+c 5.A[设此人购物总金颜为x元，可获得购物折扣金额为 新知应用 y元， 解：(1)当每件商品的售价为x元时，销售量Q=400-20(x-30) 0,0<x≤500， 则y=0.1(x-500),500<x≤900， =1000-20x,x∈[30,50]. 0.2(x-900)+40,x>900, (2)由题意得y=(x-20)(1000-20x)=-20(x-35)2十4500， 当x=900时，y=0.1×(900-500)=40, 30≤x≤50，当x=35时，yx=4500,故当每件商品的售价x为 因为60>40，所以x>900,所以0.2(x一900)+40=60，解得 35元时，才能使这批商品的总利润y最大. x=1000, 活动三 故此人购物实际所付金额为1000一60=940（元），故选A.] 新知导学 (80t,0≤t≤2， 6.y= 问题3提示：在求解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几 1160,2<t≤4 段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏” 7.10[设物资全部到达灾区所需时间最少为th, 新知应用 由题意可知，：相当于最后一辆车行装了(50×弧十40)如 解：(1)因为每件产品售价为6元， 所用的时间， 则销售x万件产品的收入为6x万元， 02 依题意得，当0<x<8时， 50×800+40 +≥2√层· /v400 因此t= =10. Qx)=-(+2）-2=-+红-2 16+ 当≥8时，Q)=r-(x+g0-3)）-2=5-(x+19）， 当且仅当6一僧中=时取等号。 故最少需要10h.] 138 8.解：(1)y=-x2十18x一25=-(x-9)2十56，当x=9时， a(x4-x3) ymx=56,故这台机器运转9年时，可获得的总利润最大，最 =(x-a)(x4-a) 大总利润为56万元. 因为a>0,x4-x3>0, (2w-+185-18-(+）<18-2v历=8 所以要使f(x3)-f(x4)>0,只需(x3-a)(x4-a)>0恒成 x 立，所以a≤1. 当且仅当x=5时，等号成立，故这台机器运转5年时，可获 综上所述，a的取值范围是(0,1]. 得的年平均利润最大，最大年平均利润为8万元 跟踪训练3解：(1)f(x)是奇函数， .f(-x)=-f(x), 学案36章末总结 mx+2=mz2+2 -3x+n -3x-n 1-x>0, 【例题1】(1)D(2)A[(1)由题意得， 比较得n=一n,解得n=0. 3x-1≠0， 部得<1温行 又2)-号细-，解得阳-2 ∴.实数m和n的值分别是2和0. (2)设u=x+1,由一2≤x≤3，得一1≤x十1≤4，所以y= f(u)的定义域为[一1,4].再由一1≤2x-1≤4， (2)由（①）知f(x)=2+2_2z+2 3x 33x 新得6低≤名即函数y=2:-D的定又域光，]，门 任取x1,x2∈[-2，-1]，且x1≠x2, 记y1=f(x1),y2=f(x2), 跟踪训练1D[根据题意可得函数f(x+1)的定义域为 [-2,1],可知x+1∈[-1,2]， 则△yf)-r()xx21》 △x x1-x2 x1-x2 即f(x)的定义域为[-1,2]， 所以g(c)-f需满足{厂1x≤2， =2.1x-1 3 x1x2 √2x+1 2x+1>0, 'x1,x2∈[-2，-1]且x1≠x2, 解得-号<x<2, 5>11-1>02>0, 即g)的定义城为(-合，2]故选D] 函数f(x)在[-2，-1]上为增函数， 【例题2】B[令t=1-x,则x=1-t,且x≠0，则t≠1， ∴fx)m=f-1D-专fxm-f-2》=-号 3 可得f)=1--)1 【例题4】解：(1)函数的定义域为R,关于原点对称， 1-)2a-1)-1u≠1)， f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x1. 1 则f(一x)=f(x), 所以fx)=a=1D-1x≠1).故选B] 所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称. 跟踪训练22巨[因为f(x)+2f()=5x+1 (x2-2x=(x-1)2-1,x≥0， (2)f(x)=x2-2|x|= x2+2x=(x+1)2-1,x<0. 所以f(）+2fx)=4红+， 画出函数图象如图所示， 两式联立得f)=2+x,又f（红)=名十x≥22， 当且权当2=工(x>0),即工=V2时取等号.所以f(x)的最 小值为2√2.] 0 【例题3】解：(1)证明：任取x1,x2∈(-∞，-2)，且x1<x2, ),年z 2(x1-x2) 因为(x1+2)(x2十2)>0，x1一x2<0, 根据图象知，函数f(x)的最小值是一1.单调递增区间是 所以f(x1)<f(x2), [-1,0],[1,+∞)；单调递减区间是(-∞，-1]，[0,1]. 所以f(x)在（一∞，一2）内单调递增. 跟踪训练4D[因为a>b>c且a十b十c=0,所以a>0, (2)任取x3,x4∈(1，十∞)，且x3<x4,则 c<0,令f(x)=ax2+bx十c,f(1)=0,则可知函数图象开口 fx,)-f(x4)=g-x4 向上，排除A和C,然后根据f(0)=c<0,可知函数图象与 x3-a xs-a y轴的交点在x轴下方.故选D.门] 391■