学案15 不等式及其性质-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

不等式及其性质学案15 学案15不等式及其性质 听 课 昆学习任务 记 1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（逻辑推理） 2.会用作差法比较两实数（代数式）的大小.（数学运算） 3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.（逻辑推理） 七课堂活动 的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的 不等式为 ( ) 活动一掌握用不等式（组）表示不等关系 A.4×2x≥100 B.4X2x≤100 )新知导学 C.4X2x>100 D.4×2x<100 「方法总结」用不等式（组）表示不等关系的 问题1你能用数学式子表示下面的关系吗？ 步骤 ①限制行驶速度v不得低于50km/h; (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至 ②装载总质量m不得超过10t: 多、至少、大于等。 ③装载高度h不得超过3.5m. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不 等式（组）： 活动二掌握作差法比较大小 阄新知导学 后新知生成 问题2在初中，我们知道数轴上的点与实数 1.不等关系与不等式 一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关！ 系来规定实数的大小关系，具体是如何规定： 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接 的呢？ ,以表示它们之间的不等关系，含有 这些不等号的式子，称为不等式 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 符号语言 大于，高于，超过 > 小于，低于，少于 厅新知生成 大于等于，至少，不低于 ≥ 1.数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如 小于等于，至多，不超过 果点P对应的数为x,则称x为 今新知应用 并记作 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是 2.作差法比较两个实数（代数式）大小的理论 依据： 每秒2厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使 a>b台 ;a=b台a-b=0;a<b 点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外 3910 人教B版数学必修第一册 听 今新知应用 同新知生成 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 1.不等式的性质 记 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b→a十c b+c 性质2 a>b,c>0→ac bc 可乘性 性质3 a>b,c<0→ac 性质4 传递性 a>b,b>c→ 性质5 对称性 a>b→b<a 2.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a+b>c台a>c-b a>b,c>d→ 推论2 同向不等式相加 a>b>0,c>d>0→ 「方法总结」 推论3 同向不等式相乘 用作差法比较两个实数（或代数式）大小的四个 a>b>0→ 步骤 推论4 可乘方性 (n∈N,n>1) 作差 对要比较大小的两个实数（或代数式）作差 推论5 可开方性 a>b>0→a>√6 (1)进行因式分解转化为多个因式相乘 (变形 新知应用 (2)通过配方转化为几个非负实数之和 对于实数a,b,c,有下列说法： 判号 注意题目本身提供的字母的取值范围 (1)若a>b,则ac<bc; 定论 根据符号判断大小 (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; 活动三掌握利用不等式的性质判断 ③者c≥a>6>0,则2。>6 命题的真假 1、1 (4)若a>b,a>6,则a>0,b<0. 阄新知导学 其中正确的个数是 () 问题3已知a>b,判断a十c与b+c的大小关 A.2 B.3 C.4 D.1 系；若c>0,ac与bc的大小关系又如何？若 「方法总结」利用不等式的性质判断命题真假 c<0呢？ 的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立 的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质 (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要 遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简 单，便于验证计算。 1140 不等式及其性质学案15 课堂小结 C如果c-a>0,后名>0，那么b<0 听 不等关系 D知果a>b,片>司那么>号 记 实数代数式)大小的比较 式 5.已知a,b,c∈R,命题p:若a>b>c,则ab2<cb2. 性质 能说明p为假命题的一组a,b,c的值为 推论 用 a= ,b= 课堂达标 6给出下列合题：①若6≥0，a>6,则日<行， 1.铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的 ②若a>b,c>d,则a-c>b-d;③对于正数 外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外 a,b,m,若a>b,则白<b十m aa+m 其中真命题的 部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位：cm),则这个 规定用数学关系式可表示为 ( 序号是 A.a+b+c≤M B.a+6+c>M 7.(1)比较下列各组中两个代数式的大小： C.a+b+c≥M D.a+6+c<M ①x2+5x+6与2x2+5x+9; ②x2+y2+1与2(x+y-1). 2.设a,b为实数，则“a<b"是上>的( a>6 (2)已知2<a<3,-2<b<-1,求2a+b的取 A.充分不必要条件 值范围. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a,b均为正实数，若M=a3十b3,N=a2b +ab2,则 ( A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 4.设a,b,c,d为实数，下列命题中成立的是 A.如果a>石，那么a>b B.如果ab>ac,那么b>c 课后反思 4111④一①得，z=5;④-②得，x=1:④一③得，y=0, 活动二 .方程组的解集是{(1,0,5)}. 新知导学 故选C.] 问题2提示：设a,b是两个实数，它们在数轴上所对应的，点分 4.D[由题意得，kx十1=2kx+3, 别是A,B.那么，当点A在，点B的左边时，a<b;当点A在点 即kx=一2， B的右边时，a>b. 当k=0时，0=一2不成立，方程组无解； A B 当k≠0时，x=一 方程组有唯一解 2 a<b a>b 故选D.] 新知生成 z十y=0解得 1.点P的坐标P(x) 5.C[由方程组-y=2, y=2 y=-1, 2.a-b>0a-b<0 x+y=0, 新知应用 所以方程组 的解集是{(1，-1)，(-2,2)》. x2-y=2 解：因为(x十2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6) 故选C.] (x2+5x+4)=2>0, 所以(x+2)(x+3)>(x十1)(x+4). 6.D[解二元一次方程组 3x-y=7, /2， (2x+3y=1,(y=-1, 活动三 将2， 新知导学 代入y=kx-9,解得飞=4. y=-1 问题3提示：对于a十c与b+c,作差可得(a十c)-(b十c)= 故选D.] a十c-b-c=a-b.因为a>b,所以a-b>0,即(a十c)- 3x-y+x=10,① (b+c)>0,所以a十c>b+c. 7.解：(1)x十2y-x=6,② 当c>0时，对ac与bc作差，ac-bc=c(a-b).由于a一b>0, x+y+2x=17,③ c>0,两个正数相乘结果为正数，即c(a-b)>0,所以ac>bc. ∴①+②@得，4x十y=16,④ 当c<0时，同样对ac与bc作差，ac一bc=c(a一b).因为a ②×2+③得，3x+5y=29,⑤ b>0,c<0,正数与负数相乘结果为负数，即c(a一b)<0,所 4x+y=16, x=3, 以ac<bc 由④⑤组成方程组 解得 3x+5y=29, y=4, 新知生成 将x=3,y=4代入③得，之=5， 1.>><a>c ∴.方程组的解集为{(3,4,5)}. 2.a+c>b+d ac>bd a">b" (②r2-4y2-12,0 新知应用 x+2y=6,② B[对于(1)，令c=0,则有ac=bc.(1)错误. 由①得，(x十2y)(x-2y)=12,③ 对于(2)，由a<b<0,两边同乘以a得a2>ab.两边同乘以 将②代入③得，6(x-2y)=12,即x-2y=2. b得ab>b2」 x-2y=2, x=4, .a2>ab>b2.(2)正确. 原方程组化为{ 解得 z+2y=6,y=1, c>a>b>0→c-a>0,c-b>0,） 对于(3) →0c-a<c-b .原方程组的解集是{(4,1)}. a>b→-a<-b→c-a<c-bJ 1 1 学案15不等式及其性质 →c-a>c-b>0, c-a>c6(3)正确 a b a>b>0 课堂活动 活动一 a>b→a-b>0, a>b, → →a>0,b<0.(4) 新知导学 对于(4)，11→b-0>0 a6 ab ab<o 问题1提示：①v≥50km/h:②m≤10t;③h≤3.5m 正确. 新知生成 故选B.] 1.两个数或代数式 课堂达标 新知应用 1.A[由题意知，a十b十c≤M,故A正确.] C[当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑 开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.] 2D[由a<b,加a=-1b=2,得日<行反之，行 1311 可以为a>0>b,如a=1,b=一1， 学案16不等式的证明方法 所以<西“是“日>行的死不无分也不必要条件。 课堂活动 故选D.] 活动一 3.D[由a,b均为正实数，M=a3+b3,N=a2b+ab2, 新知导学 得M-N=a3十b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)= 问题1提示：能..(a-b)2=a2-2ab+b2≥0， (a-b)(a2-b2) .a2+b2≥2ab. =(a-b)2(a十b)≥0，当且仅当a=b时取等号， 新知生成 所以M≥N. 综合p→q必然成立的结论 故选D.] 新知应用 4.A[对于A,若√a>√b,则a>b≥0，显然a>b成立，选项A 证明：a>b,.b-a<0. .11b-a 正确； 又a-b-ab ab<0, 对于B,若ab>ac,当a>0时，b>c,当a<0时，b<c,选项B 错误； 对于C,若a>0,bc-ad>0,C-d=bc-ad 活动二 a b >0→ab>0, ab 新知导学 b>0,选项C错误； 问题2提示：①⑤ 对于D,令a=3,b=-2,1=1, 1 新知生成 C -2, p←q充分条件 满足a>6,1>， >但是兰=8 b =4, 新知应用 证明：要证√2一1>2一√3，只需证明√2十√3>3，只需证明 不满足>合选项D修民。 (√2+√3)2>32，即5+2√6>9， 故选A.] 只需证明√6>2，即6>4. 5.10一1（答案不唯一，满足a>b>c即可）[因为a>b> 因为6>4成立，所以√2-1>2一√3. c,b2≥0， 活动三 若b=0,则ab2=cb2=0; 新知导学 若b≠0，则b2>0,可得ab2>cb2； 问题3提示：是.此处应用的是命题p与其否定一力一真一假 综上所述，ab2≥cb2. 的原理. 所以对于任意a>b>c,命题力均为假命题， 新知生成 例如a=1,b=0,c=-1.] 结论的否定 6.①0[0若ab>0,a>6,则1-1-6-a<0, 11 新知应用 a b ab a b 所以①正确 证明设则十11 b ②若a>b,c>d,如a=2,b=1,c=-1,d=-2, 6d 0即2>0 则a-c=b一d=3,所以②错误 bd ③对于正数a,b,m,若a>b, (ad-bc>0; (ad-bc<0, 或 与条件bc-ad≥0，bd>0 则点-_6+m=ab+bm-ab-am=b-a)m bd>0 bd<0, aa+ma(a十m)a(a+m)' 矛盾， b-a<0,m>0,a>0,a+m>0, 假设不成立，…中中≤中 d 所以点_6士m<0,白<士m,所以③正骑.] aa十m aa+m 课堂达标 7.解：(1)①(x2+5x+6)-(2x2+5x十9)=-x2-3<0, 1.C[P>0,Q>0, 所以x2+5x+6<2x2+5x+9. 要比较P,Q的大小关系， ②x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0, 只需比较P,Q的大小关系， 故x2+y2+1>2(x+y-1). p2=a+a+7+2va·Wa+7 (2)由于2<a<3,则4<2a<6,又-2<b<一1，故2<2a+b =2a+7+2a(a+7), <5. Q2=a+3+a+4+2√a+3·Wa+4 114