精品解析：福建省漳州第一中学2025-2026学年高三上学期第二次段考数学试题

漳州一中2025--2026学年高三上学期阶段考二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果. 【详解】因为， 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式不等式确定集合，再由集合补集、并集运算逐个判断即可. 【详解】或， ， 所以或， 所以，错误，，正确， ，C，D错， 故选：B 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用指数函数的值域，结合不等式的性质及根式计算求解值域. 【详解】函数有意义，有， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 5. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，、，、，、，四种情况去绝对值并化简条件，结合二次函数性质求最小值即可. 【详解】当，时，可化为， 所以，，故， 当，时，可化为， 所以， 故，其中， 所以， 当，时，可化为， 所以，由可得， 故，其中， 所以，当且仅当，时等号成立， 当，时， ，， 故，矛盾， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求. 【详解】由，令得． 令，得，，． 因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称． 又，图像关于点中心对称， ， 可得，即， 又， 的周期． ，， ． 故选：A． 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：由正弦函数的单调性得出，再设，由其导数得出单调性，即可由得出，即，即可得出答案； 方法二：由正弦函数的单调性得出，再由为中间值得出，，，即，即可得出答案. 【详解】方法一：因为在上单调递增， 所以. 设，则， 当时，， 所以再上单调递增， 所以， 所以，即， 所以. 综上，得，故选：B. 方法二：因为在上单调递增， 所以. 又. 综上，得，故选：B. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小. 【详解】对于A，，又，故，A正确； 对于B，不妨设，则，故B错误. 对于C，， ∵，∴，，， ∴，∴，所以C错误. 对于D，， ∵，∴，，∴， ∴，所以D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 存在最小值 C. 直线是曲线的一条切线 D. 有4个单调区间 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A；对原函数进行求导，利用导数判断函数的单调性和求出最值；即可判断BD；再结合导数的几何意义判断C即可. 【详解】因为函数的定义域为，故， 故且，所以为非奇非偶函数；故A错误； 因为 ， 令，可得或. 当时，,单调递减; 当时，, 单调递增; 当时，,单调递减; 当时，, 单调递增; 故有4个单调区间，且存在最小值，故选项正确； 当时，,且， 故函数在处的切线方程为； 即直线是曲线的一条切线，故； 故选：. 11. 设直线、分别是函数在点、处的切线，若，且、分别与轴相交于点、，则（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；由结合对数运算可判断B选项；求出两切线方程，可求出点、，结合平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项； 【详解】不妨设，设，则， 由题意可知，， 若、，则，矛盾； 若、，则，矛盾. 所以，必有，所以，由， 可得，故A正确； 不恒为，故B错误； 由题意可得，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， ，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， 故，故C正确； 又，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由向量的线性运算求得，再由得，从而根据数量积的坐标运算得到的等式，解方程即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 又，所以，解得. 故答案为： 13. 已知，若，，且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数运算法则求出的等量关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，若，，且， 所以， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 若函数恰有1个极值点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导得到，函数恰有1个极值点，=0有且仅有一个变号零点，通过分析特征，结合二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】， ， 即， 令， ， 得或， 函数恰有1个极值点， 有一个根；或无实根，或有两个相等的实数根， 若根为， 即解得：， 则， 在两侧符号不改变， 时，函数恰有一个极值点， 若无实数根， ， 则 化简得， 解得， 只有一个根且在两侧符号改变， 时，恰有1个极值点， 若有两个相等的实数根， 则， 化简得， 解得：或， 当时， 两侧符号不改变， 时恰有1个极值点， 当时，， 在两侧符号不改变， 时恰有1个极值点， 综上所述的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角的对边分别为已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，再根据三角恒等变换即可求解； （2）利用二倍角公式进行化简，求得，再利用正弦定理结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得, 因为，，, 所以， 所以整理得，因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，因为，所以，， 又因为，，所以，又， 所以. 16. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，. （1）求棱的长； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）5 （2）证明：由（1）可知中，满足， 所以，且，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合勾股定理和余弦定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，转化为证明平面，即可证明面面垂直； （3）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 中，由余弦定理， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以. 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 【答案】（1）时，，， 时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可； （2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以的极大值为， 令，则， 所以在区间上单调递增，由已知， 所以，解得， 综上，. 18. 抛物线：过点，直线不经过点，直线与抛物线交于和两点，使得. （1）求抛物线的方程和准线方程. （2）直线是否经过定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）， （2）直线过定点 【解析】 【分析】（1）点坐标代入抛物线的方程可得答案； （2）设，，设的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示可得答案. 【小问1详解】 点代入得， 解得， ∴抛物线的方程是：，准线方程是：； 【小问2详解】 是过定点，理由如下， 设，， 显然直线的斜率不等于0，设的方程为：①， 联立方程消去得：， 令得：②，则有③， ，， 由得：， 把①代入得：， 化简得：， 把③代入得：， 化简得：，即， 解得：或者， 不符合②式，舍去， （或当时，的方程是过点，舍去）. 当时，的方程是，过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或斜截式来证明. 19. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）的增区间为：和，减区间为：和， （3） 证明：由于， 所以 由于 ， 所以， 因为在上有三个不同的极值点， 所以在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根， 令（时，且，因为），方程转化为，设方程的根为，，， 则，化简可得：， 则，即， ，即， ，即， 所以. 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）分别求出和，即可求出切线方程； （2）由，可得，分别令，，，解出不等式即可求出单调区间； （3）由，可得，将在上有三个不同的极值点转化为在上有三个不同的根，令（时，且，因为），方程转化为， 设方程的根为，，，由三次方程根与系数关系即可求解. 【小问1详解】 由题可得，所以， 所以切线的斜率为0，由于， 则函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 由于， 所以， 当，令，解得，，， 则令，解得：，或， 令，解得：，或， 所以的增区间为：和，减区间为：和； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州一中2025--2026学年高三上学期阶段考二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 5. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 存在最小值 C. 直线是曲线的一条切线 D. 有4个单调区间 11. 设直线、分别是函数在点、处的切线，若，且、分别与轴相交于点、，则（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则______. 13. 已知，若，，且，则的最小值为______. 14. 若函数恰有1个极值点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角的对边分别为已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，. （1）求棱的长； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 18. 抛物线：过点，直线不经过点，直线与抛物线交于和两点，使得. （1）求抛物线的方程和准线方程. （2）直线是否经过定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 19. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $