精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十九中学2025-2026学年九年级上学期九月月考数学试题

哈尔滨市第三十九中学校2025-2026学年度上学期10月份 数学学科素养训练试题（九年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前，考生先将自己的“姓名”“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效：在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的定义，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论． 【详解】解：A、由图象可知，对于给定的的值，都有2个值与其对应，故此选项能表示不是的函数，符合题意； B、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； C、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； D、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量和，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，熟练掌握此定义是解题的关键． 2. 已知，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a，b，c；先设，a，b，c分别用k表示出来，即可解决问题； 【详解】解：由题可设：， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．由方程根的情况，根据根的判别式、方程的定义，可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且， 解得：且， 故选B． 5. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 6. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答． 【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD=3， ∴AB：3=3， ∴AB=9（cm）， ∵外径为10cm， ∴9+2x=10， ∴x=0.5（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长． 7. 如图，，，相交于点O，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．先证明，进而得到，，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数，过点作，利用正切的定义，求解即可． 【详解】解：过点作，如图， 则：，， ∴； 故选A． 9. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，易证得，然后由相似三角形的性质，求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键． 10. 下列说法正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的直线平分这条直径 D. 弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资110200000元资金．数据110200000用科学记数法可表示为___． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：把数据110200000用科学记数法可表示为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 12. 函数中自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量的取值范围， 根据分母不能为0，即可得到答案． 【详解】解：函数中，因为分母不能为0， 所以， 因此， 故答案为：． 13. 锐角α满足，则α的度数为 ___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知相关内容是解题的关键．根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 已知：，且的面积：的面积，则两三角形周长比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，先根据面积比求得相似比，再根据周长比等于相似比即可求解．关键是熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵，且的面积：的面积， ∴两三角形的相似比为， ∴两三角形周长比为， 故答案为：． 15. 如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是______． 【答案】7.2 【解析】 【分析】如图，，，，先证明∽，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，， ， ∽， ，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的对应边的比相等，以及在同一时刻物高与影长的比相等的原理解决． 16. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，将数值代入求得结果． 【详解】解：由题意可得， BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA ＝32＋42﹣2×3×4cos60° ＝13， ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用． 17. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则直径CD＝__________． 【答案】26 【解析】 【分析】连接OA，先根据垂径定理，求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值即可得到答案． 【详解】解：连接OA，∵DE⊥AB，且AB＝10， ∴AE＝BE＝5， 设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x ∵CE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOC中，根据勾股定理得： x2﹣（x﹣1）2＝52， 解得：x＝13， 所以CD＝26． 故答案为：26． 【点睛】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意构建以圆的半径，弦的一半及弦心距的直角三角形是解题关键． 18. 如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形．在中，根据，求出米，在中，根据即可求出的高度． 【详解】解：在中， ∵°， ∴米， 在中， ∵， ∴米． 故答案为：． 19. 如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当____时，与相似． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 20. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点O，下列结论： ；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】由矩形，是的平分线可得是等腰直角三角形，，由勾股定理得，由，可得，证明则，可判断①的正误；，然后利用正切的定义可判断②；由等边对等角、三角形内角和定理、对顶角相等、角平分线性质等可得、可得、进而可判断⑤、③的正误；由，，可得，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵矩形，是的平分线， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，⑤正确； ∵，，， ∴， ∴、，③正确； ∵，， ∴，④正确． 综上，正确的为①②③④⑤． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握与灵活运用相关知识是解题的关键． 三、解答题（21题~26题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再算除法，进行分式的化简，利用特殊角的三角函数值，求出的值，代入化简后的式子中，求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值的计算．熟练掌握分式的运算法则以及特殊角的三角函数值，是解题的关键． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形： （2）画一个面积为8的，且； （3）请直接写出的正弦值． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）把绕点逆时针旋转得到，则等腰直角满足条件； （2）把点向右平移4个单位得到点，则点满足条件； （3）利用勾股定理计算的长，即可得出结论． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 如图，为所作； 【小问3详解】 ． 【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了解直角三角形． 23. 如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若；求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）， ，即， 即， ． 24. 如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度； （2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）． （参考数据：，，） 【答案】（1）登山缆车上升的高度 （2）从山底A处到达山顶处大约需要 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ∴从山底处到达山顶处大约需要： ， 答：从山底处到达山顶处大约需要． 25. 矩形中，点在边上，连接，过点作交于点． （1）如图1，求证： （2）如图2，当，连接，，则___________． （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交和延长线于点、，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）60 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形； （1）在与中找到两组角相等即可证明； （2）易证明，由和矩形的性质，可设，，再求出，最后根据求解即可； （3）由（2）可设，，则，，由和求出、、，再求出，利用建立方程求出x，最后用勾股定理求出. 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：由（1）得，， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴设，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：由（2）可设，，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴. 26. 已知：直线与轴交于点与轴交于点，点在线段上连接,． （1）求点C坐标； （2）点在轴负半轴上，连接，过点作于点交轴于点．线段的长度为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交延长线于点．若．求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由于点，点是直线与坐标轴的交点，分别令和，可得到点，点坐标，再利用，即可求得点C坐标； （2）证，得到，代入即可得到与的函数关系式； （3）由，，可求出直线的解析式为：，又因为，,可求得直线的解析式为：，从而得到，再由,,得到直线的解析式为：，再利用与相交于点，联立方程组，得到点，再由与相交于点，联立方程组，得到点，再根据, 解得：，进而得到点,，最后理由两点间距离公式得到的长． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点与轴交于点， 令，则；令，则； ∴，， ∵在中，， ∴, ∴, ∴． 【小问2详解】 解：由题可得：∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， 设直线的解析式为：， ∴ ∴ ∴直线的解析式为：， ∵，, ∴， ∴直线的解析式为：， ∵与相交于点， ∴，即， 解得：， 将代入中得：， ∴， ∵与相交于点， ∴，即， 解得：， 将代入中得：， ∴， ∵, ∴， 即， 解得：， ∴,， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第三十九中学校2025-2026学年度上学期10月份 数学学科素养训练试题（九年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前，考生先将自己的“姓名”“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效：在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 3. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 5. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 6. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，相交于点O，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的直线平分这条直径 D. 弦的垂直平分线经过圆心 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资110200000元资金．数据110200000用科学记数法可表示为___． 12. 函数中自变量的取值范围是________． 13. 锐角α满足，则α的度数为 ___________． 14. 已知：，且的面积：的面积，则两三角形周长比为________． 15. 如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是______． 16. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 17. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则直径CD＝__________． 18. 如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米． 19. 如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当____时，与相似． 20. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点O，下列结论： ；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是___________ 三、解答题（21题~26题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形： （2）画一个面积为8的，且； （3）请直接写出的正弦值． 23. 如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若；求的长． 24. 如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度； （2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）． （参考数据：，，） 25. 矩形中，点在边上，连接，过点作交于点． （1）如图1，求证： （2）如图2，当，连接，，则___________． （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交和延长线于点、，若，，求的长． 26. 已知：直线与轴交于点与轴交于点，点在线段上连接,． （1）求点C坐标； （2）点在轴负半轴上，连接，过点作于点交轴于点．线段的长度为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交延长线于点．若．求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $