精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学问卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 3. 已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（ ） A. B. C. D. 5 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，的最小值为1 7. 如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，图象上两点，则 9. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 12. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 14. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的新的抛物线的解析式为______． 15. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③若为函数图象上的两点，则；④若关于的一元二次方程有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有_____________（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共8小题，共90分） 16 解方程： （1）． （2） （3）． （4） 17. 已知是方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 18. 若一元二次方程的两根分别为与． （1）求的值； （2）求的值． 19. 二次函数的图象经过两点. （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上. 20. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 22. （数学与生活融合）[问题情境]如图①，在等腰中，，，矩形的顶点分别在的边上，设的长为，矩形的面积为． （1）【分析及解决问题】①填空：_____（用含x代数式表示）；②当的值为多少时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【拓展应用】 （2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，求修建的矩形停车场的面积的最大值． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学问卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解其定义是解题关键． 利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D、含有分式不是一元二次方程，不合题意． 故选：A． 2. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下． 【详解】解：设“□”为， ∵二次函数的图象开口向上， ∴为大于0的实数， 则D选项符合题意， 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线， 其图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴右侧随的增大而减小， 点，，都在抛物线上， 点关于直线的对称点在抛物线上，且， ， 故选：A． 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，的最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 7. 如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， ∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意， 故选：D． 9. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．先根据一元二次方程根的定义得到，则原式可表示为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 12. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于x的一元二次方程求解，最后把不符合的答案舍去即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去） 故， 则平均每次降价． 故答案为：． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 14. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的新的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：函数向右平移个单位，得：； 再向上平移个单位，得：． 故答案：． 15. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③若为函数图象上的两点，则；④若关于的一元二次方程有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有_____________（写出所有正确结论的序号） 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， 故①不正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 而c与大小不确定， 故②不正确； ∵在对称轴右侧，， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是(3，0)， ∴抛物线与x轴的另个交点是(，0)， 把(3，0)代入得，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得，． ∴， ∴顶点坐标为(1，)， 由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2， 又∵与时，关于直线轴对称 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故④正确； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了抛物线与不等式的关系以及抛物线与x轴的交点等知识点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识点是解答此题的关键． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 解方程： （1）． （2） （3）． （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法求解即可； （2）移项后，根据因式分解法求解即可； （3）根据公式法解一元二次方程求解即可； （4）设，则，进而根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 因式分解得 或 解得，； 【小问2详解】 解： 移项得 提取公因式得 或 解得，； 【小问3详解】 解： ，， 即，； 【小问4详解】 解： 设，则 因式分解得 或 当时，，解得 当时，，解得． 17. 已知是方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）19 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 【小问2详解】 解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 18. 若一元二次方程的两根分别为与． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）4 【解析】 分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； 【小问2详解】 当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 19. 二次函数的图象经过两点. （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上. 【答案】（1） （2）不在，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，求出函数解析式是解题的关键． （1）将代入解析式即可得到答案． （2）代入函数解析式即可判断． 【小问1详解】 解：把两点的坐标分别代入得： ，解得． 此二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时， 点不在这个二次函数的图象上. 20. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）1＜x＜3；（3）k＜2． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为方程的根； （2）根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可； （3）能与函数图象有两个交点的所有k值即为所求的范围． 【详解】解：（1）∵函数图象与x轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0）， ∴方程的两个根为x1＝1，x2＝3； （2）由图可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3； （3）∵二次函数的顶点坐标为（2，2）， ∴若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜2． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元 （2）每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出（件）， ∴每天共盈利（元）， 【小问2详解】 设每件衬衫应降价元，则商场平均每天可销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要扩大销售量，尽量减少库存， ∴． 答：每件衬衫应降价20元． 22. （数学与生活融合）[问题情境]如图①，在等腰中，，，矩形的顶点分别在的边上，设的长为，矩形的面积为． （1）【分析及解决问题】①填空：_____（用含x的代数式表示）；②当的值为多少时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【拓展应用】 （2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】（1）①；②当时，矩形的面积最大，最大面积为25；（2）当时，矩形停车场的面积最大，最大面积为4950平方米 【解析】 【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质即可求得答案； ②根据矩形的面积公式和二次函数的性质即可求得答案； （2）延长，交于点M，利用等腰直角三角形性质可求得，设，由等腰直角三角形性质得出，进而求得，，再运用矩形面积公式及二次函数的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）①∵在等腰中，，， ∴， ∵矩形顶点分别在的边上，， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为； ②由①可知：矩形的面积为， ∴当时，y有最大值，最大值为25； （2）如图，延长，交于点M， 根据题意可知，均为等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 当点A、E重合时，则的长为最大，此时， ∴， 即， ∴， ∴矩形停车场的面积为， ∵，，对称轴为直线， ∴当时，矩形停车场的面积最大，最大面积为4950； 答：当时，矩形停车场的面积最大，最大面积为4950平方米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用及等腰直角三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握二次函数的应用及等腰直角三角形的性质与判定、矩形的性质是解题的关键． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数值，自变量，最值的计算方法是关键． （1）运用对称轴直线可得，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的平移得到平移后的点为，再代入二次函数计算即可； （3）当时，最大值与最小值的差为，结合二次函数图象的对称性，最值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数为， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴抛物线为，又图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：∵点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， ∴平移后的点为， 又， ， 或（舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：当时，最大值与最小值的差为， ∴，不符合题意，舍去． 当时，最大值与最小值的差为，符合题意， 当时，最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $