精品解析：湖北省武汉海淀外国语实验学校2025-2026学年高一上学期九月月考数学试卷

武汉海淀外国语实验学校普通高中部 2025 级高一九月月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 满足⫋的集合的个数为（　 ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（ ） A. 2816元 B. 3116元 C. 3276元 D. 3600元 6. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次不等式的解集是空集，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分或3分，有选错的得0分. 9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A. 8 B. 23 C. 37 D. 128 10. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 11. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数的值为__________. 13. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为______． 14. 若，，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）若，求实数a的值； （2）若，，求实数a的值. 16. 已知集合，集合，. （1）求； （2）若是的必要条件，求的取值范围. 17. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 18. 设，为正实数，且 （1）求和的值； （2）求的最小值． （3）求的最小值. 19. 已知实数集，定义. （1）若，求； （2）若均为正数，，求的元素个数的取值范围； （3）若，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉海淀外国语实验学校普通高中部 2025 级高一九月月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图结合集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 由，可得， 故选：B 2. 命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否则，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题可知：原命题的否定为“，”. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A. 4. 满足⫋的集合的个数为（　 ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的定义，列举出符合题意的集合即可. 【详解】由题意知：集合都包含 且都是的真子集. 所有满足条件的集合  如下：，，， ，，，. 因此，集合  的个数为 7. 故选：C 5. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（ ） A. 2816元 B. 3116元 C. 3276元 D. 3600元 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立利润的函数，结合二次函数性质求最值可得. 【详解】设红灯笼每对售价提高元，一天获得利润为元. 由题意得. 因为销售单价不高于每对68元，所以， 所以当时， 即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得利润最大，最大值为3116元. 故选：B. 6. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，后由定义可得答案. 【详解】由，得，解得， 因此或或，又因为表示不大于的最大整数， 所以，要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其子集，只有选项A满足要求. 故选：A. 7. 一元二次不等式的解集是空集，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，一元二次不等式对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，一元二次不等式对任意的恒成立， 所以，，解得. 故选：D. 8. 若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分或3分，有选错的得0分. 9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A. 8 B. 23 C. 37 D. 128 【答案】BD 【解析】 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】因为，故； ，故； 因，则；则. 故选：BD. 10. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值是2 C. 的最小值是18 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式. 【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确； 由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由，得， 对于，由，得， ， 当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误. 故选：AC. 11. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三个“二次”的关系可知，相应方程有两个相等的实根，结合韦达定理就可判断. 【详解】由题意．，∴，所以A正确； 对于B：等号当且仅当，即时成立， 所以B正确； 对于C：由韦达定理，知，所以C错误； 对于D：由韦达定理，知， 则，解得，所以D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合元素的互异性及子集的概念可求解 【详解】因为集合，且，所以由子集的概念可知，解得. 故答案为： 13. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为______． 【答案】46 【解析】 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，后三个方程相加得， 与第一个方程消去得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故答案为：46 14. 若，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，根据不等式的性质即可求得答案. 【详解】由于，，则， 而，故， 故的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）若，求实数a的值； （2）若，，求实数a的值. 【答案】（1）或5；（2） 【解析】 【分析】 （1）先求出集合A，B，由可得，代入方程即可求出； （2）由，，可得，列出方程即可求出. 【详解】（1），， ， ，，即，解得或5； （2）若，，则， 则 ，解得. 16. 已知集合，集合，. （1）求； （2）若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根据并集、补集的定义计算可得； （2）根据必要条件得到，从而得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 不等式等价于，解得， 所以， 不等式，即，解得， 所以， 故， 则或； 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以， 又，， 故，解得， 故的取值范围是. 17. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 【答案】（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）分与两种情况分别求出的表达式后，将其写成分段函数的形式即可． （2）当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用对勾函数的性质求出的最大值，再比较即可得到的最大值和相应的的取值． 【详解】（1）当时，， 当时，. 综上所述，． （2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 18. 设，为正实数，且 （1）求和的值； （2）求的最小值． （3）求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3）24 【解析】 【分析】（1）利用恒等变形可求代数式的值； （2）由题设可判断，再利用基本不等式可求和的最小值； （3）利用恒等变形可得，结合基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由题设有，故 【小问2详解】 ， 因为，故，故， .由基本不等式得： ， 当且仅当时，即时取等， 故最小值为. 【小问3详解】 由得， ， 当且仅当时，即时取等 故最小值为24. 19. 已知实数集，定义. （1）若，求； （2）若均为正数，，求的元素个数的取值范围； （3）若，求集合. 【答案】（1） （2） （3）或者 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论互不相等且不成比例和中存在比例关系，求的元素个数的取值范围. （3）根据可得，然后分中个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 【小问1详解】 根据题意可得. 【小问2详解】 若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， 【小问3详解】 若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $