专题强化02：全等三角形的辅助线与模型【培优】-2025-2026学年人教版八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

专题强化02：全等三角形的辅助线与模型 【模型归纳】 【模型探究】 题型一：一线三等角模型 【例1】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．（23-24八年级上·广东汕头·期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形； ①如图3，当时，求点C的坐标； ②直接写出其他符合条件的C点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②，， 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答． （3）①过点B作轴，过点A作的延长线，易得，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进行列式作答即可；②分类讨论，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【详解】（1）解：∵于D，， ∴ 即， ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 即； （3）解：①过点B作轴，过点A作的延长线，如图： 因为过点A作的延长线 ∴ ∵过点B作轴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴， 解得， 故点C的坐标为； ②，，过点B作轴，过点A作射线轴，且过点B作，如图： 易知 因为 ∴ ∵过点B作轴，过点B作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴， 此时无解， 当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图： ∵， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴， 解得 故点C的坐标为； 当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图： ∵， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴， 解得 故点C的坐标为； 当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图： ∵， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴， 解得 故点C的坐标为； 综上，其他符合条件的C点的坐标为，， 【变式2】．（24-25八年级上·广东汕头·期末）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点B的坐标为或或． 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或． 题型二：手拉手模型 【例2】．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 【变式1】．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；②． 【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，进而推出，证明即可得证； （2）由和都是等边三角形得，，，从而推出，进而证明得，即可得证； （3）如图，当点在线段上或当点在线段的延长线上时，证明，可得，结合证明从而得出结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：①和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，当点在线段的延长线上时， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题关键． 【变式2】．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即，在和中，， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即，在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 题型三：半角模型 【例3】．（22-23九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)．证明见解析 (2)．证明见解析 【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． 【变式1】．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 【变式2】．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 题型四：倍线中线模型 【例4】．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考： （1） 由已知和作图能得到的理由是 ． A．   B．     C．     D． （2）求得的取值范围是 ． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）详见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确作辅助线，构造全等三角形． （1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长至，使，可证明，可得，，从而得到，再根据以及三角形外角的性质可得，可证明，可得到，即可求证． 【详解】解：（1）延长到点 E，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； 故选：B （2）∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴； 故选：C （3）延长至，使， 是的中线， ， ∵，， ， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质； （1）延长至点，使，连接，证明，可得，再根据三角形三边关系即可解答． （2）根据可得，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接， 因为是边的中线， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 【变式2】．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型五：截长补短模型 【例5】．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可； 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式1】．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）设，则，然后计算周长即可； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：， 故答案为：8； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 题型六：旋转法模型 【例6】．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．（24-25九年级上·山东济宁·期中）综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键． （1）延长至，使，证出得到，再证出，得到，再根据三角形的三边关系求解即可； （2）根据全等的性质进行角的等量代换求出，再利用勾股定理求解即可； （3）延长至，使，证出得到，，通过角的等量代换得到，推出后即可求解． 【详解】解：（1）证明：延长至，使，连接，，如图所示： ∵是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）猜想：， 证明：由（1）可知，， 又∵， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴； （3）答：， 证明：延长至，使，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴在和中： ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 【变式2】．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【专题精练】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)为等边三角形，证明见解析 (2)的值是定值， 【分析】（1）如图，作于E，于F，只要证明即可； （2）证明，可得，由，可得，进而可求的值． 【详解】（1）为等边三角形． 证明：如图作于，于． ， ， ， 又， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ． 又，， ， 为等边三角形． （2）的值是定值． 理由：在和中， ， ， ，， 又， ， ． 在中，， ， ，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，、是的高，M为上一点，且，N为延长线上一点，且．试判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】且，证明见解析 【分析】由于、是高，则，根据等角的余角相等得到，然后根据可判断，则，，由于，则，所以． 【详解】解：且． 证明：∵、是高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． (1)如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． (2)如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 【答案】(1)，证明见解析； (2)①；②不变，长度为． 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，掌握一线三直角模型是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，再根据证明全等即可； （2）①过点作轴于点，证明，得到，，即可得出点坐标； ②过点作轴于点，同①理可证，得到，，再证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图2，过点作轴于点， 点坐标为，点的坐标为， ，， 直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为； ②如图3，过点作轴于点， 同①可得， ，， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点运动时，的长度不发生变化，长度为． 4．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         5．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）在上取一点M，使得，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：在上取一点M，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②能，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用． （1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可； （2）①如图3中，结论：，只要证明即可； ②由，得到，再结合，得到 ． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：①，理由如下： ∵与是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ； ②能，理由如下： 与交于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 即的度数为． 9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 10．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 (3)② 【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）由可得，结合可得，即可得； （3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴ ∵ ∴ （2）解：且，理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ， ∴ （3）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴平分 假设①正确，即平分， 则有： ∴ 即： ∵平分， ， ， ， ， 故只有当时，①才成立； 故答案为：② 11．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分，在和中利用三角形内角和可得到，即可求出的度数； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到． 【详解】（1）如图①，作，垂足为点，作，垂足为点，   和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，且， ，， ， ， 又，， 点在的平分线上，即平分； ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）． 证明：如图，在上截取，连接，   ， ， 又， ， ，且， 又， ，即， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，结合等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：【尝试探究】． 证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，    ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【模型建立】成立，如图，    证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（2）中的结论还成立，； 【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 将绕点旋转，得到，    ∵，， ∴和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法（2），可得：， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． 14．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）利用证明，得出即可； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________； 【深入探究】 （3）如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）8；（3），见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． （1）证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作交的延长线于点，如图：证明，结合，可得，证明，可得，结合，可得结论；解法二：在截取，连接，同理证明，根据全等三角形的性质进而结合，可得结论． 【详解】解：（1）． 理由如下： 如图所示，在等腰直角三角形中，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴，． ∴． （2）， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （3）． 理由如下： 解法一： 过点作交的延长线于点，如图所示： ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，． ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵，． ∴． 解法二：在截取，连接，如图所示： ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，． ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 16．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 【答案】（1）8；（2）；（3）①证明见解析，②5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）①如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，即可证明；根据全等三角形的性质得到，再由求解． 【详解】（1）解：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）解：如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； （3）①证明：如图3，∵过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴； ②解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)，，理由见解析． 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：且， 理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：全等三角形的辅助线与模型 【模型归纳】 【模型探究】 题型一：一线三等角模型 【例1】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【变式1】．（23-24八年级上·广东汕头·期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形； ①如图3，当时，求点C的坐标； ②直接写出其他符合条件的C点的坐标． 【变式2】．（24-25八年级上·广东汕头·期末）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：手拉手模型 【例2】．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【变式1】．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 【变式2】．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 题型三：半角模型 【例3】．（22-23九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【变式1】．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【变式2】．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 题型四：倍线中线模型 【例4】．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考： （1） 由已知和作图能得到的理由是 ． A．   B．     C．     D． （2）求得的取值范围是 ． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． 【变式2】．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 题型五：截长补短模型 【例5】．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【变式1】．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 题型六：旋转法模型 【例6】．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式1】．（24-25九年级上·山东济宁·期中）综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          【变式2】．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【专题精练】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 2．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，、是的高，M为上一点，且，N为延长线上一点，且．试判断与的关系，并证明你的结论． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． (1)如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． (2)如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 4．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 5．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 7．24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 8．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 10．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 11．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    14．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 15．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________； 【深入探究】 （3）如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 17．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $