精品解析：辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二10月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值. 【详解】由题意知，，两两互相垂直，故， 又，所以. 故选：B 2. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简，再开方可求得结果. 【详解】由题意得， , ， 所以. 故选：A. 3. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 4. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于,且，可得,从而求出三棱柱的高，取的中点,连接,, 可证为直线与平面所成角，利用边长关系即可求解. 【详解】设正三棱柱的高为,即, 由于,,， 则,即,则,所以， 取的中点,连接,, 由于底面为等边三角形，,则, 由于平面,，平面,所以,，且 由于,平面,所以平面， 所以为直线与平面所成角，则, 故选：B 5. 已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据法向量的性质利用数量积求解. 【详解】因为是平面的一个法向量， 所以， 故， 即， 故选：B 6. 如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解. 【详解】连接，如图， 由题意可知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由，，知为的中点，则，, ,， 设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：C 7. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧的中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 8. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论错误的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD 10. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法求解判断C，根据向量法求得点到平面的距离，代入柱体体积公式求解判断D. 【详解】由题意知， 若，则，故A正确； 由题意知，若，则， 可得，所以， 即，所以，，，四点共面，故B正确； 因为，，， 且，所以，又， 所以， 所以， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误； 记点在平面内的投影为，设， 所以， 又，， 所以， ， 解得，，所以，所以，即四棱柱的高为， 所以四棱柱的体积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（ ） A. 过原点 B. 过点 C. 且 D. 直线可能过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过直线与直线平行或相交，通过特殊值逐个判断即可. 【详解】由得，直线方程为 对于A，取，则过原点和平行，满足点到直线的距离相等，正确； 对于B，当直线与直线相交时， 因为点到直线的距离相等， 所以的中点在直线上，B正确； 对于C，当时，即，此时直线与直线相交， 由B可知：，若，则，前后矛盾，C错误； 对于D，当直线与直线相交时， 由B可得，即， 即直线可能过点，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，.已知，，，则______； 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，可得，左右同时平方，结合题意，整理可得，根据异面直线a，b所成的角为，可得或，代入即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 又，，， 所以， 因为异面直线a，b所成的角为， 所以或， 当时，， 所以，解得； 当时，， 所以，解得. 所以或. 故答案为：或 13. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 14. 已知实数满足，则最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小， 如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】（1） 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 （2） 设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 【解析】 【分析】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）假设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标即可求得答案； （2）求出平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 设．建立如图所示的空间直角坐标系， . ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 当是的中点时，，则， 设平面的法向量为，， 令， 设与平面所成角为，则． 与平面所成角的正弦值为． 17. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）已知点.求线段的垂直平分线的方程； （3）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线，方程可得交点M坐标，然后由题设所求直线方程为：，代入坐标可得答案； （2）由垂直平分线定义，结合直线AB斜率及线段AB中点坐标可得答案； （3）分直线过原点与不过两种情况，对于直线不过原点时，设满足题意直线方程为：，由题及可得答案. 【小问1详解】 ，则交点为. 又所求直线与平行，设所求直线方程为：， 代入，得，则所求方程为：. 【小问2详解】 由题，直线AB斜率为：， 则所求直线斜率为：， 又所求直线过线段AB中点，即过点，即， 则所求直线方程为：. 【小问3详解】 当直线过原点时，显然满足条件，此时方程为：； 当直线不过原点，设满足题意的直线方程为：. 则，则方程为：. 则所求直线方程为：或. 18. 在三棱锥中，分别是的中点，且. （1）求. （2）已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得； （2）设，由、，应用向量数量积的运算律得关于的表示式，即可求最大值. 【小问1详解】 由题意得 所以，所以； 【小问2详解】 ①由题意， ， 由，得，设， 得 同理， 则 . 当时，取得最大值，且最大值为. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，定义直线经过点且以为方向向量，平面经过点且以为法向量. （1）若P是平面内的任意一点，求证：； （2）另有平面的方程为，直线是平面与的交线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）设点是空间任意一点，记向量.求证：点Q到直线的距离与点Q到平面的距离满足关系式：. 【答案】（1） ∵平面经过点，且P是平面内的任意一点， 则是平面内的任意一条直线，且平面的法向量为， ∴， 由于，， ∴， 即. （2） （3） 因点，且直线的方向向量为， 则点Q到直线的距离为， 又点，且平面的法向量为，则点Q到平面的距离为， ∴满足关系：. 得证成立. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用空间位置关系的向量证明即可； （2）根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式求解即可； （3）利用空间向量求点线距、点面距的公式证面即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二10月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 4. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论错误的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 10. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 11. 若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（ ） A. 过原点 B. 过点 C. 且 D. 直线可能过点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，.已知，，，则______； 13. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 14. 已知实数满足，则最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； 17. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）已知点.求线段的垂直平分线的方程； （3）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等. 18. 在三棱锥中，分别是的中点，且. （1）求. （2）已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，定义直线经过点且以为方向向量，平面经过点且以为法向量. （1）若P是平面内的任意一点，求证：； （2）另有平面的方程为，直线是平面与的交线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）设点是空间任意一点，记向量.求证：点Q到直线的距离与点Q到平面的距离满足关系式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $