6.2.2线段的比较与运算（题型专练）数学人教版2024七年级上册

6.2.2 线段的比较与运算 题型一 尺规作图-作线段 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，已知线段，，画一条线段，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查线段和差的计算，掌握线段的表示及和差的计算方法是解题的关键． 先在射线上依次截取，再在上截取，则线段满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，利用尺规画线段的方法去作图． 【详解】解：①如答图，画射线． ②在射线上顺次作；再反向作． ③线段．线段即为所要求作的线段． 3．（23-24七年级上·天津·期末）按要求画一画，再填空： (1)画线段； (2)延长线段到点C，使； (3)延长线段到点，使； (4)根据上述画法可知， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)2；； 【分析】此题重点考查尺规作图、用直尺和圆规作一条线段等于已知线段、线段的中点、线段的和差等知识与方法，正确地按要求作出图形是解题的关键． （1）作射线并在上取一点，即得到线段； （2）在的延长线上截取，即得到所求的点； （3）以为端点，过点作射线，在的延长线上截取，即得到所求的点； （4）由，，得，则是线段的中点，所以；由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图1，作射线，在上取一点， 线段就是所求的线段； （2）解：如图2，在的延长线上截取， 点就是所求的点； （3）解：如图3，以为端点，过点作射线，在的延长线上截取， 点就是所求的点； （4）解：，， ， 是线段的中点， ； ，， ， ， ， 故答案为：2，，． 4．（21-22七年级上·安徽宿州·期末）作图题：已知线段m、n．用尺规作图． （不需要写作法，保留作图痕迹） (1)作线段AB，使； (2)作线段CD，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)作射线AE，以点A为端点向右依次截取线段m，n，即可得线段AB=m+n； (2)作射线CE，以点C为端点向右依次截取三段线段m，再以右端点向左截取线段n，即可得线段CD=3m-n． 【详解】（1）解：如图：线段AB即为所求 （2）解：如图：线段CD即为所求 【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法． 题型二 用数学知识解释现实中的常见现象 5．（22-23七年级上·河北邢台·期中）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，熟练运用以上知识是解题的关键． 6．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 8．（23-24六年级下·山东烟台·期中）下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答，正确区分两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：是根据两点确定一条直线，是根据两点之间，线段最短， 故选：． 题型三 判断线段之间的数量关系 9．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③ ；④ ，其中正确结论的有 （     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【详解】解： 是的三等分点，， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 故③不正确； ，， ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键． 10．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【详解】解： 是的三等分点，， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键． 11．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义得到，，，然后根据线段之间的和差倍分关系逐个求解即可． 【详解】解：∵M是中点， ∴， ∵P是中点， ∴， ∵点Q是中点， ∴， 对于①：，故①正确； 对于②：， ，故②正确； 对于③：， 而， 故③错误； 对于④：， ，故④正确； 故对3个， 故选C． 【点睛】此题考查线段之间的和差倍分问题，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 12．（20-21七年级上·四川德阳·期末）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据线段中点的性质、结合图形解答即可． 【详解】解： 由图形可得， ，而与不一定相等， ∴不一定等于， 故①错误，不符合题意； ∵点C是AB的中点， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵点D是BC的中点， ∴， ， 故③正确，符合题意； ， 故④错误，不符合题意． 综上所述，成立的有：②③． 故选：B． 【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 题型四 线段中点有关的计算问题 13．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长．    【答案】 【分析】本题考查线段中点有关的计算．先求出的长，进而求出的长，根据中点，求出的长，利用，计算即可．正确的识图，找准线段之间的数量关系，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴， ∴． 14．（21-22七年级上·四川成都·期中）如图1，已知线段，，点、都是线段上的点，点是的中点． (1)求线段的长； (2)如图2，若，并且点是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据和求出，再根据中点的定义求出即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，结合求出，最后利用求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵E是中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵F是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案； （2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （4）由（1）（2）（3）总结出结论即可. 【详解】解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键. 16．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键． （1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值； （2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度； （3）先求得，然后求得，从而可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：①点C在点B右边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； ②点C在点B左边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； 综上，． （3）证明：当点B与点D重合时，如图： ， ， ． ， 即． 题型一 线段中的设元思想 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 【答案】50 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键．设，根据线段的和差关系，中点的概念，结合，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则． 因为N是的中点， 所以． 因为，所以， 解得， 所以． 18．（12-13七年级上·黑龙江绥化·期末）如图B、C两点把线段分成的三部分，M是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】设，得，，，再根据，求出的值，故可得出线段的长度，再根据是的中点可求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：设， ∵∶∶∶∶， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将线段延长到，使，的中点为，，是上的点，且，，，求，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了线段的和与差，等式的性质，代数式求值等知识点，明确题意，弄清线段之间的和差关系是解题的关键． 设，则依据题意可得，，于是，由可得，根据可得，进而求得，于是可求得，，的长，由的中点为可求得的长，于是根据，即可求得，的长． 【详解】解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点为， ， ， ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    【答案】是定值，5 【分析】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：是定值．理由：设，则， 所以，所以． 因为点M为线段的中点． 所以， 所以， 所以． 题型二 线段中的分类讨论思想 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 22．（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【答案】2或4或3 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有、和三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 【详解】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、 三种情况， ①时，，    ②时，，    ③时，．    故答案为：2或4或3． 23．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 24．（24-25七年级上·重庆·期末）已知线段，延长至点，使得，点是线段上一点，且，则的值为 ． 【答案】6或2 【分析】本题考查线段的和差关系；根据延长至，使，求出与的关系，再根据点在或上，分别求出与的关系，再求两线段的比． 【详解】解：线段，延长至，使， ， 是线段上一点，且， 当点在上， ， ∴， 当点在上， ， ． 故答案为：6或2． 题型三 线段中的双中点模型 25．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 【答案】4或8 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系．分两种情况：点C在线段上或点C在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点， ， 当点C在线段上时，如图， ； 当点C在线段的延长线上时，如图， 故答案为：4或8． 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段 或， 故答案为：或． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点A，B，C在同一条直线上，M，N分别是AB，AC的中点．若，，求线段MN的长． 【答案】1cm或9cm． 【分析】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解答本题的关键． 分情况讨论计算长即可． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①如图①，当点在线段上时， 因为，分别是，的中点， 所以，， 所以； ②如图②，当点在线段外时， 同理可得，，所以． 综上所述，线段的长为或． 题型四 线段中的动点问题 25．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 【答案】4或8 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系．分两种情况：点C在线段上或点C在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点， ， 当点C在线段上时，如图， ； 当点C在线段的延长线上时，如图， 故答案为：4或8． 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段 或， 故答案为：或． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点A，B，C在同一条直线上，M，N分别是AB，AC的中点．若，，求线段MN的长． 【答案】1cm或9cm． 【分析】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解答本题的关键． 分情况讨论计算长即可． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①如图①，当点在线段上时， 因为，分别是，的中点， 所以，， 所以； ②如图②，当点在线段外时， 同理可得，，所以． 综上所述，线段的长为或． 28．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 29．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 30．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 31．（24-25七年级上·四川雅安·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为A B．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，12． (1)直接写出结果， ___________， ___________； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则___________； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是___________； ③点P为直线上的一个动点，则的最大值是___________；最小值是___________； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①1，②③，； (3)1，，7或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； ③分别进行分类讨论且作图，运用绝对值的性质进行化简求值，即可作答． （3）先求出点表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，． （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴，解得． 故答案为：． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， 故答案为：． ③当点P在射线上，如图 即 此时 当点P在线段上，如图 即 此时 ∴； 当点P在线段上，如图 即 此时 则 ∴； 即 当点P在射线上，如图 即 此时 综上：则的最大值是22；最小值是； 故答案为：22 （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为，； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为，． 当时，， ∴或 解得或； 当时，， ∴或 解得或． ∴存在t值，使得，，，7或． 32．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)；或 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据及已知条件，即可得出答案； （2）根据及已知条件，先求出和的长；当点为中点时，则，然后根据即可求出的长，根据即可求出的长；分两种情况讨论：）当在点左侧时；）当在点右侧时；分别画出图形，然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 当点为中点时， 则， ， ， ； 分两种情况： ）当在点左侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； ）当在点右侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 33．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ______， ______，线段______； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示） 【答案】(1)，20，30 (2)3或75 (3) 【分析】（1）根据同类项的定义求出a，b值，从而算出线段的长； （2）注意分情况讨论，①当点在之间时，如图1，②当点在右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点和，根据速度和时间可得点表示的数为：，点表示的数为：，根据中点的定义得点和点表示的数，由得的长和点表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得最后的值． 【详解】（1）解：∵与为同类项， ∴，， ∴， ∴； （2）分两种情况： ①当点在之间时，如图1， ，， ， 点为的中点， ， ； ②当点在右侧时，如图2， ，， ， ， 综上，的长是3或75． 故答案为：3或75； （3）由题意得，点表示得数为：，点表示的数为：， ，， 点在线段之间， 为中点， 点表示的数为：， 是中点， 点表示的数为：， ，， ， 点表示的数为：， ， 的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查同类项，数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． 34．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 35．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 【答案】(1)或6 (2) (3) 【分析】（1）先求出A，B表示的数，再根据题意表示出P，Q两点，根据即可求出v； （2）表示出，，，求出，关于t的式子，再代入，化简得到，可得，结合为定值，即可求出m，n的关系； （3）先求出当时，代数式的最小值，再表示P为t，Q为，M为，而为的中点，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴A为10，B为40 由题意可得：当时，P为，Q为， ∵， ∴，即， 解得或6． （2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A为10， ∴P为，E为， Q为，F为， 则，， ∴， 设， ∴， ∵k为定值， ∴且， ∴， 综上，． （3）解：∵ 而， ∴总共25个零点，25为奇数，则在第13个零点取最小，此时． ∴， ∵P为t，Q为，M为，而为的中点， ∴， 解得：； 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，绝对值的含义，非负数的性质，线段中点的含义，解题的根据是根据数轴上的点运动的特点找到数量关系列方程求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 线段的比较与运算 题型一 尺规作图-作线段 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，已知线段，，画一条线段，使． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 3．（23-24七年级上·天津·期末）按要求画一画，再填空： (1)画线段； (2)延长线段到点C，使； (3)延长线段到点，使； (4)根据上述画法可知， ， ． 4．（21-22七年级上·安徽宿州·期末）作图题：已知线段m、n．用尺规作图． （不需要写作法，保留作图痕迹） (1)作线段AB，使； (2)作线段CD，使． 题型二 用数学知识解释现实中的常见现象 5．（22-23七年级上·河北邢台·期中）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 6．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 8．（23-24六年级下·山东烟台·期中）下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 题型三 判断线段之间的数量关系 9．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③ ；④ ，其中正确结论的有 （     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（20-21七年级上·四川德阳·期末）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 题型四 线段中点有关的计算问题 13．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长．    14．（21-22七年级上·四川成都·期中）如图1，已知线段，，点、都是线段上的点，点是的中点． (1)求线段的长； (2)如图2，若，并且点是线段的中点，求线段的长． 15．（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 16．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 题型一 线段中的设元思想 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 18．（12-13七年级上·黑龙江绥化·期末）如图B、C两点把线段分成的三部分，M是的中点，，求的长． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将线段延长到，使，的中点为，，是上的点，且，，，求，的长． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    题型二 线段中的分类讨论思想 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 22．（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    23．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 24．（24-25七年级上·重庆·期末）已知线段，延长至点，使得，点是线段上一点，且，则的值为 ． 题型三 线段中的双中点模型 25．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点A，B，C在同一条直线上，M，N分别是AB，AC的中点．若，，求线段MN的长． 题型四 线段中的动点问题 25．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点A，B，C在同一条直线上，M，N分别是AB，AC的中点．若，，求线段MN的长． 28．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 29．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 30．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 31．（24-25七年级上·四川雅安·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为A B．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，12． (1)直接写出结果， ___________， ___________； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则___________； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是___________； ③点P为直线上的一个动点，则的最大值是___________；最小值是___________； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 32．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 33．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ______， ______，线段______； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示） 34．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 35．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $