6.2.2 线段的比较与运算（题型专练63题）2025-2026学年人教版七年级数学上册同步题型练系列

6.2.2 线段的比较与运算 题型目录 题型分类练 1 题型1 用数学知识解释现实中的常见现象 1 题型2 尺规作图 3 题型3 判断线段之间的数量关系 6 题型4 线段中点有关的计算问题 8 题型5 线段中的设元思想 12 题型6 线段中的分类讨论思想 15 题型7 线段中的双中点模型 18 题型8 线段中的动点问题 21 拓展思维创新练 25 中考真题 36 目标检测练 37 题型分类练 题型1 用数学知识解释现实中的常见现象 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查直线和线段，第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 【详解】第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列现象中，运用几何原理“两点之间线段最短”的是（   ） A．木工师傅过两点弹出一条墨线 B．从甲地到乙地，同样的速度选择直路通常更快到达 C．确定两个树坑位置即可让同一行树坑在一条直线上 D．建筑工人砌墙时利用墙角的两根标志杆拉一根直的线 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，根据直线的性质，线段的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、C、D都可以用“两点确定一条直线”，进行解释，不符合题意； B可以用基本事实“两点之间线段最短”解释，符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南·期末）如图从到地有（1）、（2）、（3）这三条路线，选 路线（填序号）最近，其中的数学道理是 ． 【答案】 （1） 两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据图形，结合两点之间，线段最短进行分析求解，即可解题． 【详解】解：从到地有（1）、（2）、（3）这三条路线，选（1）路线（填序号）最近，其中的数学道理是两点之间，线段最短． 故答案为：（1）；两点之间，线段最短． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在一条笔直的公路两侧，分别有、两个村庄，现在要在公路上修建一座火力发电厂，向、两个村庄供电，为使所用电线最短，发电厂应建在何处？并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短的实际应用，根据“两点之间，线段最短”可知，线段与直线的交点位置即为点C的位置． 【详解】解：根据“两点之间，线段最短”可知，连接交直线于点，则点即为发电厂的位置． 题型2 尺规作图 5．（24-25七年级上·甘肃白银·月考）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作线段．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了画直线和线段，解决本题的关键是根据直线、线段的特点画图． （1）过点、、C分别画直线和即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示，直线和即为所求作； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点， 连接． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作线段AB，使（保留作图痕迹，写出作法）． 【答案】见解析 【分析】本题需要利用直尺和圆规，通过依次截取线段的方法，作出长度为的线段． 【详解】解：如图，线段AB即为所求． 作法：①作射线AE； ②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AE于点C； ③以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线CE于点D； ④以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线DE于点B，线段AB即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图中线段的和的作法，掌握利用圆规依次截取已知长度的线段，从而作出所求长度的线段是解题的关键． 8．（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，平面上有射线和点B、点C，按下列语句要求画图： (1)连接； (2)用尺规在射线上截取； (3)连接，并延长到E，使； (4)连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段等知识点，灵活利用直线、射线、线段的定义画图成为解题的关键． （1）根据要求直接连接即可； （2）射线上截取线段即可； （3）用虚线延长，并截取线段即可； （4）直接连接D、E两点即可． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求．      （2）解：如图：线段即可所求； （3）解：如图：线段即可所求； （4）解：如图：线段即可所求． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使．（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了尺规作图-作一条线段等于已知线段，线段的和差等知识．先作射线，再依次作线段，，再在线段上作，则． 【详解】解：如图，（1）作射线， （2）以A为圆心，以a长为半径作弧，交射线于点C，则； （3）以C为圆心，以b长为半径作弧，在交射线于点D，则； （4）以D为圆心，以c长为半径作弧，交线段于点B，则； 即为所求作线段． 题型3 判断线段之间的数量关系 10．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点平分线段，熟练找到线段间的关系是解题的关键． 根据点D是线段上一点，得到、，再根据点C是线段的中点，得到，由点D不一定是线段的中点，所以不一定成立，据此逐项判断即可． 【详解】解： 点D是线段上一点 、 因此A、B不符合题意； 点C是线段的中点 因此C不符合题意； 点D不一定是线段的中点 不一定成立 因此D符合题意． 故选：D． 11．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选：B ． 12．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段所在直线上，下列关系式：①，②，③，④．其中不能确定是中点的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据线段的中点的定义，即可求解． 【详解】解：①， 是中点，故本选项不符合题意； ②当点D在点C、E之间时，，此时不是中点，故本选项符合题意； ③当点C在点D、E之间时，，此时不是中点，故本选项符合题意； ④当点D在点C、E之间时，，此时不是中点，故本选项符合题意； ∴不能确定是中点的有②③④． 故答案为：②③④ 【点睛】本题主要考查了线段的中点的定义，熟练掌握在线段上，把一条线段分为两条相等线段的点叫做线段的中点是解题的关键． 13．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．    【答案】①②③ 【分析】根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：①点是的中点，，，故①正确； ②点是的中点，，又点是的中点，．故②正确； ③点是的中点，． ，故③正确； ④，故④错误． 故正确的有①②③． 故答案为：①②③． 题型4 线段中点有关的计算问题 14．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，掌握知识点是解题的关键． 先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴． 故选B． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点C为线段上一点，点B为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解决本题的关键． 先根据点B为的中点，求解出的长度，再由与可求解的长度，再由即可求解． 【详解】解：若点E在线段上时，如图， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)； (2)3或1 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握连接两点间的线段的长度叫两点间的距离是关键． （1）利用计算出，则，再利用得到，然后计算，即可得到结果； （2）利用线段中点的定义，讨论：当点P在B、C之间时，计算；当点P在A、B之间时，计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点 ∴， ∴； （2）解：∵Q为中点， ∴， ∵， ∴， ①当点P在B、C之间时，， ②当点P在A、B之间时，． 故线段的长为3或1． 17．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【答案】(1)，线段中点定义， (2)画图见解析，或 【分析】此题考查线段的中点定义，线段的和差计算， （1）根据线段中点定义及线段和差关系解答； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在线段上时，当点在点右边时，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ， ． 是线段的中点， ．（线段中点定义） ． （2）解：当点在线段上时，如图， 由（1）可得，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图， ∵， ∴，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ∴或． 18．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，先由B、C两点把线段分成的三部分，根据比例求出的长，再根据M是的中点，得出，求出的长，最后由求出线段的长． 【详解】解：∵B、C两点把线段分成的三部分，， ∴，，， ∵M是的中点， ∴， ∴，即， ∴，，，， ∴． 题型5 线段中的设元思想 19．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的中点的定义、线段的和差，设，则，，，根据线段的中点的定义可得，再根据，，得出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， 点、点分别为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 20．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，已知点在线段上，点M，N分别在线段与线段上，且，，若，，求线段的长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了线段相关计算，熟练掌握该知识点并搞清楚各线段之间的数量关系是解决本题的关键．先设，，根据题意可得，，可列方程，，解方程可得，的长度即可得出答案． 【详解】解：设，，根据题意可得，， 因为，， 所以，， 即，， 解得，， 即，， 所以． 21．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知、两点把线段分成三部分，是线段的中点，． (1)求的长； (2)点是线段的中点吗？为什么？ 【答案】(1)EC (2)点是线段的中点，见解析 【分析】本题考查了线段的比例分配、中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是根据线段比例设未知数，结合已知长度求出各段线段的长度，再利用中点性质解决问题． （1）①由，设每份为x，结合求x；②计算总长，根据E是中点得长度；③用求． （2）①计算和的长度；②比较与的关系，判断B是否为中点． 【详解】（1）解：∵两点把线段分成三部分， ∴设，，． ∵， ∴，解得． ∴． ∵E是线段的中点， ． ∴． （2）点B是线段的中点，理由如下： 由（1）知， ∴． ∵E是的中点，， ． ∴，即． ∴点B是线段的中点． 22．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 题型6 线段中的分类讨论思想 23．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 24．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知点是直线上一点，若，则线段的长为 ． 【答案】4或12． 【分析】本题考查了线段的和差计算，两点间的距离，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．根据题意分类讨论：①点位于点、之间；②点位于点的右边，据此解答即可． 【详解】解：①当点位于点、之间，如图， ，，， ， ； ②点位于点的右边，如图， ，，， ， ． 综上，线段的长为4或12． 故答案为：4或12． 25．（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 26．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 27．（24-25七年级上·陕西西安·期末）线段的长度为12，点是的三等分点，点是的中点，求线段的长度． 【答案】10或8/8或10 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，注意分类讨论是解题的关键． 根据点靠近点或点靠近点分两种情况，分别根据线段中点的意义和线段和差即可计算． 【详解】解：当点靠近点时，    ∵线段的长度为12，点是的三等分点， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴； 当点靠近点时，    ∵线段的长度为12，点是的三等分点， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴， 综上：线段的长度为10或8． 题型7 线段中的双中点模型 28．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知点在线段上，，，则线段的长为 ，线段的中点与的中点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的计算，根据题意画出图形，理解中点的定义是解题关键． 根据题意画出图形，设线段的中点为，的中点为，先求出的长度，再根据线段中点的定义求出和的长度，即为所求． 【详解】解：如图： ，， ， 设线段的中点为，的中点为， ， ， ； 故答案为：； 29．（25-26七年级上·四川成都·期中）线段，点在线段上，且，点，分别为，中点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差关系．根据线段中点的定义，先求出和的长度，再利用线段的和差关系计算的长，即可作答． 【详解】∵，M是的中点， ∴， ∵，N是的中点， ∴， ∵点C在线段上， ∴， 故答案为：2 30．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了与线段中点有关的线段和差计算，解题的关键是根据题干信息和图形得出各线段的关系． （1）先求出的长度，根据N是的中点求出的长度即可． （2）求出和的长度，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴， 是的中点， ， （2）解： 点，分别是，的中点．， ， ． 31．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)；见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 【详解】（1）解：∵，，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则． （3）解：如图所示： 设，根据题意得， ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 题型8 线段中的动点问题 32．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点的计算，与线段有关的动点问题，解题的关键在于理解题意列出方程．设点Q的运动速度是，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·河南郑州·期末）线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出的值． 【详解】解：此题可分为两种情况进行讨论： ①如图1， 点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ， 当时，t＝2(15－t－2t)， 解得t＝； ②如图2， 点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB， 当时，t＝2(t＋2t－15)， 解得t＝6． 综上所述：的值为或6． 故答案为：或6． 【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键． 34．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 35．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 36．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 拓展思维创新练 37．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 38．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 39．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料并解答问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 【答案】(1)6 (2)1 (3)是定值，3 (4) 【分析】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题目中的材料，； （2）由Q为的中点，可得，即，解绝对值方程即可； （3）先根据点E为的中点，得到点E表示的数为，再根据点F表示的中点，得到点F表示的数为，所以，得到的值是定值； （4）由x，y为整数，，通过列举法找到符合条件的x的最小值及y的最大值，即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）设点Q表示的数为， Q为的中点， ，即， 当时，方程无解； 当时，， 解得； 点Q表示的数为1； （3）点E为的中点，点A表示的数为，点C表示的数为x， 点E表示的数为； 点F表示的中点，点C表示的数为x，点B表示的数为4， 点F表示的数为； ， 的值是定值，为3； （4）表示数轴上点x到和1的距离之和， 的最小值为3，此时， 表示数轴上点y到和的距离之和， 的最小值为2，此时， 求的最大值，即求x和y之间的距离最大值， 应满足x尽可能取最小值，y尽可能取最大值， x，y为整数，， 当时，，得，即； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； …… ，，此时， 则的最大值为． 40．（25-26七年级上·福建泉州·期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为秒或秒；②存在常数m，使得的值是定值，m的值为 【分析】（1）利用当时动点Q表示的数=点B表示的数点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数；利用当时动点Q表示的数=原点表示的数+点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数； （2）①分及两种情况考虑，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分及两种情况，可找出，，的值，结合的值是定值，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 当时，动点Q表示的数为； 当时，动点Q表示的数为 故答案为：； （2）①当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得：； 当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得： 答：t的值为秒或秒； ②当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得：； 即时，为定值，该定值为0； 当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得： 综上所述，存在常数m，使得的值是定值，m的值为． 【点睛】本题考查了数轴与动点，熟练掌握路程与速度和时间的关系，动点在数轴上表示的数，两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论，是解题的关键． 41．（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，线段的和差，比较难，需要熟练进行分类讨论． （1）根据，，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，根据中点定义即可求的长； ②分情况讨论，即点在点的左侧或右侧，分别讨论即可解答； （2）根据，，线段在直线上移动，满足关系式，可以设，，用含和的式子表示线段长，从而得出与的等量关系，即可求出的值． 【详解】（1）解：，，， ，， ①如图， 为中点， ， ， ； ②分两种情况：i）当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， ， ， ， ， ； 当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得，此时，（不合题意舍去） ⅱ）当点E在点F的右侧，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得（不合题意舍去） 综上所述，的长为； （2）解：，，满足关系式， Ⅰ、当点在点右侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． Ⅱ、当点在点左侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． 点在点右侧，及点在点右侧， 无解，不符合题意； 当在线段内部时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，不符合题意，舍去． 其他情况不存在，舍去． 故答案为：或． 中考真题 42．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 43．（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 【答案】4 【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm． 【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键． 44．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 目标检测练 一、单选题 45．（25-26七年级上·河北唐山·期中）在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A．为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B．用两颗钉子将木条固定在墙上 C．沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D．为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 【答案】A 【分析】本题考查对“两点之间，线段最短”这一几何公理的理解．根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可． 【详解】解：∵“两点之间，线段最短”指连接两点的所有线中，线段长度最短． A、将弯曲小路改直，使路径成为线段，缩短路程，符合公理． B、用两颗钉子固定木条，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． C、垂直测量跳远成绩，是利用垂线段最短，但不是两点之间的线段． D、拉参照线砌墙，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． ∴正确答案是A． 故选：A． 46．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键． 根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】 解：A． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C． 这个长方形的周长：，表示为，符合题意； D． 这个图形的面积：，表示为，不符合题意； 故选C． 47．（25-26七年级上·江西吉安·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．射线a比直线b短 B．若点C在线段上，且，则点C为线段的中点 C．已知C、D为线段上的两点，若，则 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线的概念，线段的和差计算，以及线段中点的定义，通过分析各选项，利用几何性质判断正误即可． 【详解】解：∵射线和直线均无限长，无法比较长度，∴A错误； ∵点C在线段上时，恒成立，但C不一定为中点（中点需），∴B错误； ∵C、D在线段上，， ∴， 又∵， ∴，∴C正确； ∵射线端点为B向A延伸，射线端点为A向B延伸，方向不同，∴D错误； 故选C． 48．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 【答案】D 【分析】此题考查两点间的距离，解题关键在于分情况讨论． 根据题意分两种情况，即点在线段上和射线上，分别讨论求解即可． 【详解】∵直线上取一点，使， ∴点应在点、之间或点的右边． 故选：D． 49．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的数量，线段的和差计算，根据线段中点的有关计算和线段的和差结合题意可得结论①②③④正确，图中线段总共有10条，分别加一起即可求出结论⑤正确 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，， ， ， ，， 图中所有线段之和为，故正确， 综上所述，正确的结论共有5个， 故选：D 二、填空题 50．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段； 第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段； 第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断即可． 【详解】解：由图可知：， ， ， 故答案为：． 51．（25-26七年级上·河南郑州·期中）在直线上顺次取三点，使得，．如果点是线段的中点，那么线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点定义及线段的和差，关键是熟练掌握知识点进行求解； 先根据的长度求出的长度，再根据点是的中点求出的长度，最后通过点的位置求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 又∵点顺次排列，且， ∴点在点的右侧，， 故答案为：． 52．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意是解决本题的关键． 设线段的长为，则根据题意得，，，，，结合即可求解． 【详解】解：设线段的长为， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由题意得， ， ∴， 解得． 即线段的长为， 故答案为：16． 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 54．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段的和差与中点性质，解题的关键是根据线段比例关系求出各段长度． 先设，，，由得，，则；因为是中点，故；；验证，；已知． 【详解】解：设，，， 由，得，， 则， ∵是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ，，故③错误； 已知，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 55．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段的和差等知识点，掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系是解题的关键． （1）以B为圆心，a的长度为半径画弧，交延长线于点C；以A为圆心，长为半径画弧交延长线于点D即可完成作图； （2）由（1）的作图求出，由O为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ，，， ， 为的中点， ， ． 56．（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． （1）先根据点为线段的中点，得出的长，进而可得出结论； （2）先求出的长，再由得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 57．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点B，D在线段上，且，是的中点． (1)若，求的长． (2)直接写出是的多少倍． 【答案】(1) (2)2倍 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先求出，再求出，根据线段中点的定义可得，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据线段中点的定义可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 即是的2倍． 58．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差． 先根据M是线段的三等分点求出，再根据E是线段的中点求出，根据计算即可． 【详解】解：M是线段的三等分点且， ， E是线段的中点， ， （）． 59．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在上，且，点为的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差及比的应用，能根据所给图形得出图中各线段之间的关系是解答本题的关键． （1）根据所给图形，得出线段之间的和差关系即可解答； （2）根据所给图形，得出线段之间的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：点为的中点，， ， ． 60．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，．   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在线段上时，； 当在线段外时，； 综上所述，的长为或． 61．（25-26七年级上·福建漳州·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为12，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【理解运用】 （1）A、B两点之间的距离为 ；t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）若点P从A出发运动速度和方向不变，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22，，，（2）线段MN的长度不发生变化，长度为11，理由见解析，（3）存在t值为1或或7或11 【分析】本题考查了数轴上的距离与中点公式、动点问题的分析，解题的关键是用含的式子表示动点位置，结合距离、中点公式列方程或计算长度． （1）利用数轴距离公式及动点运动规律表示对应数； （2）用中点公式表示、的数，计算MN的长度判断是否变化； （3）分的运动阶段（从到、从返回），表示、的数，结合列方程求解． 【详解】（1）解：；秒后，点表示的数为； 点表示的数为． 故答案为：22；；． （2）解∵ 为的中点， ∴ 表示的数为； ∵ 为的中点， ∴ 表示的数为； ∴ 答：线段的长度不变，长为11． （3）解：点到的时间为秒，从到的时间为秒． ① 当时，表示的数为，表示的数为， 由得， 解得或； ② 当时，表示的数为，表示的数为， 由得， 解得或． 综上，存在的值，为、、、11． 62．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 63．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 试卷第 1 页，共 53 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 线段的比较与运算 题型目录 题型分类练 1 题型1 用数学知识解释现实中的常见现象 1 题型2 尺规作图 2 题型3 判断线段之间的数量关系 3 题型4 线段中点有关的计算问题 4 题型5 线段中的设元思想 5 题型6 线段中的分类讨论思想 5 题型7 线段中的双中点模型 6 题型8 线段中的动点问题 6 拓展思维创新练 7 中考真题 9 目标检测练 10 题型分类练 题型1 用数学知识解释现实中的常见现象 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列现象中，运用几何原理“两点之间线段最短”的是（   ） A．木工师傅过两点弹出一条墨线 B．从甲地到乙地，同样的速度选择直路通常更快到达 C．确定两个树坑位置即可让同一行树坑在一条直线上 D．建筑工人砌墙时利用墙角的两根标志杆拉一根直的线 3．（24-25七年级上·湖南·期末）如图从到地有（1）、（2）、（3）这三条路线，选 路线（填序号）最近，其中的数学道理是 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在一条笔直的公路两侧，分别有、两个村庄，现在要在公路上修建一座火力发电厂，向、两个村庄供电，为使所用电线最短，发电厂应建在何处？并说明理由． 题型2 尺规作图 5．（24-25七年级上·甘肃白银·月考）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作线段AB，使（保留作图痕迹，写出作法）． 8．（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，平面上有射线和点B、点C，按下列语句要求画图： (1)连接； (2)用尺规在射线上截取； (3)连接，并延长到E，使； (4)连接． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使．（保留作图痕迹） 题型3 判断线段之间的数量关系 10．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段所在直线上，下列关系式：①，②，③，④．其中不能确定是中点的有 ．（只填序号） 13．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．    题型4 线段中点有关的计算问题 14．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点C为线段上一点，点B为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为 ． 16．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 17．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 18．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 题型5 线段中的设元思想 19．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 20．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，已知点在线段上，点M，N分别在线段与线段上，且，，若，，求线段的长． 21．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知、两点把线段分成三部分，是线段的中点，． (1)求的长； (2)点是线段的中点吗？为什么？ 22．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 题型6 线段中的分类讨论思想 23．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 24．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知点是直线上一点，若，则线段的长为 ． 25．（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 26．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 27．（24-25七年级上·陕西西安·期末）线段的长度为12，点是的三等分点，点是的中点，求线段的长度． 题型7 线段中的双中点模型 28．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知点在线段上，，，则线段的长为 ，线段的中点与的中点之间的距离为 ． 29．（25-26七年级上·四川成都·期中）线段，点在线段上，且，点，分别为，中点，则的长为 ． 30．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 31．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 题型8 线段中的动点问题 32．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 33．（24-25七年级上·河南郑州·期末）线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为 ． 34．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 35．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 36．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 拓展思维创新练 37．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 38．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 39．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料并解答问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 40．（25-26七年级上·福建泉州·期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 41．（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 中考真题 42．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 43．（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 44．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    目标检测练 一、单选题 45．（25-26七年级上·河北唐山·期中）在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A．为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B．用两颗钉子将木条固定在墙上 C．沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D．为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 46．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 47．（25-26七年级上·江西吉安·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．射线a比直线b短 B．若点C在线段上，且，则点C为线段的中点 C．已知C、D为线段上的两点，若，则 D．射线与射线是同一条射线 48．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 49．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 50．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段； 第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段； 第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是 ． 51．（25-26七年级上·河南郑州·期中）在直线上顺次取三点，使得，．如果点是线段的中点，那么线段的长度是 ． 52．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为 ． 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 54．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是 （填序号）． 三、解答题 55．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 56．（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 57．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点B，D在线段上，且，是的中点． (1)若，求的长． (2)直接写出是的多少倍． 58．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 59．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在上，且，点为的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 60．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 61．（25-26七年级上·福建漳州·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为12，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【理解运用】 （1）A、B两点之间的距离为 ；t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）若点P从A出发运动速度和方向不变，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 62．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 63．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 试卷第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $