4.2 角（分层作业）数学北师大版2024版七年级上册

4.2 角 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）一条船停在海面上，从船上看灯塔位于北偏东，那么从灯塔看船位于（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．西偏南 D．南偏西 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）把用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南平顶山·二模）如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 7．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线相交于点，垂足为．若，则的度数为 ． 10．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，射线表示的方向是南偏西，若，则射线表示的方向是 ． 11．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，一副三角板，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ． 12．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是的平分线． (1)______； (2)求的度数． 14．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，为直线上一点，，平分，，求的度数． 15．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 1．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，平分，平分．若， ，则 ． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1所示，点O为直线上一点，，三角形的一条边在射线上且 (1)如图1，的度数为______，的度数为______； (2)如图2，三角形绕点O逆时针旋转，当边恰好平分时，求的度数； (3)三角形由图1位置绕点O逆时针旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 5．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，把一张长方形（长方形四个角都是直角）纸片沿对角线向上翻折，，则的度数是多少？ 6．（24-25七年级上·山东济南·期末）已知点是直线上的一点，射线以点为端点，向直线上方延伸．作射线和，使平分，求的度数． 小明在解决此问题时，有以下思考： 【特例感知】 令，，解决以下问题： （1）如图1，当射线在内部时，_____； （2）当射线在外部时，的大小是多少？请在图2中画出示意图，并求出的度数； 【类比迁移】 （3）若，，且，为任意小于2的正有理数，则的度数为_____（用含有和的代数式表示）． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 1．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 2．（23-24七年级上·广东茂名·期末）如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 角 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 【详解】解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）一条船停在海面上，从船上看灯塔位于北偏东，那么从灯塔看船位于（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．西偏南 D．南偏西 【答案】B 【分析】本题考查的是方向角，此类问题也可通过画图解决．结合题意可知，灯塔位于这艘船的方向与船位于灯塔的方向正好相反，但度数不变． 【详解】解∶如图，从灯塔看船位于灯塔的南偏西． 故选∶B． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份． 将圆心角分为12份求出2份即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）把用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据大单位化小单位除以进率即可． 【详解】 故选：D． 5．（2025·河南平顶山·二模）如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选C． 6．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角的和差运算，平角的含义，根据，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D 8．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用角的平分线的性质，可设，则，结合角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线相交于点，垂足为．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：40． 10．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，射线表示的方向是南偏西，若，则射线表示的方向是 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了方向角，解的和差运算；由及表示的方向，可求出，即可得射线表示的方向． 【详解】解：∵射线表示的方向是南偏西， ∴； ∵， ∴， 即射线表示的方向南偏东． 故答案为：南偏东． 11．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，一副三角板，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角板中角度的计算，先根据，求出，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解： ， ． 故答案为： ． 13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是的平分线． (1)______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义及几何中角度的计算． （1）根据图形即可解答； （2）先计算出的度数，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴． 14．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，为直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据角平分线的定义得到，根据平角的定义得到，计算即可得到答案. 【详解】解：平分， ， 为直线上一点， ， ， ． 15．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角度之间的和差运算，角平分线的定义．根据，得出，则，即可判断①；无法判断，即可判断②；易得，即可推出，即可判断③；根据平分，得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确，符合题意； 当时，，否则不成立，故②不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，平分，平分．若， ，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，，再根据已知条件得出，即可求出的度数，从而求出的度数． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1所示，点O为直线上一点，，三角形的一条边在射线上且 (1)如图1，的度数为______，的度数为______； (2)如图2，三角形绕点O逆时针旋转，当边恰好平分时，求的度数； (3)三角形由图1位置绕点O逆时针旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算，掌握角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． （1）根据邻补角的定义以及和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可； （3）根据旋转角度分两种情况进行解答，画出相应的图形，根据图形中角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ； 故答案为：120，150； （2）平分， ， ∴， ； （3）或，理由如下： 当旋转角时，如图， ，即， ； 当旋转角时，如图： ，即， ． 综上：或． 5．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，把一张长方形（长方形四个角都是直角）纸片沿对角线向上翻折，，则的度数是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据已知条件先求出，然后根据折叠的性质即可解答． 【详解】解：因为四边形是长方形，且， 所以，． 因为由翻折而成， 所以． 又因为， 所以． 6．（24-25七年级上·山东济南·期末）已知点是直线上的一点，射线以点为端点，向直线上方延伸．作射线和，使平分，求的度数． 小明在解决此问题时，有以下思考： 【特例感知】 令，，解决以下问题： （1）如图1，当射线在内部时，_____； （2）当射线在外部时，的大小是多少？请在图2中画出示意图，并求出的度数； 【类比迁移】 （3）若，，且，为任意小于2的正有理数，则的度数为_____（用含有和的代数式表示）． 【答案】[特例感知]（1）；（2）；[类比迁移]（3）或 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． [特例感知]（1）先求得，根据平分，得出，进而根据，即可求解； （2）先求得，根据平分，得出，进而根据，即可求解； （3）根据题意分在内部和外部两种情况分别讨论，同（1）（2）的方法即可求解． 【详解】[特例感知]解：（1）∵， ∴ ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图所示， ∵， ∴ ∵，平分， ∴， ∴， [类比迁移]（3）解：如图所示，当在内部时， ∵， ∴ ∵，平分， ∴， ∴， 如图所示，当在外部时， ∵， ∴ ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】探究一： 平分，理由见解析；探究二：（1），理由见解析；（2）或 【分析】考查角平分线的，与三角板有关的角度计算． 探究一：由平分，，可求出，再根据，可得，进而得出结论； 探究二：（1）由，，可求出，再根据角的和差之间的关系得出； （2）分两种情况进行探究，即：当在的内部，且在直线的上方时；当在的内部，且在直线的下方时；得或． 【详解】解：探究一、平分，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， 平分； 探究二、（1）， ， ， ， ， ， 即：， （2）分以下两种情况： 当在的内部，且在直线的上方时，如图④所示： ， ； 当在的内部，且在直线的下方时，如图⑤所示： ， 即 ， ． 综上所述，或． 1．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转，掌握图形旋转的特征是解题的关键． （1）利用直角三角形的内角和直接求得； （2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解； （3）根据图形的旋转，设运动时间为秒，可得，，即可得知是定值． 【详解】（1）解： ，，， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：不变． 设运动时间为秒，则， ，， ， ． 2．（23-24七年级上·广东茂名·期末）如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【答案】(1)线段的长度不发生变化，理由见解析 (2)①，；②6秒，或秒 (3)12 【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得； (2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，； (3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得． 本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答． 【详解】（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：    ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10， ∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：，； ②点与点相距3个单位长度，分两种情况： 当点在点左侧时，如图， ， 解得，    当点在点右侧时，如图， ， 解得，    综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于， 则， 解得， ∴经过12分钟后，的度数第一次等于． 故答案为：12． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $