3.1　 代数式　讲义　　2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

第一节 代数式 一、思维导图 二、知识梳理 （一）代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、≥、<、≤、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； 2.代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④ 相同式子相乘时，结果需要写成幂的形式，如a×a×a应写作a3； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a2-b2）平方米。 ⑦当“1”与字母相乘时，“1”省略不写；当“-1”与字母相乘时，只需在该字母前加上“-”号。 3.代数式求值 （1）用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 注意： ①代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不变。 ②代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原。 ③若字母的值是负数或带分数，将字母的值代入代数式时，应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变。 （2）整体思想代入法 ①整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 ②根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． （二）单项式 1.单项式的概念：如，，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2） 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数与次数 （1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； ②圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： ①没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； ②不能将数字的指数一同计算． （三）多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 注意（1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 注意（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 （四）整式 单项式与多项式统称为整式。 注意（1）整式可以分为单项式和多项式。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 三、夯实基础 （一）选择题 1.在，，，，，，中，是代数式的有    A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列各式中，符合代数式书写要求的有(    ) ；；；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.下列说法中，正确的是(    ) A. 是单项式 B. 是四次二项式 C. 的系数为 D. 的次数是 4.比的倍大的数用代数式表示为  (    ) A. B. C. D. 5.某超市计划将原价每盒元的元宵以元的促销价售出，则下列说法能正确表达该超市促销方法的是  (    ) A. 打六折后，再降低元 B. 降低元后，再打六折 C. 降低元后，再打八折 D. 打八折后，再降低元 6.已知是两位数，是一位数，把直接写在后面，就成为一个三位数，这个三位数可表示成(    ) A. B. C. D. 7.某工厂计划生产个零件，原计划每天生产个零件，实际每天比原计划多生产个零件，则实际生产所用的天数比原计划少(    ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 8.单项式的系数及次数分别是(    ) A. 系数是，次数是 B. 系数是，次数是 C. 系数是，次数是 D. 系数是，次数是 9.下列说法正确的有    的项是，，为多项式多项式的次数是一个多项式的次数是，则这个多项式中只有一项的次数是单项式的系数是不是整式． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 （二）填空题 10.如图，是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是          ． 11.已知是关于，的五次单项式，则的值为          ． 12.写出一个同时满足以下三个条件的单项式：系数是负数；次数是；只含有和两个字母这个单项式可以是           ． 13.已知是的相反数，是的倒数，则代数式的值为          ． 14.甲数比乙数的倍大，若乙数为，则甲数为          ． 15.买一个球拍需要元，买一根跳绳需要元，则分别购买个球拍和根跳绳，共需要          元．用含，的代数式表示 16.单项式的次数与多项式的次数相同，则的值为          ． （三）解答题 17.指出下列各式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？ ，，，，，，，， 单项式：            多项式：            整 式：           ． 18.已知是关于，的四次单项式，求的值． 19.某电器商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价元，电磁炉每台定价元．去年元旦期间，该商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：买一台微波炉送一台电磁炉；微波炉和电磁炉都按定价的付款．现某客户要到该商场购买微波炉台，电磁炉台． 若该客户按方案购买，需付款          元；若该客户按方案购买，需付款          元用含的代数式表示． 若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． 当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 四、拓展提升 （一）选择题 1.若，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 2.当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为  (    ) A. B. C. D. 3.观察下面的一列代数式：，，，，，，根据其中的规律，得出第个代数式是(    ) A. B. C. D. （二）填空题 4.若多项式中不含和项，则          ，          ． 5.已知，则代数式的值为          ． 6.已知：，则           ． 7.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，按此规律排列下去，第个图形中有          个实心圆． 8.我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，例如：，则，若，那么          用含的代数式表示 （三）解答题 9.已知代数式，当时，该代数式的值为． 求的值； 已知当时，该代数式的值为，试求的值； 已知当时，该代数式的值为，试求当时该代数式的值． 10.如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，并且是多项式的二次项系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． 由题意可得：______，______，______． 点、、在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒． 当时，分别求、的长度． 在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 11.问题情境：我们知道，数轴是重要的数学工具，借助数轴可以建立“数”与“点”的对应关系活动课上，同学们探索“互斥点”在数轴上运动产生的数学问题为方便探究，大家先对“互斥点”规定如下：在数轴上，从某一定点同时出发的两点，，以相同的速度向相反方向运动，则称点，为一对“互斥点”． 初步探究：如图，当点是原点时，一对“互斥点”，从点处出发，点沿数轴正方向以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． 当时，点在数轴上对应的数为______，点在数轴上对应的数为______； 秒时，点，之间的距离为______； 拓展延伸：如图，若点在数轴上对应的数为，一对“互斥点”，从点处同时出发，点仍沿数轴正方向以每秒个单位的速度运动同学们在点的左侧，且到点距离为个单位长度的点处设置了一个挡板，并规定当点运动到挡板处时，立即调头向相反方向运动，且速度变为原来的倍． 请列代数式解决如下问题： 点到达挡板前，在数轴上对应的数为______； 点到达挡板后，求，两点不重合时它们之间的距离请写出解答过程，并将结果化简． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一节 代数式 参考答案： 三、夯实基础 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 A B B A A C  D D A 不唯一 17.单项式：    多项式：  整 式：． 18.解：∵是关于，的四次单项式， ∴，且，所以． ∴． 19.解：(1)(200x+10000);(160x+11200)  (2)当x＝40时，200x+10000＝200×40+10000＝18000，160x+11200＝160×40+11200＝17600． 因为18000＞17600， 所以此时按方案②购买较为合算  (3)能按方案①购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案②购买20台电磁炉，共需付款700×20+200×80%×20＝17200（元）  四、拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D  C  B   9.(1)解：代数式++3x+c. 当x=0时，该代数式的值为-1， c=-1.  (2)解：当x=1时，该代数式的值为-1， a+b+3+c=-1， a+b+c=-4.  (3)解：当x=3时，++3x+c=a+b+33+c=9. c=-1， a+b=1. 当x=-3时，++3x+c=a+b+3(-3)-1=-(a+b)-10=-11， 当x=-3时，该代数式的值为-11.  10.解：（1），，； ，， 当时，，； 不改变，理由如下： ，， ． 的值随着时间的变化而改变． 11.解：设运动时间为秒．则点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为； 故答案为：，． 点，之间的距离为， 故答案为：． 点到达挡板前，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为． 故答案为：； 点到达挡板后，在数轴上对应的数为：点在数轴上对应的数为． 当点在点左侧时，，之间的距离为． 当点在点右侧时，，之间的距离为． 综上所述，点在点左侧时，，之间的距离为；点在点右侧时，，之间的距离为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $