第21章 一元二次方程（复习讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第21章 一元二次方程（复习讲义） 1.能准确判断方程是否为一元二次方程，并规范整理为一般形式。 2.掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程特点选择最优解法，且保证解题过程的规范性与结果的准确性。 3.理解多项式在实数范围内因式分解的意义；利用一元二次方程的求根公式在实数范围内分解因式。 4.通过将简单的分式方程转化为一元二次方程进行求解，领会分式方程“整式化”的化归思想。 5.掌握一元二次方程（可化为一元二次方程的分式方程）的实际应用模型，能从实际问题中抽象出等量关系，建立模型，求解并检验结果的实际意义，实现 “从生活到数学” 的转化。 知识点01：一元二次方程的概念 1. 一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 知识点02：一元二次方程的解法 1.因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 2.直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解． 3.配方法解一元二次方程一般步骤 1 先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； 2 移项：把常数项移到方程右边； 3 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； 4 当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 4.用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点03：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点04：一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点05：一元二次方程的应用 1.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 2.可化为一元二次方程的分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． （3）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （4）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （5）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 3.列方程解应用题 （1）列方程解实际问题的三个重要环节 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. （2）利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. （3）解决应用题的一般步骤 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　 平均变化率问题、利润(销售)问题、面积问题等. 题型一 一元二次方程的概念 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意 C、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； D、是分式方程，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】2 【详解】方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：一元二次方程的一个根为1，另一个根为， 该方程可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 因式分解法解一元二次方程 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】，． 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， ∴，． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【详解】解：， ， 则， 即， ， 解得． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴或 解得：， 题型三 直接开平方法解一元二次方程 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 【变式3-1】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，． 题型四 配方法解一元二次方程 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： ， 解得：． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）解方程：． 【答案】， 首先将方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 题型五 配方法的应用 【例5】（25-26八年级上·上海·阶段练习）将二次三项式写成的形式则 ． 【答案】 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次三项式的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 当时，多项式的最小值为． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 题型六 公式法解一元二次方程 【例6】（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 整理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解：， 这里，，， ∵， ． ∴， 【变式6-2】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式6-3】（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 方程变形得：， ∵，，，， ∴， ∴，， 即，． 题型七 一元二次方程的判别式 【例7】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故方程无实数根； B、，故方程有实数根； C、，故方程无实数根； D、，由于m的取值无法确定，故方程有或者无实数根取决于m的取值； 故选：B． 【变式7-1】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， 即， 且． 故答案为：且． 【变式7-3】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 题型八 一元二次方程的根与系数的关系 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 关于的方程的两根的相反数为根， 则应满足，， A、中，，，符合题意； B、中，，，不符合题意； C、中，，，不符合题意； D、中，，，不符合题意； 故选：A 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：、是方程的两个有理根， ，， ， ，， 解得：，， ，， ， 故答案为： 【变式8-2】（24-25八年级上·上海·期中）若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得、是方程的两个根， ∴， ∵、是两个不相等的素数， ∴或， ∴ ∴， 故答案为：． 题型九 实数范围内分解因式 【例9】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式9-1】（24-25八年级上·上海·期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 则， 所以， 故选：C． 【变式9-2】（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 题型十 增长率问题（一元二次方程的应用) 【例10】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 【变式10-1】（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为 元．（用含和的代数式表示） 【答案】 【详解】解：设该服装的原价为b元， 第一次降价后的价格为：元， 则第二次降价后的价格为：元， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 【变式10-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 题型十一 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例11】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：， 故选：C． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 【答案】长方形仓库的长和宽分别是米、米 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形仓库的长和宽分别是米、米． 【变式11-2】（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 【变式11-3】（24-25八年级上·上海·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 【答案】(1)② (2)列方程求解见解析 (3)求解、作图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为8，则， ∴，则正确构图②， 故答案为：②； （2）解：由题意，设长方形的宽为米， ∴长为米． ∴， 由（2）中解法可得或（负值，舍去）； （3）解：由题意，首先构造如图所示的图形： 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8． ∴． ∴． 题型十二 营销问题(一元二次方程的应用) 【例12】（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式12-1】（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？ 【答案】35元 【详解】解：设这周每只文具盒的售价为x元， 由题意知：， 整理得， 解得， 即这周每只文具盒的售价为35元． 【变式12-2】（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【答案】每件商品售价是41元 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 【变式12-3】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 题型十三 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例13】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 【变式13-1】（22-23八年级下·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒 【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即． 答：经过2秒，的面积为． 【变式13-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 题型十四 可化为一元二次方程分式方程的应用 【例14】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【变式14-1】（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）某药店购进一批防护面罩和口罩，购进防护面罩花费1500元，口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比口罩的单价多2元，购进口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是多少元？ 【答案】该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是5元，3元 【详解】解：设该药店购进防护面罩的单价是元，则购进口罩的单价是（）元，依题意得： ， 整理得：， 解得： ，（不合题意，舍去）； 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 故该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是5元，3元． 【变式14-2】（24-25八年级下·上海·期中）小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 【答案】小丽的叔叔可赚元 【详解】解：首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得： 解得：或舍去， 经检验是方程的解， ， 答：小丽的叔叔从甲地购进商品件， ， 答：小丽的叔叔可赚元． 基础巩固通关测 1．（22-23八年级上·上海·期中）方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．的值无法确定． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、求一个数的绝对值 【分析】根据一元二次方程的定义，绝对值的性质即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得，， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海·期末）下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数，且）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A、，即， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     B、， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     C、， ∵， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     D.、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的一次项系数的概念进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为： 5．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 6．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 将代入方程得到，求出，然后由得到，求出． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）把方程化为两个二元一次方程，它们是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查因式分解法解方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 通过因式分解，将原方程转化为两个二元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴方程化为两个二元一次方程：，， 故答案为：，． 8．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设平均每年增加的百分率都为x，根据两年的增长率，列出方程即可． 【详解】解：设平均每年增加的百分率都为x，根据题意得， ， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 11．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， 解得； （2）解：∵， ∴， 则， ， 解得． 12．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得：． 13．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤．原方程变形为，利用开平方即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得，． 14．（24-25八年级上·上海松江·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义．根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，，以及二次项系数不为0，建立式子，求出m的取值范围即可． 【详解】解： . 方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得， 综上所述，m的取值范围为且． 16．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡，根据全组共送90张贺卡，列方程即可解答． 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，二次根式的意义，理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程的定义、二次根式的意义以及根的判别式的意义得到，，且，然后求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查因式分解及一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解及一元二次方程的解法是解题的关键；可令，然后根据求根公式可得出方程的根，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可令， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 5．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48元，那么平均每次降价的百分率是，则可以列方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48元，平均每次降价的百分率是，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48元，那么平均每次降价的百分率是， ∴ 故答案为： 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若且，则 ． 【答案】25或1 【知识点】已知条件式，化简求值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据且，得出，分或两种情况进行求解，即可得出答案． 【详解】解：∵且， ∴， 当时，方程可变形为：， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； 当时，方程可变形为：， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴不符合题意舍去， ∴； 综上分析可知：的值为25或1． 故答案为：25或1． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 8．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：(配方法) 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开方得：， ∴． 9．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的方法是解题的关键； 根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ，，， ， ， ， 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用原式附加费解方程． 【详解】（1）解：， 或， （2）解：， 或， 11．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且. 12．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 【答案】，方程的解为， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求出自然数m的值，进而解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． ∵m为自然数， ∴． 当时，方程为， 解得，． 13．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得（舍去）， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 14．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）某学校图书馆两次从书店购进某种图书，每次都用元．已知第二次购进这种书每本的价格比第一次每本的价格少了元，且比第一次购进的书多了本，求第一次购书时每本的价格． 【答案】元 【知识点】分式方程的经济问题、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设第一次购书时每本的价格是元，则第二次购书时每本的价格是元，再根据第一次购进的本数与第二次购进的本数的关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一次购书时每本的价格是元，则第二次购书时每本的价格是元， 根据题意，得：， 去分母，整理，得：，解得，， 经检验，，都是原方程的根，因为购书的价格不能为负的， ∴， ∴第一次购书时每本的价格是元． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 【答案】(1)4元或36元 (2)20元 【知识点】配方法的应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用： （1）设每件降价元，根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件降价元，每天盈利为W元，利润单件利润销售量列出W关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：解：设每件降价元， 由题意得，， 整理得 或， 答：想达到每天盈利1600元，每件可降价4元或36元； （2）解：解：设每件降价元，每天盈利为W元， 则 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，盈利最大， 答：想盈利达到最大值，每件可降价20元． 16.（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3） 【详解】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程（复习讲义） 1.能准确判断方程是否为一元二次方程，并规范整理为一般形式。 2.掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程特点选择最优解法，且保证解题过程的规范性与结果的准确性。 3.理解多项式在实数范围内因式分解的意义；利用一元二次方程的求根公式在实数范围内分解因式。 4.通过将简单的分式方程转化为一元二次方程进行求解，领会分式方程“整式化”的化归思想。 5.掌握一元二次方程（可化为一元二次方程的分式方程）的实际应用模型，能从实际问题中抽象出等量关系，建立模型，求解并检验结果的实际意义，实现 “从生活到数学” 的转化。 知识点01：一元二次方程的概念 1. 一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 知识点02：一元二次方程的解法 1.因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 2.直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解． 3.配方法解一元二次方程一般步骤 1 先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； 2 移项：把常数项移到方程右边； 3 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； 4 当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 4.用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点03：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点04：一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点05：一元二次方程的应用 1.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 2.可化为一元二次方程的分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． （3）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （4）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （5）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 3.列方程解应用题 （1）列方程解实际问题的三个重要环节 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. （2）利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. （3）解决应用题的一般步骤 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　 平均变化率问题、利润(销售)问题、面积问题等. 题型一 一元二次方程的概念 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 题型二 因式分解法解一元二次方程 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【变式2-1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【变式2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 题型三 直接开平方法解一元二次方程 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 题型四 配方法解一元二次方程 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【变式4-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【变式4-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）解方程：． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）用配方法解方程：． 题型五 配方法的应用 【例5】（25-26八年级上·上海·阶段练习）将二次三项式写成的形式则 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次三项式的最小值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 题型六 公式法解一元二次方程 【例6】（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【变式6-2】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【变式6-3】（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 题型七 一元二次方程的判别式 【例7】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 题型八 一元二次方程的根与系数的关系 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·上海·期中）若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 题型九 实数范围内分解因式 【例9】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·上海·期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解： ． 题型十 增长率问题（一元二次方程的应用) 【例10】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为 元．（用含和的代数式表示） 【变式10-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【变式10-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 题型十一 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例11】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 【变式11-2】（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【变式11-3】（24-25八年级上·上海·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 题型十二 营销问题(一元二次方程的应用) 【例12】（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？ 【变式12-2】（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【变式12-3】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 题型十三 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例13】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【变式13-1】（22-23八年级下·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【变式13-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 题型十四 可化为一元二次方程分式方程的应用 【例14】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式14-1】（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）某药店购进一批防护面罩和口罩，购进防护面罩花费1500元，口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比口罩的单价多2元，购进口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是多少元？ 【变式14-2】（24-25八年级下·上海·期中）小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 基础巩固通关测 1．（22-23八年级上·上海·期中）方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．的值无法确定． 2．（24-25八年级上·上海·期末）下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 5．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 7．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）把方程化为两个二元一次方程，它们是 ． 8．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 9．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是 ． 10．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 11．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 13．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 14．（24-25八年级上·上海松江·期末）解方程：． 15．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 16．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解： ． 5．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48元，那么平均每次降价的百分率是，则可以列方程 ． 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若且，则 ． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 8．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：(配方法) 9．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）解方程： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 12．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 13．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 14．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）某学校图书馆两次从书店购进某种图书，每次都用元．已知第二次购进这种书每本的价格比第一次每本的价格少了元，且比第一次购进的书多了本，求第一次购书时每本的价格． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 16.（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $