专题3.3立方根重难点题型专训（2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题3.3立方根重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 立方根的实际应用 题型五 与立方根有关的规律探索 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 拓展训练一 立方根的概念、性质及应用 知识点一：立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 【即时训练】 1.（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方根的定义与性质可求a和b的值，从而可求答案． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则． 故答案为：2；；． 2.（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数． 【详解】解：一个数的平方根与立方根相同， 这个数为0． 故答案为：0． 知识点二：开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【即时训练】 1.（24-25七年级下·河北邢台·期中）根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据运算关系可得，，进而可求得a、b． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 故答案为：，． 2.（2025·安徽淮北·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】先开立方化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数运算，立方根定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 【答案】B 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是解答即可． 【详解】解：A. 因为，以是125的立方根，原说法错误； B. 因为的立方是，所以的立方根是，说法正确； C. 因为，所以的立方根是，原说法错误； D. 有立方根，原说法错误； 故选：B． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，熟记定义并利用根指数列出方程是解题的关键． 根据算术平方根和立方根的定义，利用根指数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，，且, 解得：，． 1．（24-25七年级下·吉林·期中）对于说法错误的是（  　） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 【答案】D 【分析】根据立方根的定义，对各选项分析判断后进行求解. 【详解】解：A、表示的立方根，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、与的结果相等，说法正确，不符合题意； D、有意义，说法错误，符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了立方根的定义，是基础题，比较简单. 2．（23-24八年级上·河北邢台·期末）表示（    ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 【答案】C 【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解． 【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C 【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）2是 的立方根； 的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 4．（24-25七年级下·安徽池州·期中）已知某正数的两个不相等的平方根分别足和，的立方根是，求的值． 【答案】4 【分析】根据平方根的定义可得，即可求出的值，根据立方根的定义可求出的值，代入即可． 【详解】解：某正数的两个不相等的平方根分别是和，且一个正数的两个平方根互为相反数， ， 解得：， 又的立方根是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例1】（2023八年级上·广东东莞·竞赛）记是的立方根，是的算术平方根，则、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定的 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较． 求出P、Q的值，化为，，比较大小即可． 【详解】解：∵P是的立方根，Q是的算术平方根， ∴， ，， ，， ， ∴， 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的平方根和立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根．根据题意求出x和y的值，再求出的值，从而可求其平方根和立方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴100的平方根和立方根分别是． 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）用华罗庚方法计算时：①先确定这个数是___________位数②个位数字是___________③十位数字是___________．正确选项是（    ） A．①2位     ②8     ③4 B．①3位     ②2     ③4 C．①2位    ②2   ③4 D．①3位    ②8    ③4 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，使用华罗庚方法计算立方根时，需分步确定位数、十位和个位数字． 【详解】解：确定位数： 将数110592从右至左每三位分一节，得到两节“110”和“592”，故立方根为两位数． 确定十位数字： 观察第一节“110”，找到最大整数满足． ∵，，故十位数字为4． 确定个位数字： “592”的末位数是2，而，故个位数字为8． 故选：A 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出行途中看到一本杂志上有一道求的立方根的智力题，华罗庚脱口就说出了正确答案：39，现已知的立方根是一个整数，这个整数是（    ） A．16 B．26 C．36 D．38 【答案】C 【分析】根据题意，利用立方进行估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴更接近， ∵尾数为6， ∴的立方根是36， 故选：C． 【点睛】题目主要考查有理数的立方的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）方程是的根是 ． 【答案】 【分析】先将未知数的系数化为1，然后根据直接开方进行计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了开方运算，类比开立方进行计算是解题的关键． 4．（25-26八年级上·山西长治·阶段练习）观察下表 ．．． 216 216000 ．．． ．．． 60 ．．． 根据你发现的规律解答： (1)表格中___________． (2)已知， ①估算：___________ ②用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是，求这个正方体的棱长． 【答案】(1)6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了立方根的计算，熟知立方根的定义是解题的关键． （1）被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此结合表格中的数据求解即可； （2）①，那么的结果是的结果的100倍，据此可得答案；②，那么的结果是的结果的10倍，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴体积为的正方体的棱长约为． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了立方根和相反数的概念，关键是由两个数的立方根互为相反数得出两个数互为相反数． 根据两个数的立方根互为相反数得出，即可得出答案． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以， 解得， 所以的值为1． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根，平方根，乘方，根据立方根，平方根求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，且，则x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东日照·期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根与算术平方根，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．先根据平方根的性质可得，再根据立方根可得，则可得，再根据算术平方根的性质即可得． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， ∴的算术平方根． 【经典例题四 立方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）将27个棱长为的实心小正方体橡皮泥揉捏成一个实心大正方体，求这个实心大正方体的棱长． 【答案】这个实心大正方体的棱长为 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据体积不变原理得出小正方体体积的和等于变形后的大正方体体积是解题关键． 先求出小正方体的体积，再求大正方体的体积进而可求解大正方体的棱长． 【详解】解：因为小正方体的棱长为， 所以小正方体的体积． 所以大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 答：这个实心大正方体的棱长为． 1．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的（   ）倍． A．4 B．8 C．16 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 设正方体M的棱长是，正方体N的棱长是，根据题意得出，根据立方根的定义得出，即可求解． 【详解】解：设正方体M的棱长是，正方体N的棱长是， 依题意得：， ∴， ∴正方体M的棱长是正方体N的棱长的4倍． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 4．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 【经典例题五 与立方根有关的规律探索】 【例1】（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 3．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 【经典例题六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 【例2】（23-24八年级上·甘肃天水·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键． 根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的平方根是． 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 【拓展训练一 立方根的概念、性质及应用】 【例1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念理解，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据立方根和平方根的概念求解即可． 【详解】解：A、27的立方根是，原说法错误，不符合题意； B、有立方根，且为，原说法错误，不符合题意； C、立方根是它本身的数是，原说法错误，不符合题意； D、平方根是它本身的数是0，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 3．（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 5．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 7．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 8．（24-25七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义判断答案． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查立方根的定义，熟知立方根的定义是解题的关键 9．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果，那么的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 根据立方根的变化规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）若 a 的立方根是 ，的平方根是 b ，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的方程，解方程即可求出a、b的值，进而得到的值． 【详解】解：∵ a 的立方根是 ，的平方根是 b ， ∴， ∴或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小明想将一个体积为的大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查立方根的应用、正方体的体积等知识点，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【详解】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：由题可得． 解得． ． 的平方根是， 的平方根是． 18．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）求的值：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，先把方程两边同时减去125，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 19．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可； （2）由（1）可求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是27的立方根， ∴，即， ∵的算术平方根是4， ∴，即 解得：； （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∴的平方根为． 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）． （2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到） 【答案】（1）这个木箱的棱长约；（2）这个篮球的半径约 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． （1）设这个正方体木箱的棱长为，由题意得出方程，求出即可． （2）设这个篮球的半径为，由题意得出方程，求出即可． 【详解】解：（1）设这个木箱的棱长为， 则， 解得． 答：这个木箱的棱长约． （2）设这个篮球的半径为， 根据题意，得， 解得． 答：这个篮球的半径约． 21．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 22．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 23．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 24．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】(1)两，9，3； (2)32，； 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3立方根重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 立方根的实际应用 题型五 与立方根有关的规律探索 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 拓展训练一 立方根的概念、性质及应用 知识点一：立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 【即时训练】 1.（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 2.（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是 ． 知识点二：开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【即时训练】 1.（24-25七年级下·河北邢台·期中）根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出 ； ． 2.（2025·安徽淮北·模拟预测）计算： ． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 1．（24-25七年级下·吉林·期中）对于说法错误的是（  　） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 2．（23-24八年级上·河北邢台·期末）表示（    ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）2是 的立方根； 的立方根是． 4．（24-25七年级下·安徽池州·期中）已知某正数的两个不相等的平方根分别足和，的立方根是，求的值． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例1】（2023八年级上·广东东莞·竞赛）记是的立方根，是的算术平方根，则、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定的 【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的平方根和立方根． 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）用华罗庚方法计算时：①先确定这个数是___________位数②个位数字是___________③十位数字是___________．正确选项是（    ） A．①2位     ②8     ③4 B．①3位     ②2     ③4 C．①2位    ②2   ③4 D．①3位    ②8    ③4 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出行途中看到一本杂志上有一道求的立方根的智力题，华罗庚脱口就说出了正确答案：39，现已知的立方根是一个整数，这个整数是（    ） A．16 B．26 C．36 D．38 3．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）方程是的根是 ． 4．（25-26八年级上·山西长治·阶段练习）观察下表 ．．． 216 216000 ．．． ．．． 60 ．．． 根据你发现的规律解答： (1)表格中___________． (2)已知， ①估算：___________ ②用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是，求这个正方体的棱长． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【例2】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）若与互为相反数，求的值． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，且，则x= ． 4．（24-25七年级下·山东日照·期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【经典例题四 立方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）将27个棱长为的实心小正方体橡皮泥揉捏成一个实心大正方体，求这个实心大正方体的棱长． 1．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的（   ）倍． A．4 B．8 C．16 D．2 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 4．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【经典例题五 与立方根有关的规律探索】 【例1】（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 3．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，且，则 ． 4．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【经典例题六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【例2】（23-24八年级上·甘肃天水·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 4．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【拓展训练一 立方根的概念、性质及应用】 【例1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【例2】（23-24七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 3．（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 5．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 7．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 8．（24-25七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 9．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，，，则 ． 12．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果，那么的立方根是 ． 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）若 a 的立方根是 ，的平方根是 b ，则 ． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小明想将一个体积为的大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长为 ． 15．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 16．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 17．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 18． （25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）求的值：． 19．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）． （2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到） 21．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3） 已知，，则_____，_____． 22． （25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 23．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 24．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $