2025-2026学年人教版七年级数学上册期中复习讲义 01-有理数的综合应用

七年级数学期中复习讲义01 ——有理数综合应用与规律探究 （综合训练答案及其解析） 一、选择题 1.B 解析：由 | a|=-a 知 a≤0；由 | a-1|=4 得 a-1=±4，即 a=5 或 a=-3，结合 a≤0，故 a=-3。 2.A 解析：数轴上两点距离为 |(m+2)-m|=2，直接化简得 2。 3.D 解析：A 选项 | a|=|b | 时 a=±b；B 选项如 a=-3＜b=1，但 | a|＞|b|；C 选项 a 为负数时 - a＞0；D 选项 a+b=0 则 a=-b，故 | a|=|b|，正确。 4.A 解析：|x|=3，|y|=2 且 x＜y＜0，故 x=-3，y=-2，x+y=-5。 5.A 解析：符号 “奇负偶正”，绝对值为 2ⁿ，故第 n 个数为 (-2)ⁿ。 6.A 解析：a+b=0，cd=1，|m|=3 且 m＜0 则 m=-3，代入得 - 3+0-1=-4。 7.A 解析：-3+7-5=-1。 8.B 解析：由非负性得 a=2，b=-1，c=3，(a+b) c=(1)×3=3？修正：(2-1)×3=3？原答案 B 错误，正确应为 3（可能题目排版误差，按计算结果修正）。 9.D 解析：质量最大为 25+0.3=25.3kg，最小为 25-0.3=24.7kg，相差 0.6kg。 10.B 解析：(-3)※2=|-3+2|-|-3-2|=1-5=-4。 二、填空题 11.-2 或 - 8 解析：|x-y|=y-x 知 y≥x，|x|=5 则 x=±5，|y|=3 则 y=±3；符合条件的 x=-5，y=3 或 y=-3，故 x+y=-2 或 - 8。 12.0 或 4 解析：|x-1|=2 得 x=3 或 x=-1；点 P 到 A（-1）的距离：|3-(-1)|=4 或 |-1-(-1)|=0,计算结果应为 0 或 4。 13.n² 解析：从 1 开始的 n 个奇数和为 n²。 14.2 解析：a=-1（最大负整数），b=0（绝对值最小有理数），c=±1（倒数等于本身）；a²⁰²⁴=1，b²⁰²³=0，c²⁰²²=1，总和为 2。 15.-6 或 - 2 解析：|a|=4 则 a=±4，|b|=2 则 b=±2；a＜b 故 a=-4，b=2 或 b=-2，a-b=-6 或 - 2。 16.- 解析：符号 “奇负偶正”，分子为 n，分母为 n+1，第 2024 个数为 - 17.14 解析：20+(3-5)+(2-7)+(4-3)=20-2-5+1=14。 18. 解析：|x+2 | 与 | y-3 | 互为相反数，故 x=-2，y=3； = 三、解答题 19.解：（1）A、B 距离为 8-(-4)=12，速度和为 3+1=4，相遇时间 t=12÷4=3 秒； （2）分两种情况：①相遇前距离 6，12-4t=6→t=1.5；②相遇后距离 6，4t-12=6→t=4.5，故 t=1.5 或 4.5 秒。 20.解：|a+b|=a+b 知 a+b≥0；|a|=5 则 a=±5，|b|=7 则 b=±7；符合条件的 a=5，b=7 或 a=-5，b=7；a-b=5-7=-2 或 - 5-7=-12。 21.解：（1）1+3+5+7+9=5²；（2）1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²；（3）2023=2×1012-1，故和为 1012²=1024144。 22.解：（1）(-4)⊕5=(-4)²-2×(-4)×5+5²=16+40+25=81； （2）(x+1)⊕(2-x)=(x+1-2+x)²=3²=9，(2x)2=9 ,2x ,x 23.解：（1）+10，0，-10，+20，+40，-20，+30； （2）平均日产量 = 300+(10+0-10+20+40-20+30)/7=300+70/7=310 件。 24.解：由 a＜0＜b＜c 且 | a|＞|c|，得 a-b＜0，b-c＜0，c+a<0；原式 =(b-a)+(c-b)+(-c-a)=-2a。 25.解：|x|=3 则 x=±3，|y|=2 则 y=±2；x＞y 故 x=3，y=2 或 y=-2，或 x=-3，y=-2； 代入得：2×9 -3×3×2 +4=18-18+4=4；2×9 -3×3×(-2)+4=18+18+4=40；2×9 -3×(-3)×(-2)+4=18-18+4=4；故值为 4 或 40。 26.解：（1）(-3)*4=(-3)×(-3-4)+1=21+1=22； （2）3*x=3×(3-x)+1=16→9-3x+1=16→x=-2； （3） x*y=x(x-y)+1=x²-xy+1，y*x=y (y-x)+1=y²-xy+1； 当 x≠y 时，x²≠y²，故 xy≠yx. 当 x=y 时，x²=y²，故 x*y与y*x.不一定相等。 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期中复习讲义01 ——有理数综合应用与规律探究 知识梳理 核心概念深化：有理数分类需注意 “0” 的特殊性，有限小数、无限循环小数可化为分数；数轴三要素（原点、正方向、单位长度）是数形结合的基础，数轴上两点距离公式为 **|a - b|**； 关键性质拓展：绝对值非负性可延伸为 “若 | a| + |b| + |c| = 0，则 a = b = c = 0”；相反数的几何意义是 “关于原点对称”，倒数与原数乘积为 1（0 无倒数）； 规律探究要点：有理数排列规律常结合符号（奇负偶正 、奇正偶负）、绝对值（等差、等比或平方关系），需通过前几项归纳通用表达式 典型例题 例 1（数形结合综合题）：已知数轴上有 A、B、C 三点，分别表示数 a、b、c，其中 b 是最小的正整数，且 a、c 满足 | a + 3| + (c - 5)² = 0 （1）求 a、b、c 的值； （2）若点 A 以每秒 2 个单位长度向正方向运动，点 C 以每秒 1 个单位长度向负方向运动，两点同时出发，经过 t 秒后，A、C 两点之间的距离为 2，求 t 的值。 解：（1）由 | a + 3|≥0，(c - 5)²≥0，且和为 0，得 a = -3，c = 5；b 是最小正整数，故 b = 1； （2）t 秒后，A 表示的数为 - 3 + 2t，C 表示的数为 5 - t，距离为 |(-3 + 2t) - (5 - t)| = |3t - 8| = 2； 当 3t - 8 = 2 时，t = ；当 3t - 8 = -2 时，t = 2。综上，t = 2 或. 解析：利用非负性求定值，再结合数轴上距离公式列绝对值方程，体现 “数转形” 的核心思想. 例 2（规律探究题）：观察下面一列有理数： （1）第 10 个数是________，第 2025个数是________； （2）第 n 个数（n 为正整数）的表达式是________； （3）若n=2026,这列数的前 n个数的和是否为为什么？ 当n=2026时，和一定为负数，所以和不可能是 . 解析：规律探究需分 “符号” 和 “绝对值” 两部分，求和时利用分组法简化，注意符号变化对结果的影响。 例 3（生活情景题）：某粮库一周内粮食进出库的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出库 +26 -32 -15 +34 -38 +20 -19 （1）若粮库原有粮食 100 吨，本周日结算时，粮库还有多少吨粮食？ （2）若每吨粮食的运输费为 5 元，本周运输粮食共花费多少元？ 解：（1）100 + (26 - 32 - 15 + 34 - 38 + 20 - 19) = 100 + (-24) = 76（吨）； （2）总运输量为 | 26| + |-32| + |-15| + |34| + |-38| + |20| + |-19| = 26 + 32 + 15 + 34 + 38 + 20 + 19 = 184（吨），花费 184×5 = 920（元）。 解析：生活中 “进出” 对应有理数正负，运输费与绝对值相关，体现有理数在实际场景的应用。 巩固训练 一、选择题 1. 已知 a 是有理数，且 | a| = -a，|a - 1| = 4，则 a 的值为（ ） A 5 或 - 3 B -3 C 5 D 3 或 - 5 2.数轴上表示数 m 和 m + 2 的点之间的距离为（ ） A 2 B -2 C |m + 2 - m| D |m - (m + 2)| 3.下列说法正确的是（ ） A. 若 | a| = |b|，则 a = b B. 若 a < b，则 | a| < |b| C. 若 a 为有理数，则 - a ≤ 0 D. 若 a + b = 0，则 | a| = |b| 4. 已知 | x| = 3，|y| = 2，且 x < y < 0，则 x + y 的值为（ ） A -5 B -1 C 5 D 1 5.观察数：-2，4，-8，16，-32，…，第 n 个数是（ ） 6.若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，|m| = 3，且 m <0，则 m + (a + b) - cd 的值为（ ） A -4 B -2 C 2 D 4 7.点 A 在数轴上表示 - 3，将点 A 先向右移动 7 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示的数是（ ） A -1 B -2 C 1 D 2 8.已知 | a - 2| + |b + 1| + |c - 3| = 0，则 (a + b) c 的值为（ ） A 3 B -3 C 6 D -6 9.某商店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为 (25±01) kg、(25±02) kg、(25±03) kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ） A 0.3kg B 04kg C 0.5kg D 0.6kg 10.定义新运算：a※b = |a + b| - |a - b|，则 (-3)※2 的值为（ ） A -2 B -4 C 2 D 4 二、填空题（规律与综合） 11.已知 | x| = 5，|y| = 3，且 | x - y| = y - x，则 x + y = ________。 12.数轴上点 A 表示 - 1，点 B 表示 3，点 P 表示的数为 x，若 | x - 1| = 2，则点 P 到点 A 的距离为________。 13.观察：1 = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3²，1 + 3 + 5 + 7 = 4²，…，则 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = ________。 14.已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的数，则 a²⁰²⁴ + b²⁰²³ + c²⁰²² = ________。 15.若 | a| = 4，|b| = 2，且 a < b，则 a - b = ________。 16.一组数：，…，第 2024 个数是________。 17.某公交车上原有乘客 20 人，经过 3 个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：(+3, -5)、(+2, -7)、(+4, -3)，则此时车上还有________人。 18.已知 | x + 2 | 与 | y - 3 | 互为相反数，则 = ________。 三、解答题（综合与应用） 19.已知数轴上 A、B 两点对应的数分别为 - 4 和 8，动点 P 从 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度向 B 运动，动点 Q 从 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 A 运动，两点同时出发。 （1）经过多少秒，P、Q 两点相遇？ （2）经过多少秒，P、Q 两点之间的距离为 6 个单位长度？ 20.已知 | a| = 5，|b| = 7，且 | a + b| = a + b，求 a - b 的值。 21.观察下面的图形和等式： ① 1 + 3 = 2²；② 1 + 3 + 5 = 3²；③ 1 + 3 + 5 + 7 = 4²；… （1）写出第④个等式：________________； （2）第 n 个等式（n 为正整数）：________________； （3）利用上述规律，求 1 + 3 + 5 + … + 2023 的值。 22.定义新运算：a⊕b = a² - 2ab + b²，例如：3⊕2 = 3² - 2×3×2 + 2² = 1。 （1）计算：(-4)⊕5； （2）若 (x + 1)⊕(2x +1) = 9，求 x 的值。 23.某工厂一周内每天的产量如下（单位：件）：310，300，290，320，340，280，330。 （1）以 300 件为标准，超过的记为正，不足的记为负，记录每天的产量； （2）求这一周的平均日产量。 24.已知 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a - b| + |b - c| + |c +a|. 25.已知 | x| = 3，|y| = 2，且 x > y，求代数式 2x² - 3xy + y² 的值。 26.阅读材料：对于任意有理数 a，b，定义一种运算：a*b = a (a - b) + 1，例如：2*5 = 2×(2 - 5) + 1 = -5。 （1）求 (-3)*4 的值； （2）若 3*x 的值为 16，求 x 的值； （3）试说明：对于任意有理数 x，y，x*y 与 y*x 的值不一定相等。 学科网（北京）股份有限公司 $