第1章有理数 期中复习讲义（知识点清单+5常考题清单+4易错题型清单）2025-2026学年人教版七年级数学上学期

期中复习清单--第1章有理数 第1部分 知识点清单 1.1正数与负数 1.大于0的数叫做____，小于0的数叫做____；____既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点。 2.在同一个问题中，用正数和负数表示具有____的量，如零上5℃记作+5℃，则零下3℃记作____。 1.2有理数及其分类 1.定义：可以写成分数形式____（其中p、q为整数且q≠0）的数统称为有理数，____和____统称有理数。 2.分类： 按定义分：有理数 按性质分：有理数 3. 特殊说明：____不是有理数；零和正数统称为____，零和负数统称为____。 1.3数轴 1.定义：规定了____、____、____的直线叫做数轴，这三者称为数轴的三要素。 2.性质：数轴上的点与有理数的对应关系为____；数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数____。 1.4相反数 1.定义：只有____的两个数互为相反数；____的相反数仍是它本身。 2.性质：若a、b互为相反数，则a+b=____；相反数的绝对值____。 3.符号化简：数字前面“-”号的个数为偶数时，化简结果为____；个数为奇数时，化简结果为____，如-(+3)=____，-(-5)=____。 1.5绝对值 1.几何意义：数轴上表示数a的点与____的距离叫做数a的绝对值，记作____。 2.代数意义：正数的绝对值是____；负数的绝对值是____；0的绝对值是____，用式子表示为： 重要性质：是____，即____0；若，则a=____，b=____。 1.6有理数的大小比较 1.法则比较：正数____0，负数____0，正数____一切负数；两个负数比较大小，____大的反而小。 2.数轴比较：在数轴上，____的点所表示的数总比____的点所表示的数大。 第2部分 常考题型清单 【题型1】正负数表示相反意义的量 高频考点： 1.用正负数表示实际问题中的相反意义（如收入/支出、上升/下降、盈利/亏损）。 2.结合“±”符号表示范围（如质量标识、误差范围）。 【例题1】．（2024-2025•河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　） A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个 【变式题1-1】．（2024-2025•鲤城区校级月考）正负数可以用来表示具有相反意义的量．若向东运动100米记作+100米，则向西运动100米可记作（　　） A．100米 B．﹣100米 C．200米 D．﹣200米 【变式题1-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）如果电梯上升10米，记作+10米，那么下降7米可记作　 　 米． 【变式题1-3】．（2024-2025•渝中区校级月考）一架飞机在高于海平面800米的空中飞行，记作+800米，那么一艘潜水艇在海平面以下60米处航行，应记作　 　 米． 【题型2】有理数的分类及概念辨析 高频考点： 1.有理数的定义（整数和分数统称有理数）。 2.按符号分类（正有理数、、负有理数）与按定义分类（整数、分数）。 3.有限小数和无限循环小数属于有理数，无限不循环小数（如）不属于有理数。 【例题2】．（2024-2025•绿园区校级月考）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题2-1】．（2024-2025•思明区校级月考）在﹣2，+3.5，0，，﹣0.7中，负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-2】．（2024-2025•新城区校级月考）把下列各数填入相应的大括号里： ﹣2，，5.2，0，，，，2022，﹣0.3． 整数集合：{ 　 　 …}； 正数集合：{ 　 　 …}； 负分数集合：{ 　 　 …}． 【变式题2-3】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）请从下列各数中选出合适的数，填入其所属集合圈内的恰当位置． ﹣1，，8.9，，﹣3.9，+1008，0.03，0，﹣9． 【题型3】数轴的应用与有理数表示 高频考点： 1.数轴三要素（原点、正方向、单位长度）及画法。 2.数轴上点的位置与数的对应关系（如相反数、绝对值的几何意义）。 3.数轴上两点间距离公式：。 【例题3】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）如图，数轴上三点分别表示数a，b，a﹣b，那么下列运算结果一定为正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．ab2 【变式题3-1】．（2024-2025•洪雅县期末）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-2】．画数轴，并在数轴上表示下列各数： 2.5，0，﹣2，，． 【变式题3-3】．（2024-2025•秦都区校级月考）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2025秒时所对应的数是（　　） A．﹣405 B．﹣406 C．2024 D．2025 【题型4】相反数与绝对值的计算 高频考点： 相反数的定义（ 的相反数为，的相反数为）。 2.绝对值的代数意义（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数）。 3.多重符号化简（奇负偶正）。 【例题4】．（2024-2025•德阳期末）下列说法：①若|x|+x＝0，则x为负数；②若﹣a不是负数，则a为非正数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题4-1】．（2024-2025•雁塔区校级月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．|+2|与|﹣2| B．﹣|+2|与+|﹣2| C．﹣（+2）与+（﹣2） D．﹣（﹣2）与+（+2） 【变式题4-2】．（2024-2025•西峰区校级月考）已知|2a﹣3|与|b+3|互为相反数，求a+b的相反数． 【变式题4-3】．（2024-2025•南关区校级月考）对于有理数a，小风学习了绝对值符号|a|之后，自己创造了一个新符号【a】．新符号【a】的含义为：若a≥0，则【a】＝a﹣1；若a＜0，则【a】＝a+1． 例如：因为2＞0，所以【a】＝2﹣1＝1；因为﹣3＜0，所以【﹣3】＝﹣3+1＝﹣2． （1）【1】＝　 　 ；【0】＝　 　 ；【】＝　 　 ． （2）解方程：【2x】+3＝4． （3）如果一个有理数m与【m】互为相反数，直接写出m的值． 【题型5】有理数的大小比较 高频考点： 1.数轴比较法（右边的数大于左边的数）。 2.法则比较法（正数＞＞负数，两负数比较绝对值大的反而小）。 3.作差法、作商法等辅助方法。 【例题5】．（2024-2025•平舆县期末）数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【变式题5-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）下列有理数的大小关系正确的是（　　） A．|﹣3|＜0 B．|﹣4|＜|+4| C．﹣（﹣4）＜|﹣3| D． 【变式题5-2】．（2024-2025•浦东新区校级月考）有5个数：，，，，，其中最大的数是　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•碑林区校级月考）把下列各数表示在数轴上，并用“＜”把它们连接起来． 5，，﹣3.5，0，． 第3部分 题错题型清单 【题型6】有理数分类中遗漏“”或概念混淆 易错点预警： 忽略 的特殊性质（既不是正数也不是负数，但属于整数和有理数）。 混淆“非负数”（正数+ ）与“正数”，“非负整数”（自然数）与“正整数”。 典型错误案例： 错误分类：将归入“正数集合”或“负数集合”。 正确分类：属于“整数集合”“非负数集合”“非正整数集合” 【例题6】．（2024-2025•南岗区校级月考）在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负整数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式题6-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）以下哪个选项的说法不准确（　　） A．﹣3.14属于负数、分数，同时也是有理数 B．0并非正数，也非负数，但属于整数 C．﹣2000是负数和整数，然而并非有理数 D．0为正数与负数的界限 【变式题6-2】．（2024-2025•徐汇区期末）在﹣2，0.31，17，0，，1中，非负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题6-3】．（2024-2025•无为市期末）在﹣3.5，，，0中，有理数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型7】绝对值化简中的符号错误与漏解 易错点预警： 未考虑绝对值内字母的正负性（如化简时默认为正数）。 绝对值方程漏解（如，只写，忽略)。 典型错误案例： 错误化简：(未讨论的情况)。 正确化简：。 。 【例题7】．（2024-2025•昆山市月考）已知|a|＝4，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．以上都不对 【变式题7-1】．（2024-2025•怀宁县期末）下列各式中正确的是（　　） A．|﹣5|＝﹣|5| B．|﹣5|＝﹣5 C．|﹣5|＝|5| D．﹣|﹣5|＝5 【变式题7-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）已知|a|＝|﹣5|，则a＝　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•万州区校级月考）若|a﹣2|＝7，|b|＝3． （1）若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值； （2）求ab的最小值． 【题型8】数轴相关的多解问题考虑不全 易错点预警： 数轴上点的移动方向不确定(如向左或向右移动 个单位)。 绝对值距离问题漏解(如，只写，忽略)。 典型错误案例： 错误解答：数轴上点表示，向右移动个单位后得到点，则表示。 正确解答：移动方向未明确，可能表示(向右)或(向左)。 【例题8】．（2024-2025•孝南区期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【变式题8-1】．（2024-2025•大石桥市校级期中）数轴上到﹣2的距离等于3的数是　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•鲤城区校级月考）在数轴上，点A，B所表示的数分别是a，b，回答下列问题： （1）若a＝﹣2，b＝1，则A，B两点间的距离是　 　 ； （2）试用含a，b的式子表示A，B两点间的距离为　 　 ，并用文字说明|a+3|在数轴上表示的几何意义：　 　 ； （3）若x可以取任意有理数，则代数式|x+1|+|x﹣3|有最　 　 值（填：“大”或“小”），该值等于　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•凤凰县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　 　 ； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 【题型9】非负数概念辨析错误 易错点预警： 误认为非负数仅指正有理数，忽略 。 非负数的应用(如时，且)。 典型错误案例： 错误判断：“非负有理数”包括正整数和正分数。 正确判断：“非负有理数”包括正有理数和。 【例题9】．（2024-2025•宁阳县校级月考）绝对值不小于2且不大于5的非负整数有　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•延津县月考）有理数0，﹣1，﹣2.1，1中，最小的非负整数是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2.1 D．1 【变式题9-2】．（2024-2025•朝阳区校级月考）把下列各数填在相应的集合内，﹣5，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72． 负有理数集合：{　 　 }； 非负整数集合：{　 　 }． 【变式题9-3】．（2024-2025•开福区校级月考）把下列各数的序号分别填入下列对应的集合里（多填或少填均不得分）： ①﹣5，②0.212212221，③﹣10.9，④，⑤0，⑥﹣（﹣2），⑦﹣|﹣1.5|． 整数：{ 　 　 }； 非负有理数：{ 　 　 }； 负数：{ 　 　 }． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数全章复习 第1部分 知识点清单 1.1正数与负数 1.大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点。 2.在同一个问题中，用正数和负数表示具有相反意义的量，如零上5℃记作+5℃，则零下3℃记作-3℃。 1.2有理数及其分类 定义：可以写成分数形式(其中p、q为整数且q≠0)的数统称为有理数，整数和分数统称有理数。 2.分类： 按定义分：有理数 按性质分：有理数 3.特殊说明：π不是有理数；零和正数统称为非负数，零和负数统称为非正数。 1.3数轴 1.定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这三者称为数轴的三要素。 2.性质：数轴上的点与有理数的对应关系为一一对应；数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。 1.4相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数仍是它本身。 2.性质：若a、b互为相反数，则a+b=0；相反数的绝对值相等。 3.符号化简：数字前面“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；个数为奇数时，化简结果为负，如-(+3)=-3，-(-5)=5。 1.5绝对值 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。 2.代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，用式子表示为： 重要性质：是非负数，即≥0；若，则a=0，b=0。 1.6有理数的大小比较 1.法则比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 2.数轴比较：在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。 【题型1】正负数表示相反意义的量 高频考点： 1.用正负数表示实际问题中的相反意义（如收入/支出、上升/下降、盈利/亏损）。 2.结合“±”符号表示范围（如质量标识、误差范围）。 【例题1】．（2024-2025•河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　） A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个 【答案】B 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：如果某班足球队进4个球记作+4个， 那么该队失3个球记作﹣3个， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•鲤城区校级月考）正负数可以用来表示具有相反意义的量．若向东运动100米记作+100米，则向西运动100米可记作（　　） A．100米 B．﹣100米 C．200米 D．﹣200米 【答案】B． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若向东运动100米记作+100米，则向西运动100米可记作﹣100米． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式题1-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）如果电梯上升10米，记作+10米，那么下降7米可记作　﹣7　 米． 【答案】﹣7． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果电梯上升10米，记作+10米，那么下降7米可记作﹣7米． 故答案为：﹣7． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式题1-3】．（2024-2025•渝中区校级月考）一架飞机在高于海平面800米的空中飞行，记作+800米，那么一艘潜水艇在海平面以下60米处航行，应记作　﹣60　 米． 【答案】见试题解答内容 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：一架飞机在高于海平面800米的空中飞行，记作+800米， 则在海平面以下用负数表示， 那么一艘潜水艇在海平面以下60米处航行，应记作﹣60米， 故答案为：﹣60． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【题型2】有理数的分类及概念辨析 高频考点： 1.有理数的定义（整数和分数统称有理数）。 2.按符号分类（正有理数、、负有理数）与按定义分类（整数、分数）。 3.有限小数和无限循环小数属于有理数，无限不循环小数（如）不属于有理数。 【例题2】．（2024-2025•绿园区校级月考）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数，据此判断即可． 【解答】解：由题意可知： ﹣3，，0，18%，3.1415926，1.是有理数，有6个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•思明区校级月考）在﹣2，+3.5，0，，﹣0.7中，负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负有理数的定义，需满足两个条件：负数且为有理数，逐一判断各数即可． 【解答】解：﹣2是负有理数，+3.5是正有理数，0既不是正数，也不是负数，是负有理数，﹣0.7是负有理数， 综上可知，符合条件的数有﹣2，，﹣0.7，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，掌握负有理数的概念是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•新城区校级月考）把下列各数填入相应的大括号里： ﹣2，，5.2，0，，，，2022，﹣0.3． 整数集合：{ 　﹣2，0，2022　 …}； 正数集合：{ 　5.2，，，2022　 …}； 负分数集合：{ 　，，﹣3　 …}． 【答案】﹣2，0，2022；5.2，，，2022；，，﹣0.3． 【分析】根据有理数的定义及分类即可求得答案． 【解答】解：整数集合：{﹣2，0，2022，…}； 正数集合：{5.2，，，2022，…}； 负分数集合：{ ，，﹣0.3…}． 故答案为：﹣2，0，2022；5.2，，，2022；，，﹣0.3． 【点评】本题考查有理数，熟练掌握其定义及分类是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）请从下列各数中选出合适的数，填入其所属集合圈内的恰当位置． ﹣1，，8.9，，﹣3.9，+1008，0.03，0，﹣9． 【答案】 【分析】根据有理数的分类即可得到结论． 【解答】解： 【点评】此题考查了有理数、认真掌握负数、分数、负分数的定义与特点是解题的关键． 【题型3】数轴的应用与有理数表示 高频考点： 1.数轴三要素（原点、正方向、单位长度）及画法。 2.数轴上点的位置与数的对应关系（如相反数、绝对值的几何意义）。 3.数轴上两点间距离公式：。 【例题3】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）如图，数轴上三点分别表示数a，b，a﹣b，那么下列运算结果一定为正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．ab2 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置，推断出b＜0，则将条件依次代入选项解答． 【解答】解：根据数轴上点的位置可知：a＜a﹣b＜b， 由a＜a﹣b，可得b＜0， 则A、a+b＜a＜0，故A不符合题意； B、a﹣b＜b＜0，故B不符合题意； C、ab＞0（负负为正），故C符合题意； D、ab2＜0，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查数轴和正负数，属于基础题． 【变式题3-1】．（2024-2025•洪雅县期末）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【解答】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；（4）符合数轴的特点，正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴的三要素和画法，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答本题的关键． 【变式题3-2】．画数轴，并在数轴上表示下列各数： 2.5，0，﹣2，，． 【答案】数轴如下： 【分析】根据利用数轴上的点表示有理数的方法即可得． 【解答】解：画数轴，并在数轴上表示下列各数如下： 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的画法和性质是解题关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•秦都区校级月考）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2025秒时所对应的数是（　　） A．﹣405 B．﹣406 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】根据点运动的规律可知每运动5秒，点就向左移动1个单位长度，2025秒中共有405个5秒，所以第2025秒时点对应的数是405×（﹣1）． 【解答】解：一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒． 当动点从原点出发向左运动3秒，到达的点表示的数为﹣3， 再向右运动2秒到达的点表示的数为﹣3+2＝﹣1， ∴动点运动5秒向左移动1个单位长度， ∵2025÷5＝405， ∴动点向左运动了405个5秒， ∴动点运动到第2025秒时所对应的数是405×（﹣1）＝﹣405． 故选：A． 【点评】本题考查了数轴上的动点问题，根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解． 【题型4】相反数与绝对值的计算 高频考点： 相反数的定义（ 的相反数为，的相反数为）。 2.绝对值的代数意义（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数）。 3.多重符号化简（奇负偶正）。 【例题4】．（2024-2025•德阳期末）下列说法：①若|x|+x＝0，则x为负数；②若﹣a不是负数，则a为非正数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质逐个分析判断即可得解． 【解答】解：若|x|+x＝0， ∴|x|＝﹣x， ∴x≤0． ∴①的说法错误，不符合题意； 若﹣a不是负数， ∴﹣a≥0， ∴a≤0，即a为非正数． ∴②的说法正确，符合题意； ∵|﹣a2|＝a2，（﹣a）2＝a2， ∴|﹣a2|＝（﹣a）2． ∴③的说法正确，符合题意； 若|a|＝﹣b，|b|＝b， ∴|a|+|b|＝0， ∴a＝b＝0． ④的说法正确，符合题意． 综上所述，共3个正确结论． 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•雁塔区校级月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．|+2|与|﹣2| B．﹣|+2|与+|﹣2| C．﹣（+2）与+（﹣2） D．﹣（﹣2）与+（+2） 【答案】B 【分析】先利用绝对值的意义去括号法则化简各数，再根据相反数的定义做出判断得结论． 【解答】解：∵|+2|＝2＝|﹣2|，故选项A中两数不互为相反数； ﹣|+2|＝﹣2，|﹣2|＝2，故选项B中两数互为相反数； ﹣（+2）＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，故选项C中两数不互为相反数； ﹣（﹣2）＝2，+（+2）＝2，故选项D中两数不互为相反数． 故选：B． 【点评】本题主要考查了相反数，掌握绝对值的意义和相反数的定义是解决本题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•西峰区校级月考）已知|2a﹣3|与|b+3|互为相反数，求a+b的相反数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|2a﹣3|和|b+3|互为相反数， ∴|2a﹣3|+|b+3|＝0， ∴2a﹣3＝0，b+3＝0， ∴a，b＝﹣3， ∴a+b， ∴的相反数是﹣（）， ∴a+b相反数为． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•南关区校级月考）对于有理数a，小风学习了绝对值符号|a|之后，自己创造了一个新符号【a】．新符号【a】的含义为：若a≥0，则【a】＝a﹣1；若a＜0，则【a】＝a+1． 例如：因为2＞0，所以【a】＝2﹣1＝1；因为﹣3＜0，所以【﹣3】＝﹣3+1＝﹣2． （1）【1】＝　0　 ；【0】＝　﹣1　 ；【】＝　　 ． （2）解方程：【2x】+3＝4． （3）如果一个有理数m与【m】互为相反数，直接写出m的值． 【答案】（1）0，﹣1，； （2）x＝1； （3）或． 【分析】（1）根据新符号【a】的定义求解； （2）分2x≥0和2x＜0两种情况，分别解一元一次方程即可； （3）分m≥0和m＜0两种情况，结合相反数的定义求解． 【解答】解：（1）由新符号【a】的定义可知，【1】＝1﹣1＝0， 【0】＝0﹣1＝﹣1， ， 故答案为：0，﹣1，； （2）【2x】+3＝4， 当2x≥0，即x≥0时，【2x】＝2x﹣1， 原方程变形为2x﹣1+3＝4， 解得x＝1，满足x≥0，符合题意； 当2x＜0时，即x＜0时，【2x】＝2x+1， 原方程变形为2x+1+3＝4， 解得x＝0，不满足x＜0，不合题意； 因此原方程的解为x＝1； （3）∵有理数m与【m】互为相反数， ∴【m】+m＝0， 当m≥0时，m﹣1+m＝0， 解得， 当m＜0时，m+1+m＝0， 解得， 综上可知，m的值为或． 【点评】本题考查新定义运算，解一元一次方程，相反数的定义等，理解新符号【a】的含义是解题的关键． 【题型5】有理数的大小比较 高频考点： 1.数轴比较法（右边的数大于左边的数）。 2.法则比较法（正数＞＞负数，两负数比较绝对值大的反而小）。 3.作差法、作商法等辅助方法。 【例题5】．（2024-2025•平舆县期末）数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【答案】C 【分析】根据相反数的意义，可得﹣a，﹣b，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【解答】解：在数轴上表示a，﹣a，b，﹣b，如图： ， 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣b＜a＜﹣a＜b， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大． 【变式题5-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）下列有理数的大小关系正确的是（　　） A．|﹣3|＜0 B．|﹣4|＜|+4| C．﹣（﹣4）＜|﹣3| D． 【答案】D 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A、∵|﹣3|＝3，3＞0，∴|﹣3|＞0，则该选项错误，不符合题意； B、|﹣4|＝|+4|，则该选项错误，不符合题意； C、∵﹣（﹣4）＝4，|﹣3|＝3，4＞3，∴﹣（﹣4）＞|﹣3|，则该选项错误，不符合题意； D、∵||，|﹣1.25|＝1.25，1.25，∴1.25，则该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•浦东新区校级月考）有5个数：，，，，，其中最大的数是　　 ． 【答案】． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵， ∴最大的数是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•碑林区校级月考）把下列各数表示在数轴上，并用“＜”把它们连接起来． 5，，﹣3.5，0，． 【答案】数轴表示见解析，． 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点用“＜”连接起来即可． 【解答】解：如图所示： 用“＜”把它们连接起来为：． 【点评】此题考查有理数的大小比较和数轴，熟知数轴上右边的总比左边的大是解题关键． 易错题型清单（4个题型） 【题型6】有理数分类中遗漏“”或概念混淆 易错点预警： 忽略 的特殊性质（既不是正数也不是负数，但属于整数和有理数）。 混淆“非负数”（正数+ ）与“正数”，“非负整数”（自然数）与“正整数”。 典型错误案例： 错误分类：将归入“正数集合”或“负数集合”。 正确分类：属于“整数集合”“非负数集合”“非正整数集合” 【例题6】．（2024-2025•南岗区校级月考）在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负整数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据非负整数的定义逐一判断即可． 【解答】解：根据非负整数的定义可知： 非负整数有0，7，共两个， 故选：C． 【点评】本题考查了非负整数的概念，准确理解非负整数的定义是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•朝阳区校级月考）以下哪个选项的说法不准确（　　） A．﹣3.14属于负数、分数，同时也是有理数 B．0并非正数，也非负数，但属于整数 C．﹣2000是负数和整数，然而并非有理数 D．0为正数与负数的界限 【答案】C 【分析】先明确核心定义：有理数包含整数和分数，0是整数且为正负数的界限，负整数属于有理数；再分别分析各选项：判断A中﹣3.14是否符合负数、分数、有理数的分类；B中0的属性是否正确；C中﹣2000是否为有理数；D中0作为正负数界限的表述是否准确，进而找出说法不准确的选项． 【解答】解：A．﹣3.14＜0，属于负数；，属于分数；分数是有理数的一部分，原说法正确，故本选项不符合题意； B．0既不大于0也不小于0，故非正数也非负数；0属于整数范围，原说法正确，故本选项不符合题意； C．﹣2000＜0，属于负数且是负整数；而整数是有理数的子集，故﹣2000是有理数，该选项“并非有理数”的表述不准确，故本选项符合题意； D．正数大于0，负数小于0，故0是正数与负数的界限，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数、正数、负数及整数的定义与分类；解题的关键是依据“有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，负数小于0，正数大于0，0既不是正数也不是负数”的定义，逐一判断各选项表述的准确性． 【变式题6-2】．（2024-2025•徐汇区期末）在﹣2，0.31，17，0，，1中，非负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【解答】解：0.31、17、0、1是非负数，共有4个， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是正确理解有理数的分类，本题属于基础题型． 【变式题6-3】．（2024-2025•无为市期末）在﹣3.5，，，0中，有理数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据有理数的定义解答即可． 【解答】解：在数据﹣3.5，，，0中， ﹣3.5，，0是有理数，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键． 【题型7】绝对值化简中的符号错误与漏解 易错点预警： 未考虑绝对值内字母的正负性（如化简时默认为正数）。 绝对值方程漏解（如，只写，忽略)。 典型错误案例： 错误化简：(未讨论的情况)。 正确化简：。 【例题7】．（2024-2025•昆山市月考）已知|a|＝4，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．以上都不对 【答案】C 【分析】直接根据绝对值的意义求解． 【解答】解：∵|a|＝4， ∴a＝4或a＝﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值：如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；当a是零时，a的绝对值是零． 【变式题7-1】．（2024-2025•怀宁县期末）下列各式中正确的是（　　） A．|﹣5|＝﹣|5| B．|﹣5|＝﹣5 C．|﹣5|＝|5| D．﹣|﹣5|＝5 【答案】C 【分析】正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解判断即可． 【解答】解：A、|﹣5|＝5，﹣|5|＝﹣5，|﹣5|≠﹣|5|，选项错误，不符合题意； B、|﹣5|＝5，5≠﹣5，选项错误，不符合题意； C、|﹣5|＝5，|5|＝5，5＝5，选项正确，符合题意； D、﹣|﹣5|＝﹣5，5≠﹣5，选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值，相反数，掌握绝对值和相反数的定义是关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）已知|a|＝|﹣5|，则a＝　±5　 ． 【答案】±5． 【分析】先化简|﹣5|，再根据绝对值定义求解即可． 【解答】解：∵|a|＝|﹣5|＝5， ∴a＝±5． 故答案为：±5． 【点评】本题考查了绝对值的定义和化简，掌握绝对值的定义是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•万州区校级月考）若|a﹣2|＝7，|b|＝3． （1）若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值； （2）求ab的最小值． 【答案】（1）﹣8或﹣2； （2）﹣27． 【分析】（1）先根据绝对值的性质求出a，b的可能值，再结合|a﹣b|＝b﹣a确定a，b的具体取值，进而求出a+b的值； （2）分别分析a，b取不同值时ab的值，从而得到ab的最小值． 【解答】解：（1）由条件可得： a﹣2＝7或a﹣2＝﹣7， 解得a＝9或a＝﹣5， 由条件可知b＝3或b＝﹣3，b≥a， ∴b＝﹣3，a＝﹣5或b＝3，a＝﹣5， ∴a+b＝﹣8或a+b＝﹣2； （2）由（1）知，a，b的解为： 或或或， 则ab＝15或ab＝﹣15或ab＝﹣27或ab＝27， ∴ab的最小值为﹣27． 【点评】本题考查绝对值的性质以及有理数的运算．熟练掌握以上知识点是关键． 【题型8】数轴相关的多解问题考虑不全 易错点预警： 数轴上点的移动方向不确定(如向左或向右移动 个单位)。 绝对值距离问题漏解(如，只写，忽略)。 典型错误案例： 错误解答：数轴上点表示，向右移动个单位后得到点，则表示。 正确解答：移动方向未明确，可能表示(向右)或(向左)。 【例题8】．（2024-2025•孝南区期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【答案】C 【分析】数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5． 【解答】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5，则M表示5或﹣5． 故选：C． 【点评】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式题8-1】．（2024-2025•大石桥市校级期中）数轴上到﹣2的距离等于3的数是　﹣5或1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为数轴上到一个点的距离相等的点有两个，所以应分两种情况解答，在原点的左侧和右侧． 【解答】解：当此点在﹣2的左边时，此点表示的数为﹣2﹣3＝﹣5； 当此点在﹣2的右边时，此点表示的数为﹣2+3＝1， 故答案为﹣5或1． 【点评】本题比较简单，考查的是数轴及距离的定义，解答此题的关键是要熟知在数轴上到一个点的距离相等的点有两个，不要漏解． 【变式题8-2】．（2024-2025•鲤城区校级月考）在数轴上，点A，B所表示的数分别是a，b，回答下列问题： （1）若a＝﹣2，b＝1，则A，B两点间的距离是　3　 ； （2）试用含a，b的式子表示A，B两点间的距离为　|a﹣b|　 ，并用文字说明|a+3|在数轴上表示的几何意义：　表示数轴上表示a的点到表示﹣3的点的距离　 ； （3）若x可以取任意有理数，则代数式|x+1|+|x﹣3|有最　小　 值（填：“大”或“小”），该值等于　4　 ． 【答案】（1）3；（2）|a﹣b|，表示数轴上表示a的点到表示﹣3的点的距离；（3）小，4． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义AB＝1﹣（﹣2）＝3； （2）根据绝对值的几何意义AB＝|a﹣b|，|a+3|＝|a﹣（﹣3）|表示数轴上a到﹣3的距离； （3）根据绝对值的几何意义表示出|x+1|+|x﹣3|＝|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|的几何意义，求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝1， ∴AB＝1﹣（﹣2）＝3． 故答案为：3； （2）AB＝|a﹣b|， |a+3|＝|a﹣（﹣3）|，表示数轴上表示a的点到表示﹣3的点的距离． 故答案为：|a﹣b|；表示数轴上表示a的点到表示﹣3的点的距离； （3）|x+1|+|x﹣3|＝|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|表示数轴上x到﹣1与x到3的距离之和， 所以有最小值，当﹣1≤x≤3时，这个值为定值即3﹣（﹣1）＝4， 所以最小值为4． 故答案为：小；4． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，掌握绝对值的几何意义是关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•凤凰县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　6　 ； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意给出的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝6； （2）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝±5， ∴x＝7或﹣3； （3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和， ∴﹣2≤x≤1， ∴x＝﹣2或﹣1或0或1． 故答案为（1）6；（2）7或﹣3； 【点评】本题考查绝对值的定义，涉及绝对值的几何意义． 【题型9】非负数概念辨析错误 易错点预警： 误认为非负数仅指正有理数，忽略 。 非负数的应用(如时，且)。 典型错误案例： 错误判断：“非负有理数”包括正整数和正分数。 正确判断：“非负有理数”包括正有理数和。 【例题9】．（2024-2025•宁阳县校级月考）绝对值不小于2且不大于5的非负整数有　2，3，4，5　 ． 【答案】2，3，4，5． 【分析】根据题意即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知非负整数有2，3，4，5， 故答案为：2，3，4，5． 【点评】本题考查绝对值定义、非负整数定义等知识，熟记绝对值定义、非负整数定义是解决问题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•延津县月考）有理数0，﹣1，﹣2.1，1中，最小的非负整数是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2.1 D．1 【答案】A 【分析】根据有理数大小的比较方法及非负整数概念比较即可． 【解答】解：∵﹣2.1＜﹣1＜0＜1， ∴四个有理数中，最小的非负整数是0． 故选：A． 【点评】本题考查了比较有理数的大小及非负整数概念，掌握有理数的大小及非负整数概念是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•朝阳区校级月考）把下列各数填在相应的集合内，﹣5，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72． 负有理数集合：{　﹣5，﹣0.2，，﹣11　 }； 非负整数集合：{　+3，0，72　 }． 【答案】﹣5，﹣0.2，，﹣11； +3，0，72． 【分析】根据有理数的分类方法进行解答即可． 【解答】解：﹣5，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72． 负有理数集合：{﹣5，﹣0.2，，﹣11…}， 非负整数集合：{+3，0，72…}， 故答案为：﹣5，﹣0.2，，﹣11； +3，0，72． 【点评】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•开福区校级月考）把下列各数的序号分别填入下列对应的集合里（多填或少填均不得分）： ①﹣5，②0.212212221，③﹣10.9，④，⑤0，⑥﹣（﹣2），⑦﹣|﹣1.5|． 整数：{ 　①⑤⑥　 }； 非负有理数：{ 　②⑤⑥　 }； 负数：{ 　①③⑦　 }． 【答案】①⑤⑥； ②⑤⑥； ①③⑦． 【分析】有理数包括整数分数；非负有理数包括0，正有理数；负数就是小于0的数． 【解答】解：先化简带有绝对符号，和两个负号的数字， ∵﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣1.5|＝﹣1.5， ∴整数：{①⑤⑥}； 非负有理数：{②⑤⑥}； 负数：{①③⑦}． 故答案为：①⑤⑥； ②⑤⑥； ①③⑦． 【点评】本题考查有理数的分类、绝对值的化简，多重负号的化简． 学科网（北京）股份有限公司 $