精品解析：山东省临沂市平邑县赛博中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学第一次学科素养展示 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0的一个解是0，则m的值为（　　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. -1 4. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2022 C. 2021 D. 2020 5. 将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　） A. (0，﹣1) B. (1，1) C. (﹣1，﹣3) D. (﹣1，1) 6. 二次函数与的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 关于x的一元二次方程的两根分别是和 D. 若点在抛物线上，则 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（-2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是__． 12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 13. 将二次函数化为的形式，则___________． 14. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是________． 15. 抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=___． 16. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 三、解答下列各题（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的根为整数，求整数的值． 19. 目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 20. 已知函数． （1）画出函数图象； 列表： … … … … 描点，连线得到函数图象： （2）利用图象回答： ①方程的解是什么； ②取什么值时，函数值大于； ③取什么值时，函数值小于． 21. 如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y． （1）若所用铁栅栏的长为40米，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围： （2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？ （3）在（2）的条件下，请直接写出当矩形场地的面积大于192平方米时x的取值范围． 22. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系： (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次学科素养展示 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且是整式方程，即可判断． 【详解】解：A．不是整式方程，一元二次方程，故本选项不合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D．化简为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0的一个解是0，则m的值为（　　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】把x=0代入（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0即可求出m的值． 【详解】解：把x=0代入（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0得， m2﹣1=0， ∴m=±1． ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．本题的易错点是有些同学容易忽视二次项的系数不为零这一隐含条件． 4. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2022 C. 2021 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再整体代入即可求出结论． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故选：C． 5. 将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　） A. (0，﹣1) B. (1，1) C. (﹣1，﹣3) D. (﹣1，1) 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】抛物线y=2x2-1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得：y=2(x+1)2-1+2； 即y=2(x+1)2+1． 此时抛物线顶点坐标是（-1，1）． 故选：D． 【点睛】主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 6. 二次函数与的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的定义和判别式的意义得到m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0， 解得m≤3且m≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 7. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出时，的值，再求出时，的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：对于抛物线， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 解得，即与轴的交点为，有1个， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 8. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程．可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故选：B． 9. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 关于x的一元二次方程的两根分别是和 D. 若点在抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与轴有两个交点判断出A选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出B选项结论正确;根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出C选项结论正确;根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出D选项结论错误； 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的各种性质是解题的关键． 【详解】解：A、抛物线与轴有两个交点， , ，结论正确，故本选项错误； B、∵抛物线顶点坐标为，开口向上， ，结论正确，故本选项错误; C、抛物线经过点， 关于的一元二次方程的一个根为， 抛物线对称轴为直线， 另一个根为,结论正确，故本选项错误; D、， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离大， ，本选项结论错误，故本选项正确 故选：D． 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（-2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2， ∴b=-4a，∴4a+b=0，故（1）正确； 由图象知，当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故（2）错误； ∵图象过点（-1，0）， ∴a-b+c=0，即c=-a+b=-a-4a=-5a， ∴5a+3c=5a-15a=-10a， ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∴5a+3c=-10a＞0，故（3）正确； 由图象知抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∴y1＜y2＜y3，故（4）错误． 综上（1）（3）正确． 故选A． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是__． 【答案】－3 【解析】 【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根． 【详解】∵方程的一个根为2， 设另一个根为a， ∴2a=－6， 解得：a=－3． 故答案为：－3 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 13. 将二次函数化为的形式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】等量关系为：原售价×（1-降低的百分比） 2 =现售价，把相关数值代入即可． 【详解】解：四月份的售价为3600×（1-x）， 五月份的售价为3600（1-x）2 ， ∴方程为3600（1-x）2 =2500，  故答案为3600（1-x）2 =2500． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用——增长率问题；得到手机的现售价的等量关系是解决本题的关键． 15. 抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=___． 【答案】0 【解析】 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1， ∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）， ∴a+b+c=0． 故答案为：0 【点睛】考点：二次函数的性质 16. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 三、解答下列各题（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）整理后，用直接开平方法进行求解即可； （2）用公式法进行求解即可； （3）整理后，用因式分解法进行求解即可； （4）用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：整理得， 开方得， ∴，； 【小问2详解】 解：，，，， ， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：因式分解得， ∴或， ∴，． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的根为整数，求整数的值． 【答案】（1）见解析 （2）当，，，，1，2，4时，方程的根为整数 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，也考查了解一元一次方程和一元二次方程的解，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）当时，原方程为一次方程，通过解方程求出方程的解；当时，求出，从而即可得证； （2）当时，原方程为一次方程，解得，满足题意，当，解得：，，从而即可得到，由此即可得到答案． 【小问1详解】 证明：当时，原方程为一次方程，， 解得：， 当时， ， 当时，方程有实数根， 综上所述：无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当时，原方程为一次方程，， 解得：， 为整数， 符合题意， 当， ， ， 解得：，， 方程的根为整数， ， 综上所述，当，，，，1，2，4时，方程的根为整数． 19. 目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 20. 已知函数． （1）画出函数图象； 列表： … … … … 描点，连线得到函数图象： （2）利用图象回答： ①方程的解是什么； ②取什么值时，函数值大于； ③取什么值时，函数值小于． 【答案】 （1）将二次函数化成顶点式为， 则此函数的对称轴为直线，且当时，， 当和时，， 当和时，， 当和时，， 列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 5 … 描点，画出函数图象如下： （2）①；②或；③． 【解析】 【分析】（1）先分别求出时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）①根据函数图象与轴的交点坐标即可得； ②找出函数图象位于轴上方时，的取值范围即可； ③找出函数图象位于轴下方时，的取值范围即可． 【详解】解：（1）略 （2）①二次函数与轴的交点坐标为和， 方程的解是； ②当函数图象位于轴上方时，函数值大于， 由函数图象可知，此时或； ③当函数图象位于轴下方时，函数值小于， 由函数图象可知，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． 21. 如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y． （1）若所用铁栅栏的长为40米，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围： （2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？ （3）在（2）的条件下，请直接写出当矩形场地的面积大于192平方米时x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣2x+44（5≤x＜）；（2）S＝﹣2x2+44x，AD长为6，AB长为32米，能使矩形场地的面积为192平方米；（3）当6＜x≤32时，矩形场地的面积大于192平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知AD+BC+AB＝40，且有AD＝BC，进而可写出y关于x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）由（1）中y与x的函数关系式，可得S与x的函数关系式，令S＝192，求得x值并根据问题的实际意义作出取舍； （3）由（2）中的函数关系式及二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：y﹣2+x+x﹣2＝40 ∴y＝﹣2x+44 ∵x＜y ∴x＜﹣2x+44 ∴x＜ ∵长为34米的墙 ∴﹣2x+44≤34 ∴x≥5 ∴5≤x＜． （2）S＝xy ＝x（﹣2x+44） ＝﹣2x2+44x ∴S与x的函数关系式为：S＝﹣2x2+44x 当S＝192时，有 ﹣2x2+44x＝192 解得：x1＝6，x2＝16 ∵x2＝16＞ ∴x2＝16不符合题意，舍去． ∴y＝﹣2×6+44＝32 ∴AD长为6，AB长为32米，能使矩形场地的面积为192平方米． （3）由（2）可知，S关于x的开口向下的二次函数 ∴当6＜x≤32时，矩形场地的面积大于192平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的关系式． 22. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系： (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝－x＋180；（2）售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元． 【解析】 【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可； （2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知， ，解得． 故y与x的函数关系式为y=﹣x+180； （2）∵y=﹣x+180， ∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180） =﹣x2+280x﹣18000 =﹣（x﹣140）2+1600， ∵a=﹣1＜0， ∴当x=140时，W最大=1600， ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $