精品解析：山东省淄博市周村区第二中学（五四制）2025-2026学年七年级上学期10月月考数学试卷

【2025.10．11】初二上数学月考试卷-周村二中 一．选择题（共10小题） 1. 直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 3. 现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（ ） A. 都可以 B. 只有可以 C. 只有可以 D. 都不可以 4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 5. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 7. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 8. 在中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 10. 如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 二．填空题（共5小题） 11. 若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是______． 12. 如图，已知，添加一个条件__________，使得． 13. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 14. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为 __． 15. 如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 17. 如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 18. 如图，点D，E在的边上，，求证：． 19. 为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积． 20. 如图，在中，，，与相交于点F． （1）求证∶； （2）若，求的面积． 21. 如图，的角平分线，相交于P点． （1）若，，求的度数； （2）若，试求的度数； （3）设请用α表示． 22. 如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点 P运动到的中点时，t的值是 ； （2）4秒内，若， 求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 23. 在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． （2）证明你猜想的结论是否正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2025.10．11】初二上数学月考试卷-周村二中 一．选择题（共10小题） 1. 直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解． 本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数是：． 故选：B． 2. 如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找出对应角．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，， ∵两个三角形是全等三角形， ∴， 即， 故选：A． 3. 现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（ ） A. 都可以 B. 只有可以 C. 只有可以 D. 都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形两边之和大于第三边．即可判断求解． 【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，， ∴两根长度分别为分米和分米的细木条做一个三角形的框架，可以把分米的细木条分为两截． 故选：B． 4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 5. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝70°，在△BCD中可求得∠DBC＝40°，由此可求出∠ABD． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－40°）÷2＝70°， 又∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠DBC＝180°－70°×2＝40°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 6. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的三条边组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的三条边组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选D． 7. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 8. 在中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11. 若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 12. 如图，已知，添加一个条件__________，使得． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 13. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 14. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为 __． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， ， 设，则， ∴， 解得：， 米， 折断处的高度为． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 先由平行线的性质推得，再利用“角角边”即可证明全等． 【详解】略 17. 如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理直接计算即可求得，再根据等积法计算即可求得，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决本题的关键． 【详解】解：在中， 因为，，， 所以， 所以． 因为为边上的高， 所以， 所以． 18. 如图，点D，E在的边上，，求证：． 【答案】 证明：∵点D，E在上，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握证明两个三角形全等的方法是解决本题的关键． 根据和可得和，则可证明，进而即可得证． 【详解】略 19. 为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积． 【答案】这块四边形空地的面积是96平方米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形ABCD的面积是：（平方米）， 即这块四边形空地的面积是96平方米． 20. 如图，在中，，，与相交于点F． （1）求证∶； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）同角的余角相等得到，利用即可得证； （2）根据全等的性质，结合线段的和差关系，求出的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，的角平分线，相交于P点． （1）若，，求的度数； （2）若，试求的度数； （3）设请用α表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，关键掌握三角形内角和是180度，三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． （1）根据三角形内角和定理即可解答； （2）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，即可解答； （3）根据（2）的结论即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 即的度数为； 【小问2详解】 解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； 【小问3详解】 解：根据（2）的结论即可得到： ， ∴． 22. 如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点 P运动到的中点时，t的值是 ； （2）4秒内，若， 求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：连接， 根据题意，得， 故4秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小问3详解】 解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 23. 在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． （2）证明你猜想的结论是否正确． 【答案】（1） （2） 证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【小问1详解】 解：猜想； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $