精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期月考高二年级 数学试卷 出题人：杨柳 审题人：孙洁 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得 故选：D 2. 已知空间向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的数量积性质即可解出的值. 【详解】由，有， 则， 即，解得. 故选：C. 3. 在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 4. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 5. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 6. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为中点，知. 所以. 故选：C. 7. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 8. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用球的定义和球的性质进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为，所以点的轨迹是以为球心的球. ， 所以点的坐标为， ， 由球的性质可知：的最小值为的最小值减， ， 当时，有最小值，所以的最小值为， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分. 9. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用两点的斜率公式结合方向向量计算求解. 【详解】经过两点直线的方向向量为，则的斜率为， 对于A：，不合题意，A选项错误； 对于B：，符合题意，B选项正确； 对于C：，符合题意，C选项正确； 对于D：，不合题意，D选项错误； 故选：BC. 10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求定点即可；对于B，线线垂直时；对于C，线线平行时；对于D，过定点，直线与点和的连线垂直时取最值. 【详解】直线，即直线为， 所以直线过定点，故A正确； 当时，，解得，故B正确； 当时，，解得或， 当时，两直线为，符合题意； 当时，两直线为，符合题意，故C错误； 因为直线，即，过定点， 当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 与平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A，，， 设与所成角为，则，故A正确； 对于B，平面的法向量可取为，， 设与平面所成角为，则，故B错误； 对于C，因，与同方向的单位向量为， ，则点到直线的距离为，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，， 则，故可取， 由，平面，可得平面， 则与平面的距离即点到平面的距离， 由，则到平面距离为，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线和的交点坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线的方程即可求解. 【详解】联立，解得， 故交点坐标为， 故答案为： 13. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 14. 已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点且与直线相交于点，若的面积为2，则_______________. 【答案】0 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再利用的面积为2，得到关于的方程，从而求得答案. 【详解】设点，则，解得，则， 设直线与联立，解得，则， 因为直线的方程为，且， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，总分共77分. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得，所以直线过定点 【小问2详解】 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，故，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先建系得出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面. 【小问2详解】 因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为， 则，所以，令， 则，所以， 故与平面所成角的正弦值为 故与平面所成角的余弦值为 18. 如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m. 【解析】 【分析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，求出直线和方程后可得点坐标，从而得； （2）设警示牌为CM，由的大小得点坐标，从而可得直线方程，求得它与轴交点的坐标，得影子长． 【详解】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…① 因为灯罩线AC与灯杆AB垂直， 可设的斜率为，则＝， 又C（6，0）， 所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…② 由①②组成方程组，求得点A（，15）； 所以|AB|＝＝2， 即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线； （2）设警示牌为CM，且CM⊥OD， 则M（6，），A（，15）， 所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣）， 令yN＝0，解得xN＝7， 所以CN＝7﹣6＝. 所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m． 【点睛】本题考查直线方程的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出直线方程，由直线方程得交点坐标，得线段长． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求点M到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，应用线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出相关直线的方向向量、平面的法向量，应用点面距的向量求法求距离； （3）根据（2）所建坐标系，设，，，求出相关平面的法向量，再由平面垂直列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 因为在中，，，所以， 根据折叠关系，而且平面， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为DE经过的重心，故，由（1）知平面， 以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，. 由几何关系知， 故， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设M到平面的距离为； 【小问3详解】 设，，，即， 即，，. 设平面CMN的法向量为，则，， 所以，则，令，则， 设平面DEN的法向量为，， 则，即，令，则， 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，， 故存在这样的点，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第一学期月考高二年级 数学试卷 出题人：杨柳 审题人：孙洁 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（ ） A B. C. D. 5. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 7. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分. 9. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（ ）. A. B. C. D. 10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 与平面的距离为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线和的交点坐标为_____________. 13. 已知向量，，则向量在向量方向上投影向量为______． 14. 已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点且与直线相交于点，若的面积为2，则_______________. 四、解答题：本题共5小题，总分共77分. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 16. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的余弦值. 18. 如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求点M到平面距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $