精品解析：江苏省南京市江宁区2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题

2025～2026学年度第一学期练习卷 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效. 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴， ∴方程解为，故本选项不合题意； B．∵， ∴， ∴此方程没有实数根，故本选项符合题意； C．， ∵， ∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意； D．， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 3. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 5. 如图，为⊙O的直径，弦，垂足为，，，则⊙O半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由垂径定理得，设，再根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：连接，∵为⊙O的直径，弦， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴⊙O半径为5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形． 6. 关于x的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根（ ） A. 2022 B. C. −2022 D. − 【答案】D 【解析】 【分析】将2022代入方程得，两边同时除以得 ：，即， 所以一定有实数根． 【详解】解：∵2022是一元二次方程一个实数根， ∴， 两边同时除以得 ：，即：， ∴一定有实数根． 故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，得到． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 8. 将方程化成一元二次方程的一般形式，得_____． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是： (是常数且 )据此，对原方程通过去括号、移项即可将原方程转化为一般式方程． 【详解】解：移项得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键． 9. 已知，是一元二次方程的两根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为一般式，再根据根与系数的关系求得和，最后代入即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，当，是一元二次方程的两根时，则：，．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 10. 某地区新能源汽车保有量2023年底达到30万辆，2025年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，结合2023年底达到30万辆，2025年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵2023年底达到30万辆，2025年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为， ∴， 故答案为： 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程有实数根可得，解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 12. 如图，在的内接四边形中，．若点在上，则的度数为__________°． 【答案】##125度 【解析】 【分析】连接，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 13. 如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 14. 已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【解析】 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，且， ∴，， ∴， 解得， ∴是钝角三角形． 15. 已知是关于x的方程（a，b，c是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合计算，由根与系数的关系可得，，由a，b，c是有理数，，得到和都是有理数，则可设（n为有理数），求出，根据是有理数，且n是有理数，得到，即，据此可得答案． 【详解】解；设方程的两一个根为m， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∵a，b，c是有理数，， ∴和都是有理数， ∴和都是有理数， ∴可设（n为有理数）， ∴ ， ∵是有理数，且n是有理数， ∴， ∴， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 16. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ 则 解得 18. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 19. 某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“改造后的面积比原来增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 整理，得， 解得． 答：的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 20. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意，， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据即可证明； （2）根据因式分解法求出方程的解为，，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 解得，， ∵方程的一个实数根是另一个实数根的两倍， ∴或， 解得或． 22. 求证：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图，四边形内接于．求证： 证明：作直径．连接． 所以． 因为．（ ① ） 所以． 同理． （1）证明过程中依据①是 ； （2）请给出另一种证明方法． 【答案】（1）同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2） 证明：如图，连接， ∵，且， ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，再根据四边形的内角和等于 ，可得，即可． 【小问1详解】 解：证明过程中依据①是同圆中，同弧所对的圆周角相等； 故答案为：同圆中，同弧所对的圆周角相等 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角、四边形内角和等于是解题的关键． 23. 商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价1元，销售量就会减少10件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元? 【答案】销售单价应为60元或80元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、适当设元、找准等量关系列出方程是解答此题的关键． 可以设该玩具销售单价应为x元，然后分别根据题意列出一元二次方程求解得出答案． 【详解】解：设该玩具销售单价应为x元， 根据题意，得， 整理，得， ， ，． 答：该玩具每件实际售价应定为60元或80元． 24. 如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：；（用两种不同方法证明） 【答案】 方法一、证明：如下图所示，连接， 是的直径， ， ， 又， 是的垂直平分线， ； 方法二：证明：如下图所示，连接， ， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理．方法一、连接，根据圆周角定理可知，根据可知是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可证结论成立；方法二，连接，可知是的中位线，可知，根据圆的性质可知，，可证结论成立． 【详解】略 25. 若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”． （1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值． 【答案】 （1）不是，理由如下： ∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣4． ∵5﹣（﹣4）＝9≠2， ∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”． （2）m＝0或m＝4． 【解析】 【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝5，x2＝﹣4，二者做差后可得出5﹣（﹣4）＝9≠2，进而可得出方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝﹣1，x2＝1﹣m，结合关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：（1）略 （2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m． 又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”， ∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2， 解得：m＝0或m＝4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定义，理解题意是解题的关键． 26. 如图，内接于，为直径，D为的中点．仅用无刻度的直尺作图． （1）在图①中，作的平分线； （2）在图②中，作的平分线． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内心，解题的关键是： （1）连接并延长交于E，连接即可； （2）连接、相交于E，连接并延长交于F，连接并延长交于G，连接即可． 【小问1详解】 理由∶连接， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； 【小问2详解】 理由∶∵O为的中点，D为的中点， ∴F为的中点（三角形的中线交于同一点）， 同（1）可证， ∴， ∴， ∴即为所求． 27. 某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】， 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】 的值为或 【解析】 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】 ；；；． 【变式探究】 略 【实践应用】 如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期练习卷 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效. 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，为⊙O的直径，弦，垂足为，，，则⊙O半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 6. 关于x的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根（ ） A. 2022 B. C. −2022 D. − 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 一元二次方程的根是______． 8. 将方程化成一元二次方程的一般形式，得_____． 9. 已知，是一元二次方程的两根，则________． 10. 某地区新能源汽车保有量2023年底达到30万辆，2025年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，根据题意可列方程为______． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 12. 如图，在的内接四边形中，．若点在上，则的度数为__________°． 13. 如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 14. 已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 15. 已知是关于x的方程（a，b，c是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是______． 16. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 19. 某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值． 20. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 22. 求证：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图，四边形内接于．求证： 证明：作直径．连接． 所以． 因为．（ ① ） 所以． 同理． （1）证明过程中依据①是 ； （2）请给出另一种证明方法． 23. 商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价1元，销售量就会减少10件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元? 24. 如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：；（用两种不同方法证明） 25. 若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”． （1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值． 26. 如图，内接于，为直径，D为的中点．仅用无刻度的直尺作图． （1）在图①中，作的平分线； （2）在图②中，作的平分线． 27. 某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $