精品解析：辽宁省辽阳市第一中学2025-2026学年八年级上学期学业水平质量监测数学试卷

2025-2026学年度上学期第一次学业水平质量监测 八年级数学试卷 满分（120分） 时间（120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．不选、多选或错选均不得分．） 1. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B. 三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C. 三角形的三条高不一定都在三角形内部 D. 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 3. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙 D. 丙 6. 如图，已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（　　） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 9. 如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①② C. ① D. ①③ 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 13. 若是三角形的三边，化简：___________． 14. 如图，______． 15. 如图，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，这是利用了__________． 16. 如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为________． 17. 如图，，，，，，则的长为________． 18. 如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为_____秒． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 20. 如图，的平分线交的平分线于点，交于点，若． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 如图，在中，，的平分线，相交于点O． （1）若的度数为__________； （2）若的度数为__________； （3）判断的关系并证明． 22. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 23. 如图，是的中线，延长至点E，使，连接． （1）证明； （2）若，设，求x的取值范围． 24. 如图，在的两边，上分别取点C，D，已知的角平分线与的角平分线交于点E，连接． （1）求证：点E到三边，，所在直线的距离相等； （2）若，求的度数． 25. 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期第一次学业水平质量监测 八年级数学试卷 满分（120分） 时间（120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．不选、多选或错选均不得分．） 1. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B. 三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C. 三角形的三条高不一定都在三角形内部 D. 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形的中线，三角形的高等知识，根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【详解】解：A、三角形的高不一定在三角形内，A选项错误，不符合题意； B、根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，至少有两个锐角，B选项错误，不符合题意； C、三角形的三条高不一定都在三角形内部，C选项正确，符合题意． D、三角形的高，角平分线，中线都是线段，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边AC上的高，如图： 故选D． 4. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理求角是解题的关键；根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的分类即可得解． 【详解】解：， ， 是钝角三角形， 故选：． 5. 如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙 D. 丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要． 甲只有两条边长对应相等，但角无法对应；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，可得答案． 【详解】解：甲三角形只知道两条边长对应相等，但角无法对应，无法判断是否与全等； 乙三角形夹内角及其两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等； 丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定丙与全等； 则与全等的有乙和丙， 故选：B． 6. 如图，已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等角的补角相等，由等角的补角相等得，然后证明，则，根据三角形内角和定理求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 8. 如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（　　） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】标注字母，利用“边角边”判断出和全等，根据全等三角形对应角相等可得（或观察图形得到，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， （或观察图形得到， ， ， 又， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，解题的关键是准确识图判断出全等的三角形． 9. 如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系和不等式的性质解答． 【详解】解：由三角形两边的和大于第三边， ；， A、B选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， ， ． C选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， D项无法推出，符合题意． 故选D． 10. 如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故选项A正确； ∵， ∴；故选项B正确； ∴， ∴；故选项D正确； 在中，为斜边， ∴， ∴；故选项C错误； 故选：C． 11. 如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，垂直定义，同角的余角相等，根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质得出，，进而解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 12. 如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①② C. ① D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键．根据，易证，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得，结论②成立，和只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，故①结论正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②结论正确； 和仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等，故③结论错误． 故选：B． 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 13. 若是三角形的三边，化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 14. 如图，______． 【答案】180度## 【解析】 【分析】如图，连接 记的交点为 先证明再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：如图，连接 记的交点为 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键. 15. 如图，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，这是利用了__________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据图示，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁构成三角形，利用了三角形的稳定性，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，构成三角形， 利用的是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 16. 如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，进而可求，然后再次使用三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点， 同理 ∵为中点， 故答案为：2． 17. 如图，，，，，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 18. 如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为_____秒． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可得到答案．本题主要考查三角形的中线，熟练掌握“三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线”是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， ∴比长． 20. 如图，的平分线交的平分线于点，交于点，若． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴， ∴． （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合角平分线的定义，可得，根据平行线的判定即可证得结论； （2）由和的关系，结合已知可得，根据角平分线的定义可得，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，的平分线，相交于点O． （1）若的度数为__________； （2）若的度数为__________； （3）判断的关系并证明． 【答案】（1） （2） （3） ，证明如下 ∵分别为角平分线， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可； （3）根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可； 本题主要考查了角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵分别为角平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵分别为角平分线， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 略 22. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图，是的中线，延长至点E，使，连接． （1）证明； （2）若，设，求x的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用： （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 如图，在的两边，上分别取点C，D，已知的角平分线与的角平分线交于点E，连接． （1）求证：点E到三边，，所在直线的距离相等； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点作于点，于点，于点． 由题意可知平分，平分， ∴，， ∴， 即点到三边，，所在直线的距离相等． （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）由三角形外角的定义及性质可得，．由（1）知，，，从而得出平分，即．由角平分线的定义可得，求出，从而可得，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的外角，是的外角， ∴，． 由（1）知，，， 平分， ∴． 平分， ∴， ， ∴， ∴． 又平分， ∴． 25. 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】（1） （2） （1）中的结论成立，理由如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【小问1详解】 解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $