专题08 一次函数实际应用的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题08 一次函数实际应用的三种考法 类型一、分配方案问题 1．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 厂 厂 甲地 30 40 乙地 10 15 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 2．某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 3．甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元）．根据题意列出下表： 采摘量：x（千克） 5 10 15 20 … 在甲采摘园所需总费用：（元） 150 240 330 m … 在乙采摘园所需总费用：（元） 150 300 375 450 … (1)变化过程中采摘量x（千克）和在甲采摘园所需总费用（元），这两个变量中，自变量是_____，因变量是_____，表格中m的值为_____； (2)当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用和采摘量x这两个变量之间关系的表达式； (3)如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用（元）和在乙采摘园所需总费用（元）分别与采摘量x（千克）之间关系的图象． ①图中两图象的交点A表示的意义是：______________________________； ②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算． 4．随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； (2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 5．为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表： A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 600 700 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用为元，试求出与m的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 类型二、最大利润问题 1．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 2．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（第天） 1 3 6 10 日销售量件） 198 194 188 180 ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表： 时间（第天） 销售价格（元件） 100 (1)求m关于x的一次函数表达式； (2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果． 3．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？ (3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案． 4．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 类型三、行程问题 1．甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）． (1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？ 2．甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离与时间的函数图象． (1)求出图中______，______； (2)求出甲车行驶路程与时间的函数表达式，并写出相应的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距． 3．某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）；②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）；④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 4．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时．并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是　 　千米/时，乙车行驶的时间t＝　 　小时； （2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式； （3）直接写出甲车出发多长时间两车相距110千米　 　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一次函数实际应用的三种考法 类型一、分配方案问题 1．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 厂 厂 甲地 30 40 乙地 10 15 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得，得，又，得． ∵， 一次函数中，，故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨，所以（元）． 2．某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)，，； (2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； (3)见详解 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度． （1）根据题意，用240减可得需要从处运往处的数量；用200减去可得从处运往处的数量；300减去即为从处运往处的数量； （2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （3）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，           总计/      200           300 总计/ 240 260 500 故答案为：，，； （2）解：与之间的函数关系式为， 由题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，总运费最小， 此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； （3）解：由题意得， 当时，（2）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元； 当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小， 其调运方案如下：调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨． 3．甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元）．根据题意列出下表： 采摘量：x（千克） 5 10 15 20 … 在甲采摘园所需总费用：（元） 150 240 330 m … 在乙采摘园所需总费用：（元） 150 300 375 450 … (1)变化过程中采摘量x（千克）和在甲采摘园所需总费用（元），这两个变量中，自变量是_____，因变量是_____，表格中m的值为_____； (2)当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用和采摘量x这两个变量之间关系的表达式； (3)如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用（元）和在乙采摘园所需总费用（元）分别与采摘量x（千克）之间关系的图象． ①图中两图象的交点A表示的意义是：______________________________； ②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算． 【答案】(1)采摘量x（千克）；在甲采摘园所需总费用（元）；420 (2)表示在乙采摘园所需总费用和采摘量x这两个变量之间关系的表达式为： (3)①当采摘量为30千克时，在甲采摘园所需总费用为（元）和在乙采摘园所需总费用为（元）相等，都是600元；②到乙采摘园比较合算，理由见解析 【分析】（1）根据常量与变量的定义即可得出答案，根据甲采摘园的优惠方案计算m即可； （2）根据乙采摘园的优惠方案可得关于x的表达式； （3）①根据横坐标和纵坐标的意义回答即可；②结合图象，即可得到答案． 【详解】（1）解：总费用（元）随采摘量（千克）的变化而变化， 这两个变量中，自变量是采摘量（千克），因变量是总费用（元）， 表格中的值为； 故答案为：采摘量（千克），总费用（元），420； （2）根据题意得：当千克时，， 所以总费用和采摘量这两个变量之间关系的表达式为； （3）①图中两图象的交点表示的意义是：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元； 故答案为：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元； ②根据图象可知：当千克时，， 所以要采摘50千克蓝莓，小刚应选择去乙采摘园采摘比较合算． 【点睛】本题考查函数的图象，常量与变量，函数关系式，解题的关键是理解题意和数形结合思想的应用． 4．随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； (2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 【答案】(1) (2)当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案． （1）分别计算购物金额为元和元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市； （2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式超市为一次函数，B超市分和两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择． 【详解】（1）解：当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（不满元不返现）． ∵，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（满元返元）． ∵， ∴选择B超市更省钱． （2）解：A超市实付金额函数表达式：． B超市实付金额函数表达式： 当时，不返现，； 当时，满元返元，． 比较省钱方案： 当时，，选择A超市更省钱； 当时，令，解得． 当时，，选择B超市更省钱； 当时，，两家超市实付金额相同； 当时，，选择A超市更省钱． 答：当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱． 5．为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表： A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 600 700 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用为元，试求出与m的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】(1)大货车10辆，小货车8辆 (2)（，且m为整数） (3)6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村；10600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设这18辆车中大货车x辆，则小货车辆，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）前往A村的大货车为m辆，则前往A村的小货车为辆， 前往B村的大货车为辆，前往B村的小货车为辆，即可根据题意列出函数解析式； （3）根据题意列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：设这18辆车中大货车x辆，则小货车辆， 根据题意，得， 解得， ， 答：设这18辆车中大货车10辆，则小货车8辆． （2）解： ， ， ，且m为整数； （3）解：由题意得，， 解得， ， ，且m为整数， 当时，最小， 此时最少费用为（元）， 货车调配方案：6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村． 类型二、最大利润问题 1．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【答案】(1) (2)从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台 (3)①当时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台；②当时，各种方案费用一样多；③当时，从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【分析】本题考查了一次函数的应用， 解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． （1）根据总费用=城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用，即可求解； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意求出，分情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求解即可；②当时，元，各种方案费用一样多，③当时，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设城运往乡台，则城运往乡台，城运往乡台，城运往乡台， ∴ =； （2）解：∵中， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台． （3）解： =， ①当时，， ∴随x的增大而增大， 又， 当时，取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台； ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， ③当时，， ∴随x的增大而减小， 又， ∴ 当时，取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 2．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（第天） 1 3 6 10 日销售量件） 198 194 188 180 ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表： 时间（第天） 销售价格（元件） 100 (1)求m关于x的一次函数表达式； (2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)第40天利润最大，最大利润为7200元 (3)共有46天利润不低于5400元 【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可； （2）设利润为元，则当时，；当时，，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论； （3）根据和时，由求得的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数． 【详解】（1）解：与成一次函数， 设，将，，，代入，得： ， 解得：． 所以关于的一次函数表达式为； （2）设销售该产品每天利润为元，关于的函数表达式为： ， 当时，， ， 当时，有最大值，最大值是7200； 当时，， ， 随增大而减小，即当时，的值最大，最大值是6000； 综上所述，当时，的值最大，最大值是7200， 即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元； （3）当时，由可得， 解得：， ， ； 当时，由可得， 解得：， ， ， 综上，， 故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质． 3．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？ (3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案． 【答案】(1)W＝2x+800 (2)该公司有3种建房方案：①建A种户型30套，B种户型50套；②建A种户型31套，B种户型49套；三建A种户型32套，B种户型48套 (3)当0＜a≤2时，按（2）中第三种方案；当a＝2时，按（2）中三种方案均可；当2＜a≤3时，按（2）中第一种方案 【分析】（1）根据A种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，根据一套的利润×总的套数＝总利润，列出一次函数可得出答案； （2）根据该公司所建房资金不少于5700万元且A户型不超过32套，得出该公司建房方案； （3）在（2）的前提下，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）∵A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80﹣x）套， 根据题意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800， ∴W与x之间的函数解析式为W＝2x+800； （2）由题意得：90x+60（80﹣x）≥5700， 解得：x≥30， ∵x≤32， ∴30≤x≤32（x为正整数）， ∴x取30，31，32， ∴该公司有3种建房方案： 第一种：建A种户型30套，B种户型50套； 第二种：建A种户型31套，B种户型49套； 第三种：建A种户型32套，B种户型48套； （3）由题意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800， 当0＜a≤2时，W随x的增大而增大， ∴x＝32时，W最大， 此时按（2）中第三种方案； 当a＝2时，W＝800， 此时按（2）中三种方案均可； 当2＜a≤3时，W随x的增大而减小， ∴当x＝30时，W最大， 此时按（2）中第一种方案． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键． 4．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【答案】(1)320；640 (2) (3)720元；8天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量，可求第26天的销售量；再根据日利润单件利润 日销售量，求出当天总利润即可； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，进而可以判断得解； （3）由函数的图象可得，当时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入、的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于660元的天数． 【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件， ∴第26天的日销售是（件）， ∴这天销售利润是（元）， 故答案为：320，640； （2）解：设直线的函数关系式为，将代入， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 当，； 当，， ∴过，， 设直线的函数关系式为， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为， 令， 解得， ∴直线和直线的交点坐标为， 综上，y与x的函数关系式； （3）解：由函数的图象可得，当时，日销售为， 此时日销售利润最大为：（元）； 又∵每件利润为：（元）， ∴当销售利润为660元时，销售量为330件， ∴令，则有或， ∴或， ∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间， ∴（天）， ∴日销售利润不低于660元的天数共有8天． 类型三、行程问题 1．甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）． (1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？ 【答案】(1) (2)在两人相遇前，甲离开学校、时与乙相距 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）结合函数图象，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）设直线的解析式为，可得，再结合（1）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， 即， 设直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴． ∴所求解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， 即， ①当时，， 解得， ②当时，， 解得：． 由题意知，甲离开学校后，到与乙相遇时，两人相距等于． ∴在两人相遇前，甲离开学校，时与乙相距． 2．甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离与时间的函数图象． (1)求出图中______，______； (2)求出甲车行驶路程与时间的函数表达式，并写出相应的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距． 【答案】(1)50，1 (2)； (3)当乙车行驶或时，两车恰好相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据图象及甲车休息的时间求出m的值；根据速度=路程÷时间求出甲车的速度，再由路程=速度×时间求出m的值即可； （2）按照x的取值范围，根据路程=速度×时间分别写出对应的函数表达式并最终写成分段函数的形式即可； （3）写出乙车行驶路程与时间的函数表达式，当两车相距时列出关于x的绝对值方程并求解，再根据乙出发时的时间计算乙车行驶的时间即可． 【详解】（1）解：， ∴， 甲车的速度为， 则， ∴． 故答案为：50，1； （2）解：当时，， 当时，， ， 当时，， ∴甲车行驶路程与时间的函数表达式及相应x的取值范围为： ； （3）解：乙车的速度为， 则， 当时，解得， ∴乙车行驶路程与时间的函数表达式为， 当两车恰好相距时，得， 解得或， ， ． 答：当乙车行驶或时，两车恰好相距． 3．某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)180，560； (2)①4；②70；③840；④1800； (3)当时，；当时，； (4)4，12 【分析】考查一次函数的应用及从函数图象获取信息；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． （1）由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，可得前4天每天修筑（米），再求解并填表即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）当时及当时，分别用待定系数法求得函数解析式； （4）根据题意对临界点的值分别进行计算，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米， 前4天每天修筑（米）， 当时，， 由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米， 当时，， 填表如下： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560 故答案为：180，560； （2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天）， 故答案为：4； ②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天）， 故答案为：70； ③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 故答案为：840； ④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为， 甲工程队一共修筑道路的长度为， 该公路的总长度为， 故答案为：1800； （3）解：设当时，，将代入得，解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为， 设当时，，将，代入得 ， 解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为； （4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 的值为4或12． 4．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时．并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是　 　千米/时，乙车行驶的时间t＝　 　小时； （2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式； （3）直接写出甲车出发多长时间两车相距110千米　 　． 【答案】（1）80，6；（2）y＝−120x＋600；（3）1.45小时． 【分析】（1）结合题意，利用速度＝路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间； （2）找到甲车到达C地和返回A地时x与y的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式； （3）甲、乙两车相距110千米有两种情况：相遇前的相等关系为“甲车行驶路程＋乙车行驶路程＋甲乙间距离＝480”，则可利用方程求解结果；相遇后可利用图象得出甲车与乙车的最大距离为100千米，即可得出最终结论． 【详解】解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米， ∴乙车速度为：80千米/时， 乙车行驶全程的时间t＝480÷80＝6（小时）； 故答案为：80，6． （2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时， ∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地， ∴结合函数图象可知，当x＝2.5时，y＝300；当x＝5时，y＝0； 设甲车从C地按原路原速返回A地时，即2.5≤x≤5，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝kx＋b， 将(2.5，300)，(5，0)代入得 ， 解得， 故甲车从C地按原路原速返回A地时，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝−120x＋600； （3）由题意可知甲车的速度为120千米/时， ①两车相遇前，设甲车出发m小时两车相距110千米，根据题意，得 120m＋80(m＋1)＋110＝480， 解得m＝1.45； ②两车相遇之后，根据图象可得：甲到达C地时，甲车与乙车的距离最大， 乙行驶的路程为：80×（2.5+1）＝280千米， ∴甲车与乙车的最大距离为:280+300－480＝100千米. ∴甲车出发1.45小时两车相距110千米． 故答案为：1.45小时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，准确找到等量关系，利用方程解决实际问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $