专题07 一次函数中特殊三角形存在性的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题07 一次函数中特殊三角形存在性的四种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 3．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 4．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 类型二、直角三角形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 4．直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是，另一条直线经过点A、C． （1）求线段AC所对应的函数表达式； （2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，当点M运动到C点时停止运动，设M运动t秒时，△ABM的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②当t＝4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 1．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 2．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 类型四、含45°几何问题 1．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数中特殊三角形存在性的四种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先利用待定系数法求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再根据建立方程，解方程即可得； ②先设点的坐标为，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， 故答案为：，． （2）解：①由题意，画出图形如下： 由（1）已得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或． ②∵点坐标是，是直线上一点，轴， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得或， 此时点的坐标为或； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ，，解得，， 与重合，，， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 3．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)点M的坐标为或或或． 【分析】本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，等腰三角形的性质． （1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可； （2）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可； （3）分或或三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）解：由两直线解析式可得，， ， ①当P点在x轴下方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； ②当P点在x轴上方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； 综上，P的坐标为或．      （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或或． 当时，可知点M的坐标为或； 当时，由等腰三角形三线合一可知，即点M的坐标为； 当时，设， 则， 解得：，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 4．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 5．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标或； (3)或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 类型二、直角三角形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出，求出，，得出，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在射线上时，利用两个三角形等高求解即可． （3）先利用待定系数法求出的解析式，设，由勾股定理得出，解方程求出，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 （2）解：分两种情况：①当点P在线段上时， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∵和等高， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ②当点P在射线上时，即， 同理可得出：， ， ∴ 综上： （3）解：存在，点P坐标为； 由（1）知：，，， ∴，，， 设的解析式为：， 则， 解得， ∴的解析式为：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的综合题，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 3．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)8，， (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，； （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴ ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵，∴， ∴，∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， ∴，∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 4．直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是，另一条直线经过点A、C． （1）求线段AC所对应的函数表达式； （2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，当点M运动到C点时停止运动，设M运动t秒时，△ABM的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②当t＝4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x＋3；（2）①S＝；②存在；点P的坐标是（，0）或（0，−1）或（0，−9） 【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）①根据M的运动时间及运动速度，可得BM的长，根据正切函数值，可得∠B的大小，再根据勾股定理，可得MD的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据三角形的面积公式，可得答案； ②根据题意，分三种情况：①点P在x轴上时；②点P在y轴上，且BP为斜边时；③点P在y轴上，且BP为另一条直角边时；然后根据直角三角形的性质分类讨论，求出P点坐标各是多少即可． 【详解】（1）当y＝0时，−x＋3＝0，解得x＝3， 即B（3，0）, 当x＝0时，y＝3，即C点坐标是（0，3） 设线段AC所对应的函数表达式y＝kx＋b， 图象经过A、C点，得， 解得． 故线段AC所对应的函数表达式y＝x＋3； （2）如图1， ①由动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度， 行驶t秒，得BM＝t，由线段的和差，得AB＝3−（−）＝4， B（3，0）, C（0，3）, , 由勾股定理得：, , , ， 由三角形面积公式，得S＝AB•MD＝×t×4=， 即S＝； ②如图2：当t＝4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形， Ⅰ、如图2， ∵点M运动的速度为每秒1个单位长度， ∴当t＝4时，BM＝4， ∵∠ABC＝30°，∠PMB＝90°， ∴设，则， 根据勾股定理可得：, 即：， 解得：(负值舍去)， ， , ∴点P的坐标是（，0）； Ⅱ、如图3，PM和AB相交于点N， ∵点M运动的速度为每秒1个单位长度， ∴当t＝4时，BM＝4， ∵∠ABC＝30°，∠NMB＝90°， 设，则， 由勾股定理可得：, 即：， 解得：(负值舍去)， ， , , , , , , 由勾股定理可得：, ∴点P的坐标是（0，−1）． Ⅲ、如图4，当时， , , , , , 由勾股定理可得：, ∴点P的坐标是（0，−9）． 综上，可得 当t＝4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形， 点P的坐标是（，0）或（0，−1）或（0，−9）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，分析推理能力，还考查了分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，勾股定理，直角三角形角的性质和应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握． 5．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 1．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析，（2）的坐标为，（3）点的坐标为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，待定系数法； （1）由可判定，即可得证； （2）过点作轴于点，同理可证，由全等三角形的性质得，，可求出，由待定系数法可求直线的函数解析式为，令，即可求解； （3）过点作轴于点，过点作于点，设，，①当在点左侧时，同理可证，由全等三角形的性质得，，即可求解；②当在点右侧时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法求解，同时能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴（）． （2）解：过点作轴于点，如图1      在中， 令得， 令得， ∴，， ∴，， 由（1）同理可证：， ∴， ， ∴ ， ∴， 设直线的函数解析式为，则有 ， 解得， 直线的函数解析式为， 令， 解得， 点的坐标为． （3）解：过点作轴于点，过点作于点，设点，， ①当在点左侧时，如图2 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 由（1）同理可证：， ， ． ∴， 解得， ； ②当在点右侧时，如图3 同理可得点． 综上所述，点的坐标为或． 2．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在，或. 【分析】（1）先求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，则可求出，即可求出点B的坐标，在中，根据勾股定理得出，解方程求出点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）计算，可得，点是轴上一动点，设，可得，再进一步求解即可； （3）分两种情况讨论：①，；②，；然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一动点，设， ∴， ∴或； ∴或； （4）解：如图，过作，使，则为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，为等腰直角三角形， ∴，即， 综上：的坐标为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)的解析式为 (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法、一次函数的平移、一次函数与等腰直角三角形、等腰三角形的判定等知识点，掌握函数的相关性质是解题关键． （1）令可得；设直线的解析式为：，将代入即可求解； （2）求出，分别计算即可判断； （3）由题意得直线的解析式为：、；可推出点与点重合，设，根据即可求解； 【详解】（1）解：令，解得：； ∴ ∵直线与y轴相交于点 设直线的解析式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：为等腰三角形，理由如下： 令，可得：； ∴ 则，， ∴ 故为等腰三角形 （3）解：如图所示： ∵，D是的中点， ∴ ∵向上平移得到直线． ∴ ∴点与点重合 通过平移可知：直线的解析式为：； 设， ∵ ∴， 解得：或； ∴或 故点N的坐标为或 类型四、含45°几何问题 1．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2）过F点作轴交于点W，证明，可求F点坐标，作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，当、D、P三点共线时，的值最小，再由在直线上，求出的直线解析式，联立，则可求，再求直线的解析式为，即可求，根据三角形的面积公式可得的面积； （3）根据题意得到，分两种情况，①当点M在点O的右侧时，②当点M在点O的左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点，， ∴， 如图，过F点作轴交于点W， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴， 当、D、P三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴当的值最小时，，的面积为； （3）解：存在， ∵， ∴直线， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， ①如图，当点M在点O的右侧时，过点O作于H，延长交的延长线于N，作轴于P，轴于Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 当点M在点O的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 2．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据列出方程求解可得或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，然后求得其坐标即可解答； （4）当点Q在上方时，证明得到M的坐标为，进而求解即可；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 4．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $