专题06 坐标系中几何综合的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题06 坐标系中几何综合的三种考法 类型一、几何图形面积问题 1．在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)，或， (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，三角形的面积． （1）先根据点A的对应点为点D，判断出平移的方式，进而求出点C的坐标； （2）先根据三角形的面积为10求出点C的坐标，然后分两种情况求解即可； （3）分点P在点B的左侧和点P在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）∵点的对应点为点， ∴把点A先向左平移1个单位，再向下平移2个单位到达点D， ∵点B的坐标为， ∴点C的坐标，即； （2）如图，作于点H，设， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵三角形的面积为10， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 当点A与点D对应时，则把点A先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点D，此时点B的对应点C的坐标为，即； 当点B与点D对应时，则把点B先向左平移6个单位，再向下平移1个单位到达点D，此时点A的对应点C的坐标为，即； 综上可知，，或，； （3）由题意得平移后各点坐标为：，，，， ∴, 当点P在点B的左侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ∴，∴，解得； 当点P在点B的右侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴，， ∴，解得． 综上可知，当或时，三角形的面积与三角形的面积相等． 2．已知点，且．    (1)求两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）①由点的平移性质即可求解； ②分类讨论，当点在轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点在轴上时，需用割补法表示出三角形的面积，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ， ∴； （2）解：①∵，， ∴点向右平移1个单位至点， ∴， ∴， ∴点向下平移2个单位至点， ∴点向下平移2个单位至点， ∴； ②由题可知线段向右平移6个单位，向下平移3个单位， ， 当点在轴上时，设，      此时与是等高的， ∵的面积是面积的2倍， ， ， 解得或， ∴或； 当点在轴上时，设， i当点在直线左侧时，连接，如图所示：   ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； ii当点在直线右侧时，连接，如图所示：   ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段交轴于点，点为轴上一动点（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)如图2，当点在轴负半轴上运动时，过点作，分别作的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在轴上是否存在这样的点，，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)不变，值为； (3)存在，． 【分析】（1）根据和平方的非负性、二次根式的非负性、绝对值的非负性，求出：、、的值，从而可得点、、的坐标； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，可得：，，，从而可得：，根据角平分线的定义可知，，从而可求； （3）当点在轴上方时，过点作轴于，根据可得：，又因为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的坐标即可得到点的坐标；当点在轴下方时，过点作轴于，根据，可得：，因为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得：，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：， 如下图所示，过点作， ， ， ，，， ， ， 、分别为、的平分线， ，， ； （3）解：设， 如下图所示，当点在轴上方时，过点作轴于， ，，，， ，，，，，， ， ， ， ； 如下图所示，当点在轴下方时，过点作轴于， 同理可得， ， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形与坐标、平行线的性质、解一元一次方程、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义和平行线的性质找角之间的关系． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 5．已知点，且． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)将线段平移至线段（点A与C对应，点B与D对应）， ①如图（1），若点D坐标为，点C在y轴上，求线段与y轴交点E的坐标； ②如图（2），若点D坐标为，点P在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出P点坐标． 【答案】(1)； (2)①   ②或或或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）①连接，根据等面积建立关于的方程求解即可；②分类讨论，当点P在x轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点P在y轴上时，需用割补法表示出三角形的面积，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵，，且， ∴， ∴； （2）①由平移可得，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由题可知线段向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴， 当点P在x轴上时，设， 此时与是等高的， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 当点P在y轴上时，设， i如图，当点P在直线上方时，连接， ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； ii当如图，当点P在直线下方时，连接， ， m-9， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； 综上，点P的坐标为或或或． 6．如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系． 【详解】（1）解：， ，， ，, ，， 将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段， ，； 故答案为：，； （2）由（1）可知，，，， ， ， ， ，且点P在x轴上，， ， ， ， 点P的坐标为或； （3）已知，如图所示，连接， ，，， ， ， ∵三角形与三角形面积之比为， ， 化简得：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 类型二、几何图形角度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，且与是一个正实数的两个不同平方根，轴，且，点C在x轴的正半轴，的平分线交于点D，过点A作，交于点E，点F是线段上一点，且． (1)求点B的坐标． (2)若，求的度数． (3)点P在线段上，，直线交于点Q，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平方根的定义计算得出，从而得出，再结合轴即可得解； （2）先求出，再由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，由平行线的性质得出，结合题意计算即可得解； （3）设，，则，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质得出，表示出，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵与是一个正实数的两个不同平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平方根的定义、坐标与图形、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，中点得到点的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，则：， 分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点在点左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，把，代入，得：； ∴直线的解析式为； （2）过点作轴于点，交直线于点，设，则：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为：或 （3）当点在点右侧时：将直线沿着轴向上平移个单位，得到直线：， 此时， ∴， 当时，， ∴， 当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，连接交x轴于点P，则：， ∴， 设， 则：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：或． 3．如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②图见解析，或 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案； （3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）①当时，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质． （1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，； （2）解：如图，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：或．理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时， 有， ； ②如图，当点在点下方时， 有， ， ， 综上所述，或． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，，且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的，求点P的坐标； (3)过点B作轴，已知平分，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合），平分交直线于点F，过点F作交直线于点G． ①如图2，点E在点A的上方，，求的值； ②请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①；②当点E在点D的左侧，；当点E在点D的左侧， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，平行线的性质，与角平分线有关的计算，利用属性集合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值即可得出结果； （2）求出，进而求出，设点P坐标为，根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）①根据平行线的性质，结合角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点E在点的上方和点E在点的下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点C、A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上， ∴，，． （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， 设点P坐标为， 则， 即， 解得：或， ∴P坐标为或． （3）①解：∵， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴． ②解：当点E在点的上方，设， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴． 当点E在点A的下方，设， ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， 即：． 综上：或． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 类型三、几何全等问题 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 2．在平面直角坐标系中，点，，点是点关于轴的对称点，作，直线交的延长线于点． (1)根据题意，可求得点坐标为：（___________，___________）； (2)求证：； (3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1个单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点于点．问两动点运动多长时间与全等？ 【答案】(1)0， (2)见解析 (3)当两动点运动时间为、、10秒时，与全等 【分析】（1）根据点，点是点关于轴的对称点，即可求得点坐标； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得，由可得，从而证明，即可作答． （3）设运动的时间为秒，证明与全等，根据三角形全等的性质分三种情况讨论：①当点、分别在轴、轴上时，②当点、都在轴上时，③当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，当点运动到点提前停止时，根据时，列出一元一次方程解方程求解即可 【详解】（1）解：点，点是点关于轴的对称点， 故答案为：0，； （2）证明：如图1中， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在与中， ∴； （3）解：依题意，与全等， 设运动的时间为秒，当时， 分三种情况讨论： ①当点、分别在轴、轴上时， 当时 在与中 则得： ， 解得（秒）， ②当点、都在轴上时，同理可得, 则得： ， 解得（秒）， ③当点在轴上，在轴上时，同理可得，若二者都没有提前停止，则得： ， 解得（秒）不合题意； 当点运动到点提前停止时， 有，解得（秒）， 综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，与全等. 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标系中的动点问题（不含函数），全等三角形的性质与判定，一元一次方程的几何应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，直线过点O． (1)求证：； (2)直接写出线段、的等量关系 ； (3)M和N是坐标轴上两个动点，M从A出发，沿路线运动，速度为1，到B点处停止；动点N从B出发，沿运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点G，于点F．请直接写出时M点的坐标 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或或 【分析】 （1）根据平行线的性质得，再根据全等三角形的判定定理得结论； （2）由全等三角形的性质得，再证明，便可得出结果； （3）设运动的时间为t秒，（i）当点M、N分别在y轴、x轴上时（ii）当点M、N都在y轴上时，（iii）当点M在x轴上，N在y轴时，分为若二者都没有提前停止，或者当点N提前停止时，分别列方程即可得到结论． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴； （2） ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3） 设运动的时间为t秒， （i）当点M、N分别在y轴、x轴上时得：，解得（秒）， ∴， 此时点M的坐标为； （ii）当点M、N都在y轴上时得：，解得（秒）， ∴， 此时点M的坐标为， （iii）当点M在x轴上，N在y轴时，若二者都没有提前停止，则得：，解得（秒）不合题意； 当点N提前停止时，有，解得（秒）， ∴， 此时点M的坐标为； 综上所述：时M点的坐标或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查坐标与图形，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，动点问题等知识；熟练掌握三角形全等的判定和性质以及利用数形结合的思想是解题关键． 4．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形的四个顶点都在坐标轴上，且，，，． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)点E在线段上，点F在线段的延长线上，且，点P从点A出发以每秒1个单位的速度向终点O运动，若点P的运动时间为t秒，四边形的面积为S，请用含字母t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，求t为何值时，与是形状大小完全相同的两个三角形，并直接写出此时点F坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题考查的是坐标与图形及全等三角形判定与性质， （1）设，根据求出a值，即可求出结论； （2）先求出，再根据求出结论即可； （3）分两种情况：时，或时分别求出结论即可． 【详解】（1）解：， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，，； （2）解：如图， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①若，， ， ， 与是形状大小完全相同的两个三角形， ，， ， ， ， ， ， ； ②若，， ， 与是形状大小完全相同的两个三角形， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或3时，与是形状大小完全相同的两个三角形，此时点F的坐标为或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 坐标系中几何综合的三种考法 类型一、几何图形面积问题 1．在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 2．已知点，且．    (1)求两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段交轴于点，点为轴上一动点（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)如图2，当点在轴负半轴上运动时，过点作，分别作的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在轴上是否存在这样的点，，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 5．已知点，且． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)将线段平移至线段（点A与C对应，点B与D对应）， ①如图（1），若点D坐标为，点C在y轴上，求线段与y轴交点E的坐标； ②如图（2），若点D坐标为，点P在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出P点坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 类型二、几何图形角度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，且与是一个正实数的两个不同平方根，轴，且，点C在x轴的正半轴，的平分线交于点D，过点A作，交于点E，点F是线段上一点，且． (1)求点B的坐标． (2)若，求的度数． (3)点P在线段上，，直线交于点Q，求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 3．如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，，且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的，求点P的坐标； (3)过点B作轴，已知平分，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合），平分交直线于点F，过点F作交直线于点G． ①如图2，点E在点A的上方，，求的值； ②请直接写出和之间的数量关系． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 类型三、几何全等问题 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，点，，点是点关于轴的对称点，作，直线交的延长线于点． (1)根据题意，可求得点坐标为：（___________，___________）； (2)求证：； (3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1个单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点于点．问两动点运动多长时间与全等？ 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，直线过点O． (1)求证：； (2)直接写出线段、的等量关系 ； (3)M和N是坐标轴上两个动点，M从A出发，沿路线运动，速度为1，到B点处停止；动点N从B出发，沿运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点G，于点F．请直接写出时M点的坐标 ． 4．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形的四个顶点都在坐标轴上，且，，，． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)点E在线段上，点F在线段的延长线上，且，点P从点A出发以每秒1个单位的速度向终点O运动，若点P的运动时间为t秒，四边形的面积为S，请用含字母t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，求t为何值时，与是形状大小完全相同的两个三角形，并直接写出此时点F坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $