专题05 实数特殊运算的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题05 实数特殊运算的三种考法 类型一、新定义下实数运算 1．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 2．规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ． 3．喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值 ． 4．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是 ；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为 ． 5．若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么 ． 类型二、实数运算的规律性探究问题 1．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 2．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 3．如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 4．【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 5．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 6．观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 7．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 类型三、实数运算的实际应用 1．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为________，长为_____，图中两块阴影部分的面积和为___； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 2．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01） 3．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数特殊运算的三种考法 类型一、新定义下实数运算 1．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 【答案】 或 0或 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可． 【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 2．规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确理解新规定是解题的关键； 先根据规定得出，再利用同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 3．喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值 ． 【答案】18 【分析】本题考查了算术平方根的概念以及对新定义“和谐组合”的理解与运用，解题的关键是根据＂和谐组合＂的定义列出关于的等式，再结合最大算术平方根与最小算术平方根的关系求解． 先根据“和谐组合”的定义，再结合最大算术平方根是最小算术平方根的3倍分情况讨论求出的值． 【详解】由题意可分3种情况， （1）， 解得：，不符合题意， （2）， 解得：，符合题意， （3）， 解得：，不符合题意， 综上，的值为18， 故答案为：18． 4．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是 ；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为 ． 【答案】 【分析】依据“和数”定义，要让高位数字尽可能大，通过尝试不同十位、个位数字组合，找到满足千位与百位组成的两位数是其和4倍的最大数；再由定义得，结合是有理数，推出为完全平方数，进而分析的表达式，确定符合条件的并求和 ．本题主要考查新定义“和数”的理解与应用，涉及数字组合、数位运算、完全平方数特征等知识．熟练掌握新定义内涵，准确分析数字间的数量关系，结合完全平方数的性质筛选符合条件的数，是解题关键． 【详解】解：设为“4和数”，即， 当p，q取最大时，即p=9，q=8，此时，，不符合题意， p=9，q=7，此时，，符合题意， ∴的最大值是， ∵四位自然数是“1和数”， ∴， ∴， ∴， ∵是有理数， ∴是完全平方数， 是千位数字（），是个位数字（），且、、、互不相等、均不为， 当时，需为完全平方数．尝试，则（是完全平方数）．此时，即 ： ，（与重复，舍去）； ，，； ，，； ，，． 当时，（如，时，，但会导致，超出范围，无解 ），无法满足完全平方数非负的要求． 符合条件的为、、，其和为：． 故答案为：，． 5．若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么 ． 【答案】11 【分析】本题考查平方根以及阅读信息取整符号等知识，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先计算出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解： ， ， ， … ， ∴原式， ∴， 故答案为：11． 类型二、实数运算的规律性探究问题 1．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 2．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 3．如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律、勾股定理、实数的混合运算，得出规律是解此题的关键． （1）根据勾股定理，结合图形计算即可得出答案； （2）根据前面列出的式子即可得出规律； （3）将式子转化为，结合进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， …， ， 故答案为：； （3）解： ． 4．【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 5．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 6．观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3)40 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化和规律探究，找到规律是解题的关键； （1）根据已知的等式找到规律即可解答； （2）根据（1）等式规律即可解答； （3）根据（2）的规律将每一项变形后再计算加减即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 第4个等式为：， ∴第5个等式是； 故答案为：． （2）解：由（1）题的等式规律可得：第个等式为（为正整数）； 故答案为：； （3）解： ． 7．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 类型三、实数运算的实际应用 1．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①9，，；②不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意，由两个正方形的面积，得到两正方形的边长，从而得到长方形的长和宽，即可得到面积； ②根据题意，设长方形的长为，宽为，根据面积，列出等式，求出x的值，得到长方形的长和宽，与原长方形相比较，即可； （2）根据左右两个图形的面积相等，构成等量关系，化简得到结果． 【详解】（1）解：（1）①设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵两正方形A和B，它们的面积分别为和，且，， ∴（），（）， ∴长方形的宽为（），长方形的长为（）， ∴长方形的面积为（）， ∴阴影部分面积为：（）， 故答案为：，，； ②不能裁出符合要求的长方形，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∵长方形的面积为， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴， 答：不能裁出符合要求的长方形； （2）如图2， ∵两正方形和面积分别为和， ∴大正方形的边长为，小正方形边长为， ∴，， ∴， ∴图2中右边的正方形的面积为， ∵图2中左边图形面积=右边正方形面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了整式运算，二次根式运算，涉及到正方形、长方形的面积，熟练掌握二次根式运算是解题的关键． 2．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 3．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6； （2）所用的篱笆至少为36米 （3）最小值为 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】解：（1）由题意，设， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即时取等号． 四边形面积的最小值为25． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $