专题11 反比例函数K几何意义的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题11 反比例函数K几何意义的两种考法 类型一、几何面积综合问题 1．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在反比例函数位于第四象限的图象上，边与x轴交于点边与y轴交于点．若的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 过C作于F，过B作于点H，则，可得，，根据相似三角形的性质进而得出，根据的面积为，即可求解． 【详解】解：过C作于F，过B作于点H，如图示： 则， ∴，， ∴，， 设（）， 则，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 4．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点Q， ∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，即点Q是的中点， ∴点Q是反比例函数上的点， 过点Q作于点H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点M是反比例函数上的点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题． 5．如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点E作轴 设，则 ∵以为边作等边三角形，且点E是中点 ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点E的坐标为， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴ ∴， ∴， ∵以为边作等边三角形 ， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴点F的坐标为 ∵反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F． ∴ 即 解得（负值已舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的性质，得到为等边三角形，均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，旋转求出的长，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，再利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，如图： ∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∵反比例函数经过其对角线的交点M，， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 7．如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，中点坐标等知识点，进行等积转化是解题的关键． 连接，过点作轴于点，可证明，则，设，求出，再由中点坐标公式可得，将代入，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点， ∵四边形是矩形， ∴经过点，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴，即， 将代入， 则 解得：， 故答案为：6． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积．可得，从而可得，即可判断得解．解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线．轴， 设点，则， ，则 设直线解析式为，代入 ∴ 直线， ， 设直线解析式为，代入 解得： 直线， 当时， ， ，， ， ，则， 故答案为：． 9．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是 ． 【答案】3 【分析】设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到，的关系式，再利用求得，值，则点坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设，， 由题意得：． 正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上， ，， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质和相似三角形的判定与性质，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图象恰好过的中点，则点的坐标为 ． 【答案】， 【分析】根据折叠的性质可知，，根据矩形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可点是的中点，过点作于点，则是的中位线，过点作于点，则是的中位线，根据相似三角形的性质可得：，从而可得，可以求出，根据三角形的面积可知，根据三角形的面积公式可知，设，则，利用勾股定理可以求出，，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，，利用三角形的面积公式可以求出，即为点纵坐标的绝对值，利用勾股定理可以求出，即为点的横坐标． 【详解】解：连接交于点 将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为， ，， ， ， ，， 在和中，， ， ， 即点是的中点， 过点作于点，则是的中位线， ， ， ， ， 解得：， 点是反比例函数图象上的点， ， ， 故， 设，则， 在中，， 则， 解得（负值已舍去）， 则，， 连接，作于， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， ， 为，， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判断和性质、面积的计算以及勾股定理等，综合性强，难度较大． 10．如图，等腰中，底边轴，与轴交于点，点A，B在函数的图象上，点在函数的图象上，若与的面积差为．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数点坐标特点，等腰三角形性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设所在的直线为，表示出B，C两点坐标，根据等腰三角形性质，表示出A点坐标，再根据面积差列方程即可求解． 【详解】解：如图，过A作， 设所在的直线为， 当时，，则， 当时，，则； 设， ， 为的中点， 中点， ， ， 与的高相同，均为A的纵坐标减去， 即：， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：24． 11．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结，若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】连接，，过点A作轴，过点D作轴，过点D作，由经过原点，则A与B关于原点对称，再由，为的平分线，可得，进而可得，进一步得到，设点，由，，可得，则，证明，得到，即可根据求得，进而可得答案． 【详解】解：连接，，过点A作轴，过点D作轴，过点D作， ∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴A与B关于原点对称， ∴O是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数k的意义，借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长． 根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点、的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出的值． 【详解】解：矩形的对称轴与坐标轴重合， ，点是矩形的对称中心， 反比例函数的图象也关于点成中心对称， ， ， ， ， ， 设，则，， 点、都在反比例函数的图象上， ，， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 13．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的几何意义，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式求得的面积是关键． 作于点，可得，可证，然后可得，可知，即可求解. 【详解】解：作于点，       已知的面积为 3，的面积为9， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴反比例函数的解析式为：， 故答案为：. 14．如图，四边形为矩形，点A在第三象限，点A关于的对称点为D，点B，D都在函数上，轴于点E．若的延长线交y轴于点F，当矩形的面积为6时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义等知识，如图，连接，．首先证明，推出，推出． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是矩形 ∴， ∵点A关于的对称点为D， ∴, ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点A在第三象限，且， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵点B在函数上，轴, ∴, ∴． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，为函数上的两点，过点作轴，过点作轴，交直线于点，连接，若，，则该函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过作轴于点，由点，为函数上的两点，则，，又，故有，通过，得，设，则，，，得到，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∵轴，过点作轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点，为函数上的两点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点，为函数上的两点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴整理得：， 解得：（舍去），， ∴该函数的解析式是， 故答案为：． 16．如图，点A，B，C在反比例函数的图象上，且直线经过原点，点C在第二象限，连接并延长交x轴于点D，连接，若的面积为5，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键. 过点A作轴于N，过点C作轴于M，则，可证，可得，，设C点坐标为 ，A点坐标为，求得，可得B点坐标为，根据面积公式求解即可. 【详解】解：过点A作轴于N，过点C作轴于M，则，如图： ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∵A、C点在反比例函数的图象上， ∴设C点坐标为 ，A点坐标为 ∴， 则 ∴ ∴ ∴ ∵点A，B在反比例函数y=的图象上，且直线经过原点 ∴B点坐标为 ∵的面积为5 ∴ 解得：； ∴故答案为；. 17．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，过点作轴于点，先确定的坐标关系，利用面积为求出． 【详解】解：过点作轴于点， 轴，轴， ， ， ，则， 点是反比例函数上的点， 设， ，则， 将代入得：， 解得：， ， 的面积为， ，即， 解得：． 故答案为：． 18．如图，正方形的顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作轴交双曲线于点E，连接，则的面积为 【答案】7 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题． 过点作轴，交轴于点，交于点，过点作于点，过点作于点，证明，得出对应边相等，假设，根据相等边列出方程求解，得到点的坐标，然后求三角形的面积即可． 【详解】解：过点作轴，交轴于点，交于点，过点作于点，过点作于点， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴， 假设，点在第三象限，， ∵点A的坐标为， ∴，，， ∴， 解得， ∴，，， ∴点的纵坐标为， 当时，，解得， ∴， ∴的面积为． 故答案为：7 19．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数相结合，交点坐标和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上性质． 设点A的坐标为，点B的坐标为，得到，，由勾股定理得出，求得，，然后利用三角形的面积列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，则，是方程=的两个根， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴=， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．过点A作轴于点E，则，，故可得出，再由得出，根据相似三角形的性质可得出的面积，由即可得出结论． 【详解】解：过点A作轴于点E， ∵轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 类型二、规律性探索问题 1．如图，在函数的图象上有点，点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则 ．(用含n的代数式表示)    【答案】 【分析】由已知信息可得，阴影部分均为矩形，根据反比例函数图象上点的坐标特征和已知条件，用含n的代数式表示出，的坐标，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：由已知信息可得，阴影部分均为矩形， 点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1， ，的横坐标分别为n，， ，在函数的图象上， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是用含n的代数式表示出，的坐标． 2．如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作（为的整数）．函数的图象为． （）若过点，则 ． （）若过，则一定过另一点，则 ． （）若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值： ． 【答案】 【分析】（）先确定的坐标，然后根据反比例函数即可确定的值； （）把的坐标写出来，通过横纵坐标的乘积相等，即可确定另一点； （）先分别求出横纵坐标的积，再从小到大排列，然后让值位于第个和第个或第个和第个点横纵坐标的积之间，即可确定的取值范围，进而确定的整数值； 本题考查了反比例函数图象的特点，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标积等于是解题的关键． 【详解】解：（）由图象可知， ∵函数的图象经过， ∴， ∴， 故答案为：； （）由图象可知：，， ，，，，，，， ， ， ∵过点， ∴， 观察，发现横纵坐标的乘积为， ∴， 故答案为：； （）∵的横纵坐标积分别为：，，，，，，，，，，， ∴将这个点的横纵坐标乘积从小到大排序为：，，，，，，，，，，， ∵第个数与第个数相等， ∴要使这个点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，则必须满足， ∴可取的整数值为， 故答案为：． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作，交轴于点；若，，，都是等腰直角三角形，其中点A，，，，都在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可． 【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…..． ∵直线的关系式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得……都是等腰直角三角形， 设， 则点，点A在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设, 则点，点A1在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 以此类推：点横坐标为：． 故答案为：． 4．如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，用数形结合的方法解答反比例函数的综合性问题是解答本题的关键．分别过点，，作x轴的垂线段，，，垂足分别为点B，C，D，设，可得点的坐标为，代入求得a的值，从而得到点的坐标，再设，可求得点的坐标为，同样可求得b的值，得到点的坐标，同理可进一步求得点的坐标，最后根据点，，的坐标变化规律，即得点的坐标． 【详解】分别过点，，作轴，轴，轴，垂足分别为点B，C，D， 设， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为，则， 解得， ， ， 点的坐标为， 设，可求得点的坐标为， 则， 解得， ， 即点的坐标为， 同理可求得点的坐标为， 点的坐标为． 5．如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．若点是线段上横坐标为整数的点（不与点A、B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合问题：先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围． 【详解】解： 的直角顶点C的坐标为，轴， 则轴， ∴设点， ∵顶点A，B在直线上， 将代入得， 点A的坐标为， 令，解得， 点B的坐标为，代入，得， 双曲线G的解析式为， 点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合）， 分别为、、、、、， 由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图象越远离x轴而越接近y轴，即开口越大， 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值； 当时，有，即； 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值； 当时，有，即； 但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，； 综上，k的取值范围为且， 故答案为：且． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论. 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.    ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ，解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 7．如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，找到规律，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 8．如图，点，点，…点在函数的图象上，，，…都是等边三角形，边、、…都在轴上（是大于或等于2的正整数），点的坐标是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M， 令， 因为是等边三角形，且， 所以， 所以， 则点的坐标可表示为． 将点坐标代入得， ， 解得（舍负）， 所以点的坐标为； 同理可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， 所以点的坐标可表示为． 故答案为：． 9．如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 10．如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质．也考查了三角形面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，，，再根据平行四边形的性质和三角形面积公式可计算出，，，，，所以，，，即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 故答案为：，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 反比例函数K几何意义的两种考法 类型一、几何面积综合问题 1．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在反比例函数位于第四象限的图象上，边与x轴交于点边与y轴交于点．若的面积为，则 ． 3．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ． 5．如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为 ． 6．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 7．如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为 ． 9．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图象恰好过的中点，则点的坐标为 ． 10．如图，等腰中，底边轴，与轴交于点，点A，B在函数的图象上，点在函数的图象上，若与的面积差为．则的值为 ． 11．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结，若，则的面积为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为 ． 13．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 14．如图，四边形为矩形，点A在第三象限，点A关于的对称点为D，点B，D都在函数上，轴于点E．若的延长线交y轴于点F，当矩形的面积为6时，的值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，为函数上的两点，过点作轴，过点作轴，交直线于点，连接，若，，则该函数的解析式是 ． 16．如图，点A，B，C在反比例函数的图象上，且直线经过原点，点C在第二象限，连接并延长交x轴于点D，连接，若的面积为5，且，则 ． 17．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 18．如图，正方形的顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作轴交双曲线于点E，连接，则的面积为 19．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    20．如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为 ． 类型二、规律性探索问题 1．如图，在函数的图象上有点，点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则 ．(用含n的代数式表示)    2．如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作（为的整数）．函数的图象为． （）若过点，则 ． （）若过，则一定过另一点，则 ． （）若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值： ． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作，交轴于点；若，，，都是等腰直角三角形，其中点A，，，，都在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 4．如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点 的坐标是 ． 5．如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．若点是线段上横坐标为整数的点（不与点A、B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 7．如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 8．如图，点，点，…点在函数的图象上，，，…都是等边三角形，边、、…都在轴上（是大于或等于2的正整数），点的坐标是 （用含的式子表示）． 9．如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 10．如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $