专题08 相似三角形之手拉手模型综合（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题08 相似三角形之手拉手模型综合 1．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 2．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 3．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．    （1）问题发现 在图（1）中，_________； （2）拓展探究 将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决 当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 4．（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 5．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 6．在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】 （1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 7．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．    8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 9．如图，和是有公共顶点直角三角形，，点P为射线，的交点． （1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度 10．观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 11．某校数学活动小组探究了如下数学问题：    (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 12．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 13．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 14．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 15．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 16．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 17．如图，在四边形中，平分，且，点E是的中点，连接交于点F． （1）求证：； （2）当时，求； （3）是否存在点F，使F是的三等点？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由； （4）求的最大值． 18．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P． （1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是　 　． （2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由． （3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长． 19．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似三角形之手拉手模型综合 1．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析；当时，有最大值 (3)点运动到的中点 【分析】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，即可用证明即可得出结论； （2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，． 【详解】（1）解：， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， ∴ 当时，有最大值为； （3）解：当E点是的中点时，． 理由如下： ∵ E是中点， ∴ ， ∴ ． 又∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 2．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 3．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．    （1）问题发现 在图（1）中，_________； （2）拓展探究 将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决 当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）的大小无变化，证明见解析；（3）或 【分析】（1延长FG交BC于点H，可根据题意分别求出，的长，即可求的值； （2）连接，先由勾股定理计算的值，再计算，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可； （3）采用分类讨论法解题，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，据此分别求解即可. 【详解】（1）解：延长FG交BC于点H， 则 ， ， 故答案为：    （2）的大小无变化. 证明：如图（1），连接， 由题意可知：， ∴， 即， 在矩形中，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）或 如图（2），图（3）：    如图（2），当点在线段上，由（2）知，，，在中， ； 当点在的延长线上时，由（2）知，，，在中， 综上所述，或 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键. 4．（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2 【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°； （2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD= DM=2． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 5．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2． 【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论； ②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可； （3）同（2）的方法得出，即可得出结论； 【详解】解：（1）①∵DE∥BC， ∴， 由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ②在Rt△ABC中，AC=BC， ∴， 由①知，△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， ∵△ABD∽△ACE， ， ∴， ∵ ∴ 在Rt△CDE中， 根据勾股定理得，DE=2， 在Rt△ADE中，AE=DE， ∴ （2）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=4，BD=3， ∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2， ∴1+9k2=16-16k2， ∴或（舍）， （3）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=p，BD=n， ∴， ∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，， ∵， ， ∴4p2=9m2+4n2． 【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用． 6．在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】 （1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题； （2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题； （3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2． 故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵=， =， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴=，∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=EC2+BE2， ∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中， ∵∠AED=45°，D，E，C共线， ∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC， ∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°， ∴∠BDE=∠BED=45°， ∴BD=BE， ∴DE=BD， ∵EC=BD， ∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=2， ∴AC=2， 在Rt△ADC中， ∵AD2+DC2=AC2， ∴x2+4x2=40， ∴x=2（负根已经舍弃）， ∴AD=DE=2， ∴BD=BE=2， ∴S△BDE=×2×2=2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 7．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．    【答案】（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论； （3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴ ∴， 在△AEB和△AGD中， ， ∴， ∴； （2）当时，， 理由如下： ∵， ∴ ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在△AEB和△AGD中， ， ∴， ∴； （3）设与交于Q，与交于点P，    由题意知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，， ∴ ， ∵，，， ∴，， 在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等． 8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证； （2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC ∴△ABC为等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴△PBD为等边三角形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）过点作，如下图： ∵当α＝120°时， ∴， ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴ 由旋转的性质可得：， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度 当在线段上时，如下图： 由题意可得： ∵α＝120°， ∴ 在中，，∴， 在中，，，∴ ∴， 由（2）得 由旋转的性质可得： 设，则 由勾股定理可得： 即，解得 则 当在线段延长线上，如下图： 则， 由（2）得， 设，则 由勾股定理可得： 即，解得 则 综上所述：点D到CP的距离为或 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 9．如图，和是有公共顶点直角三角形，，点P为射线，的交点． （1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）PB的长为或． 【分析】（1）由条件证明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，进而得出BD⊥CP； （2）先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论； (3) 分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：（1）证明：如图， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE， 即∠BAD=∠CAE． ∵和是等腰直角三角形， ∴， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠CAB=90°， ∴∠ACF+∠AFC=90°， ∴∠ABP+∠BFP=90°． ∴∠BPF=90°， ∴BD⊥CP； （2）（1）中结论成立，理由： 在Rt△ABC中，∠ABC=30°， ∴AB=AC， 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， ∴AD=AE， ∴ ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ADB∽△AEC． ∴∠ABD=∠ACE 同（1）得； （3）解：∵和是等腰直角三角形， ∴， ①当点E在AB上时，BE=AC-AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE=． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC． ∴ ∴． ∴PB=． ②当点E在BA延长线上时，BE=5． ∵∠EAC=90°， ∴CE=5． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC． ∴． ∴． ∴PB=． 综上所述，PB的长为或． 【点睛】此题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键． 10．观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立 (3) 【分析】（1）利用可证明，继而得出结论； （2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：结论仍成立； 理由如下：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （3）解：； 理由如下：，， ∴， 又∵， ， ∴， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 11．某校数学活动小组探究了如下数学问题：    (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系； （3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：判断，理由如下： ∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接BD，如图所示，    ∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 12．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】(1)1，； (2)，，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 13．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 14．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系． （1）根据三角形中位线可直接得出结论； （2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论； （3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点， ∴ 由题意∶， ∴， 由旋转知 ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即：， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵， ∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴，∴； 综上所述：的长为或． 15．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 16．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及旋转变换的性质，． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解. 【详解】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 17．如图，在四边形中，平分，且，点E是的中点，连接交于点F． （1）求证：； （2）当时，求； （3）是否存在点F，使F是的三等点？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由； （4）求的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，∠DBA=60°；（4）45° 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）如图1，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，推出，设，则，由勾股定理得，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）①当时．求得，即，推出不可能； ②当时； 如图1所示，根据相似三角形的性质得到，设，则，，根据，，得到； （4）如图2，连接，过点作，根据角平分线的性质得到，当与重合时，最大，也就是最大，即的最大值为的长度．根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）如图1，连接， ，为的中点， ， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵∠1=30° 设，则， 由勾股定理得，， ，， ， ； （3）①当时， 则，即， ， 不可能； ②当时； 如图1所示， 由（2）得， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ； （4）如图2，连接，过点作， 平分，，， ， 当与重合时，最大，也就是最大， 即的最大值为的长度． ， 又， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查了相似形的综合题，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P． （1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是　 　． （2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由． （3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长． 【答案】（1）BE＝DF；（2）不成立，结论：DF＝nBE；理由见解析（3）或 【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论； （2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论； （3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF， 理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形， AE=AB，AF=AD， ∴AE=AF， ∵∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠BAE=∠DAF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=DF， 故答案为：BE=DF； （2）结论不成立，结论：DF=nBE， ∵AE=AB，AF=AD，AD=nAB， ∴AF=nAE， ∴AF∶AE=AD∶AB， ∴AF∶AE=AD∶AB， ∵∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠BAE=∠DAF， ∴△BAE∽△DAF， ∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF， ∴DF=nBE； （3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时， 在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=AB=4， ∴BE==， ∵△ABE∽△ADF， ∴=， ∴=， ∴DF=， ∵四边形AEPF是矩形， ∴AE=PF=4， ∴PD=DF-PF=； 如图4-2中，当点P在线段BE上时， 同法可得DF=，PF=AE=4， ∴PD=DF＋PF=， 综上所述，满足条件的PD的值为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题． 19．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $