精品解析：四川省彭州中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试（二）数学试题

彭州中学2024-2025学年度高三下学期高考数学模拟考试试题（二） *高2022级数学组祝愿所有同学高考成功！* 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述可得，由非空子集个数与集合元素个数的关系求的所有非空子集的个数. 【详解】由题设，，即8可被整除且，， ∴，故集合的所有非空子集的个数为. 故选：C 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，即可求得答案. 【详解】由于，所以的虚部为2， 故选：B 3. 从甲、乙、丙、丁4人中选取一名志愿者参加社区活动，那么被选中的人是甲或乙的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解甲被选中与乙被选中的概率，再求并事件概率即可． 【详解】设“甲被选中的事件”为A，“乙被选中的事件”为B 则， 所以被选中的人是甲或乙的概率是 故选：C 4. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得. 【详解】是奇函数， 时，． 当时，，，得．故选D． 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 5. 某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，根据侧面积，可求得r值，进而可求得圆锥高h，代入公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，则底面圆周长为， 所以侧面面积，解得， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：C 6. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】 故选：D 7. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：易知，所以，由，得，所以. 故选：C 8. 今天是星期四，经过天后是星期（ ） A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1，然后利用周期性进行计算即可． 【详解】解：一个星期的周期是7， 则， 即除以7余数是1， 即今天是星期四，经过天后是星期五， 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 10. 已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是( ) A. 数列的通项公式为 B. C. 数列的通项公式为 D. 的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件可求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和，从而可求，利用裂项相消法可求，讨论数列的单调性，即可得出的范围. 【详解】A：由可得，∴等比数列的公比，∴. 由是与的等差中项，可得， 即，解得，∴，∴A不正确； B：，∴B正确； C：，∴C不正确； D： ， ∴数列是递增数列，得，∴，∴D正确. 故选：BD. 11. 抛物线的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于、两点点在轴的下方，抛物线的准线为，交于，交于，点，为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有（    ） A. 若，则 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦半径结合图形关系即可判断A,根据三点共线即可判断B，根据焦点弦即可求解C，联立方程根据向量垂直即可求解. 【详解】对于A;设，过做于点，则，，易得 ，从而A正确 对于过、分别作、于点、，则,当三点共线时，此时最小值为 ,从而B正确 对于由 得, ,，当时，，C错误 对于D,由 得，， ，从而，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个数列有没有可能同时是等差数列和等比数列？___________（请直接回答“是”或者“否”） 【答案】是 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列定义直接判断得解. 【详解】非零常数列是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列， 所以一个数列可能同时是等差数列和等比数列. 故答案为：是 13. 若函数在处的切线与直线平行，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据斜率相等，结合切点处的导数值即可求解. 【详解】由题意可得，所以，解得， 故答案为：0 14. 已知平面四边形ABCD中，，，，且是正三角形，则的值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据图形由数量积的运算律直接求解即可. 【详解】由已知可得 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 等比数列中，，． （1）求的通项公式： （2）记为的前n项和，若，求m． 【答案】（1）或． （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式； （2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 等比数列中，，． ，解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，或． 【小问2详解】 记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得． 16. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）极小值为；无极大值（2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求得函数单调性，找出极值点，进一步求出极值． （2）根据（1）可得函数的最小值，然后求出端点值进行比较，即得最大值． 【详解】（1）由题意得：定义域为，， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值； （2）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，，，. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值和区间内的最值的问题；关键是能够利用导数求得函数的单调性，进而确定极值点和最值点. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明. （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 底面，底面，， 即是直角三角形，， 又E是的中点，， 同理可得，且，，平面， 平面，， 在直角中，， ，， 又，二面角的平面角为， . 二面角的平面角的余弦值为. 18. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）分两种情况求出概率，相加得到答案； （2）求出X的所有取值及对应的概率，得到分布列和期望值. 【小问1详解】 选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为， BAT中有3个的概率为， 故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为． 【小问2详解】 由题意，X的所有取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）①设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭州中学2024-2025学年度高三下学期高考数学模拟考试试题（二） *高2022级数学组祝愿所有同学高考成功！* 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 从甲、乙、丙、丁4人中选取一名志愿者参加社区活动，那么被选中的人是甲或乙的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= A. B. C. D. 5. 某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 今天是星期四，经过天后是星期（ ） A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是( ) A. 数列的通项公式为 B. C. 数列的通项公式为 D. 的取值范围是 11. 抛物线的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于、两点点在轴的下方，抛物线的准线为，交于，交于，点，为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有（    ） A. 若，则 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个数列有没有可能同时是等差数列和等比数列？___________（请直接回答“是”或者“否”） 13. 若函数在处的切线与直线平行，则________． 14. 已知平面四边形ABCD中，，，，且是正三角形，则的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 等比数列中，，． （1）求的通项公式： （2）记为的前n项和，若，求m． 16. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在区间上的最值． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 18. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $