精品解析：辽宁省盘锦市盘山县甜水农场中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026 学年度第一学期第一次质量检测 八年级数学试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分） 1. 下列三条线段，能组成三角形的是 （ ） A. 1，2，3 B. 1，4，2 C. 2，3，4 D. 6，2，3 2. 如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙 D. 丙 3. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B. 三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C. 三角形的三条高不一定都在三角形内部 D. 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 6. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，平分，，则（ ） A. B. C. D. 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（ ） A. 55° B. 125° C. 125°或55° D. 35°或145° 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 如图，，则_______________． 12. 若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是______． 13. 如图，某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，其中蕴含的数学道理是______ 14. 若是三角形的三边，化简：___________． 15. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 三、解答题（共 75 分） 16. 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 17. 如图，，，垂足分别为 E、F，且，求证：． 18. 如图，已知中，平分交于，于，，，求的度数． 19. 如图，已知，，，求证：． 20. 如图， ，，，垂足分别为 D，E，，．求的长 21. 已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． （1）是否平分？请证明你的结论； （2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 22. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 23. 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图① ， 在 中，，直线 l 经过点 A，直线 l，直线 l，垂足分别为 D、E．求证： （2）在（1）的条件下直接写出的数量关系为 ； （3）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图② ， 将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线 l上，并且有， 其中 α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第一学期第一次质量检测 八年级数学试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分） 1. 下列三条线段，能组成三角形的是 （ ） A. 1，2，3 B. 1，4，2 C. 2，3，4 D. 6，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．对各选项逐一验证即可． 【详解】判断三条线段能否组成三角形，需满足任意两边之和大于第三边． 选项A：1，2，3．最长为3，，不满足两边之和大于第三边，排除． 选项B：1，4，2．最长为4，，不满足条件，排除． 选项C：2，3，4．最长为4，，满足条件，可组成三角形． 选项D：6，2，3．最长为6，，不满足条件，排除． 综上，只有选项C符合三角形三边关系． 故选：C． 2. 如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙 D. 丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要． 甲只有两条边长对应相等，但角无法对应；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，可得答案． 【详解】解：甲三角形只知道两条边长对应相等，但角无法对应，无法判断是否与全等； 乙三角形夹内角及其两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等； 丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定丙与全等； 则与全等的有乙和丙， 故选：B． 3. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理求角是解题的关键；根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的分类即可得解． 【详解】解：， ， 是钝角三角形， 故选：． 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B. 三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C. 三角形的三条高不一定都在三角形内部 D. 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形的中线，三角形的高等知识，根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【详解】解：A、三角形的高不一定在三角形内，A选项错误，不符合题意； B、根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，至少有两个锐角，B选项错误，不符合题意； C、三角形的三条高不一定都在三角形内部，C选项正确，符合题意． D、三角形的高，角平分线，中线都是线段，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定．根据“边角边”证明，可推出，，可判断①②③正确，根据三角形中线的性质可判断④正确． 【详解】解：是的中线， ，和面积相等．故④正确； 在和中， ，故①正确； ，，故②正确； ，故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：D． 7. 如图，已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等角的补角相等，由等角的补角相等得，然后证明，则，根据三角形内角和定理求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，在中，平分，平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50=130°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是将三角形的内角和定理和角平分线的性质相结合，注意整体思想的应用． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（ ） A. 55° B. 125° C. 125°或55° D. 35°或145° 【答案】C 【解析】 【分析】分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠A=55°； 如图（2）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠BAD=55°， ∴∠BAC=125°； 综上所述，它的顶角度数为：55°或125°． 故选：C．        【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类并画出图形是解题的关键． 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 如图，，则_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 12. 若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分为腰长和为底边长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当为底边长时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：22． 13. 如图，某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，其中蕴含的数学道理是______ 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键．根据三角形的稳定性即可得出答案． 【详解】解：桥身采用三角形钢结构架，三角形的稳定性， 则蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 14. 若是三角形的三边，化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 15. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共 75 分） 16. 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可得到答案．本题主要考查三角形的中线，熟练掌握“三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线”是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， ∴比长． 17. 如图，，，垂足分别为 E、F，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，先证明，，再利用证明，则可证明，即可证明． 【详解】略 18. 如图，已知中，平分交于，于，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义；根据已知得出，进而得出，根据角平分线的定义可得，进而求得，然后根据直角三角形中两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：， 又平分 19. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质知识点． 判定：通过“边角边”定理，即两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，证明，(利用推导出，结合已知、) 性质：全等三角形的对应角相等，由此得出． 【详解】略 20. 如图， ，，，垂足分别为 D，E，，．求的长 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．根据等角的余角相等可得，然后利用证出，从而得出，，即可求出的长． 【详解】解： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ． 21. 已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． （1）是否平分？请证明你的结论； （2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1） 解：平分， 证明：过点作，垂足为， 平分， ， ，， ， 是的中点， ， ， ，， 平分； （2） 解：，理由如下： ， ， ， ， 又，， ， ， ． 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质及平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再求出，从而证明平分； （2）利用两直线平行同旁内角互补可得，所以两直线垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图① ， 在 中，，直线 l 经过点 A，直线 l，直线 l，垂足分别为 D、E．求证： （2）在（1）的条件下直接写出的数量关系为 ； （3）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图② ， 将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线 l上，并且有， 其中 α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1） 解：直线l，直线l，垂足分别为D、E， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ； （2）， （3） 成立，证明如下： 在中，， 根据邻补角定义得：， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 先证明，进而依据“”判定； （2）由得，由此即可得出的数量关系； （3）先证明，进而依据“”判定，得，则，由此即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，理由见解析， 由（1）可知， ， ， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $