精品解析：河北省廊坊市固安县 2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

河北省廊坊市固安县+2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 4. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 5. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 11. 如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 14. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 15. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 16. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. （1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 19. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 20. 阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数a，b满足，试求的值． 21. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款200个，款300个，需花费14000元；购进款100个，款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价为元，如果商家出售款纪念品想要获得4000元的利润，那么每个A款纪念品的售价应该为多少元？ 22. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（其中，），输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为． （1） ， ， ． （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图． ①当y随x的增大而增大时，求的取值范围． ②若关于x的方程（，t为实数）在时无解，求t的取值范围． 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省廊坊市固安县+2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，含未知数的项的最高次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．，含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D．，分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 2. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，去括号、移项、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ，即． 故选：B 3. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 4. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 7. 在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可． 【详解】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能． B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能． C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能． D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键． 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 9. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 11. 如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 12. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 16. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：如图所示： 当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即 解得， 所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. （1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 19. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； 画出函数图象，如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 20. 阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了换元法解高次方程． （1）仿照题干求解即可； （2）仿照题干求解即可． 【小问1详解】 设， 原方程可转化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程的解为； 【小问2详解】 设， 原方程可转化为， 解得． ∵， ∴舍去， ∴． 21. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款200个，款300个，需花费14000元；购进款100个，款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价为元，如果商家出售款纪念品想要获得4000元的利润，那么每个A款纪念品的售价应该为多少元？ 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 （2）至少需要购进B款纪念品200个 （3）A款纪念品的售价应该为60元或80元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程（组）和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，根据题意，列出不等式，即可求解； （3）当售价为a元时，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，由题意得， ， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，由题意得， ， 解得：， 的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个． 【小问3详解】 解：当售价为a元时，根据题意，可列方程： ， ， 解得：或， 答：A款纪念品的售价应该为60元或80元． 22. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（其中，），输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为；输入的值为时，输出的值为． （1） ， ， ． （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图． ①当y随x的增大而增大时，求的取值范围． ②若关于x的方程（，t为实数）在时无解，求t的取值范围． 【答案】（1）1，1， （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图形的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据题意，把代入，将，和，分别代入即可求解； （2）①根据题意，可得二次函数解析式，由一次函数，二次函数图象的性质即可求解； ②根据题意可得，问题转化为抛物线与直线在时无交点，由二次函数解析式得到顶点坐标为，所以当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，当时，，则当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，由此得到当或时，抛物线与直线在时没有交点，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 将，代入，得，解得． ，， 将，和，分别代入， 得解得 【小问2详解】 ，，， 一次函数表达式为，二次函数表达式为， 当时，，其对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而增大． 当时，， 当时，随的增大而增大． 综上所述，的取值范围是或． 在时无解， 在时无解， 问题转化为抛物线与直线在时无交点． 对于，顶点为， 当时，；当时，，图象如图． 观察图象可得，当或时，关于的方程在时无解． 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）①；②存在，或或 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $