湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次诊断性练习数学试题

2025年下学期高一第一次诊断性练习 数学试卷 时量120分钟总分150分 一、单选题（本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知集合满足，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 4．如果x，y是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 6．若，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分． 9．下列函数相等的是（    ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 10．已知，且，则（    ） A．的最大值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 11．已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为 13．已知，且，则的最小值为 ． 14．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设为实数，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 16．（15分）（1）已知集合， 若命题p:“”是命题q:“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 17（15分）．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 18．已知函数，函数，其中 （1）若恒成立，求实数t的取值范围； （2）若， ①求使得成立的x的取值范围； ②求在区间上的最大值． 19．（17分）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; (3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年10月15日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B A B A B AB ABC 题号 11 答案 BD 8．B 【详解】（1）当或时，， 不等式为， 若不等式恒成立，必需 所以； （2）当时，， 不等式为即， （ⅰ）当时，不等式对任意恒成立， （ⅱ）当时， 不等式恒成立即恒成立， 所以，解得， （ⅲ）当时， 不等式恒成立即恒成立， 所以，解得 综上，实数的取值范围是 11．BD 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 12． 13．4 14． 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示： 当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)，或 (2) 16．(1)｛m-1≦m<0或m>2｝；（2）. （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 17．(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 18．（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得， 所以； （2）①当时，，所以，解得； 当时，，所以， 因为，所以， 所以无解， 综上所述：的取值范围是； ②由①可知：， 当时，，所以，所以； 当时，的对称轴为，所以， 且，所以， 令，所以，所以， 综上可知：. 19．(1)最小值，最大值为；是 (2) (3)8 【详解】（1）根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. （2） ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. （3） 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $