精品解析：重庆市潼南区2025-2026学年九年级上学期第一次联合测试数学试题

2023级九年级上期第一次联合测试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列命题错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为 C. 与y轴交点坐标为 D. 用配方法得到的解析式为： 8. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 有如下的一列等式： ，，，，……， 若将记为，其中n为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的有（ ） ①若，则； ②若，那么的所有系数之和为； ③若，那么当时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__________． 12. 二次函数y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是_____． 13. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 14. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 15. 对于二次函数，点和在函数图象上，则________（填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为____________． 16. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则______；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为______． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚，江北区某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛．现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A．；B．；C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 84 b 众数 a 76 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 20. 如图，在四边形中，，．连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， ______． ， ， ，， （______）， ， ______， 即， ， ， ， 四边形是______． ______． 四边形为菱形． 21. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 22. 如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①；②．经勘测，点A在点B的正西方5千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方10千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 23. 米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多7个，购买哪吒手办共需1105元，敖丙手办共需500元． （1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ （2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值． 24. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求a的值和点B的坐标； （2）如图1，点P为直线上方抛物线上的一点，过点P作轴交AC于点Q，再过点P作于点H，求最大值时点P的坐标以及此时周长的最大值． 25. 在直角中，，点是直线上一点，，垂足为点，于点，点为的中点，连接． （1）如图，若，，求线段的长； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级九年级上期第一次联合测试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】∵， ∴最小的数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成． 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念找出答案即可． 【详解】一元二次方程概念中要求只含有一个未知数，有二次项且二次项系数不为0，故A,B,C三项错误， 故选：D． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念，难度一般． 3. 将抛物线向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则，上“+”下“-”便可得到． 【详解】解：向下平移3个单位 故选B 【点睛】本题考查抛物线平移知识，掌握平移方法是关键． 4. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． 【详解】解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0， ∴方程无实数根． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 5. 如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在一次函数图象上方横坐标的取值范围即可 【详解】解：根据图象得二次函数与一次函数图象的交点横坐标为和， ∴当时，二次函数图象在一次函数图象上方， ∴当时，x的取值范围是， 故选：C 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 7. 关于二次函数，下列命题错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为 C. 与y轴交点坐标为 D. 用配方法得到的解析式为： 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴对称轴：，选项B正确； ∵， ∴二次函数图象开口向下，选项A正确； 令，则， ∴与y轴交点坐标为，选项C正确； ∴，选项D错误； 故选：D． 8. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，有理数的计算，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4是解题的关键．根据所给图形，依次求出图案中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图中正方形的个数为：； 第②个图中正方形的个数为：； 第③个图中正方形的个数为：； ， 所以第个图中正方形的个数为个． 当时， （个， 即第⑨个图中正方形的个数为个． 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 10. 有如下的一列等式： ，，，，……， 若将记为，其中n为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的有（ ） ①若，则； ②若，那么的所有系数之和为； ③若，那么当时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式中规律问题，解题关键在于读懂题意进行计算． ① 时代入到 中计算即可； ②令，即可计算出结论错误； ③当 时代入得 再令， 得两式再相加即可． 【详解】解：①若， ，故①正确； ②若 则 令，则 的所有系数之和为1．故②错误； ③若， 那么当时，， ， ， ， 令得，， 令 得， 两式相加的， ． 则③正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据零指数幂及绝对值计算即可． 【详解】； 故答案为3． 【点睛】本题比较简单，考查含零指数幂的简单实数混合运算，熟记公式是关键． 12. 二次函数y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是_____． 【答案】（5，3） 【解析】 【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），进行解答． 【详解】解：∵y＝2（x﹣5）2+3， ∴顶点为（5，3）， 故答案为：（5，3）． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点． 13. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 14. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 对于二次函数，点和在函数图象上，则________（填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为____________． 【答案】 ①. > ②. 0或3． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把点和代入进行计算，即可判断和；结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵二次函数，点和在函数图象上， ∴，， ∴； ∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：>，0或3． 16. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则______；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为______． 【答案】 ①. 162 ②. 4114 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合，的取值范围，可得，从而得到的最小值，充分理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：162，4114． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了直接开方法，因式分解法解一元二次方程，能够根据方程的特点选择合适的方法解方程是本题的关键． （1）方程两边同时除以2，利用直接开方法进行解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解：． ， 或， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 【答案】，，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值,分式有意义的条件，完全平方公式，平方差公式．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把符合题意的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， ∵且， ∴且， ∴选，则原式． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚，江北区某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛．现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A．；B．；C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 84 b 众数 a 76 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 【答案】（1）83，85，30 （2） 解：八年级学生的科普知识竞赛成绩较好， 因为八年级学生科普知识竞赛成绩的中位数大于七年级，所以八年级学生的科普知识竞赛成绩较好（答案不唯一，合理均可）； （3）220 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，用样本估计总体， （1）根据中位数和众数的定义求解，八年级成绩在C组人数所占百分比列式计算即可； （2）根据中位数、众数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中83最多， ∴七年级10名学生的竞赛成绩众数为83， ∴， 八年级10名学生的竞赛成绩在A组的人数为（人）， 所以八年级10名学生的竞赛成绩的中位数， 八年级成绩在C组的人数为（人）， 所以八年级成绩在C组人数所占百分比，即； 故答案为：83，85，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是220人． 20. 如图，在四边形中，，．连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， ______． ， ， ，， （______）， ， ______， 即， ， ， ， 四边形是______． ______． 四边形为菱形． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2），等角的余角相等，，平行四边形， 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理是解题的关键； （1）分别以点B、C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，分别交于点，交于点，进而问题可求解； （2）由（1）易得，然后可得，进而根据菱形的判定定理可进行求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 【答案】（1） （2） 画图，如下： 当时，有最小值为3； （3）或 【解析】 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）分点P在和上讨论即可； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：平行四边形中，，，， 如图，过点A作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵，， 当时，，， ∴； 当时，如图，， ∵，， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当或时，的图象与的图象有1个公共点． 22. 如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①；②．经勘测，点A在点B的正西方5千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方10千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1） （2）选择② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角问题，根据已知条件添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，根据垂直的定义得到，证明四边形是矩形，根据解直角三角形的相关计算进行计算即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出，最后分别求出路线①与②的总路程并比较大小即可． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， ， 根据题意得：， 四边形是矩形， ， 在中， ∴（千米）， （千米）， （千米）， 在中，， ∴,, 即 或（不符合题意，舍去）， （千米）； 【小问2详解】 解：应该选择路线②，理由如下； 在中，（千米）， ， ， ∴, 路线①总路程（千米）， 路线②总路程（千米）， ， 故选路线②． 23. 米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多7个，购买哪吒手办共需1105元，敖丙手办共需500元． （1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ （2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值． 【答案】（1）哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元 （2）m的值为4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）由（1）得出计划购买敖丙手办10个，哪吒手办17个，根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， ， 解得 ， 经检验是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元； 【小问2详解】 由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个， 根据题意得，， 解得 或（舍去）， 答：m的值为4． 24. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求a的值和点B的坐标； （2）如图1，点P为直线上方抛物线上的一点，过点P作轴交AC于点Q，再过点P作于点H，求最大值时点P的坐标以及此时周长的最大值． 【答案】（1）， （2）的周长有最大值，此时 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，利用二次函数求最值，特殊角的三角函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，可得，分别求得，，则的周长都可以表示为的二次函数， 对此利用二次函数求最值即可，并可求出此时的坐标． 【小问1详解】 解：将代入抛物线得： ， ， ∴二次函数解析式为， 令即， ， ； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， 当时，， ， ， ， 设直线的解析式为，代入，， ， 解得， 直线的解析式为， ，轴， ， ，， 的周长， 设，则， ， 当时，有最大值， 把代入， 此时， 的周长， 当时，的周长有最大值． 25. 在直角中，，点是直线上一点，，垂足为点，于点，点为的中点，连接． （1）如图，若，，求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接，设相交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵在等腰中，为斜边的中点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出，再根据三角形的面积利用等面积法解答即可求解； （）连接，设相交于点，可证，得到，，再根据等腰直角三角形的性质可得，，进而可证，得到，，即可得，得到是等腰直角三角形，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，垂足为点， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $