第三章 勾股定理（复习课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理的定义、证明、勾股数、逆定理及应用，通过单元知识图谱将核心内容串联，并分考点详细解析，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“题型剖析-变式训练-技巧总结”模式，如折叠问题、最短路径等例题变式，结合“见直角想勾股”心法，培养推理能力与几何直观，分层练习满足不同需求，助力教师高效备课和学生知识巩固。

单元复习课件 第三章 勾股定理 鲁教版·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，探索并掌握勾股定理，了解其证明方法，发展学生的几何直观和推理能力，并能在实际问题中运用该定理解决简单问题，体会数学的应用价值。 3.勾股定理的证明。理解并接受“以形证数”的经典证明方法（如拼图法、赵爽弦图等），将图形的面积关系转化为恒等式 a² + b² = c²，实现从感性认识到理性认识的跨越。 2.探索并掌握勾股定理。通过动手实践和计算归纳，理解直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 单元学习目标 定义 勾股定理 勾股数 证明 最值问题 勾股定理 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 定义 应用 实际问题 勾股定理的逆定理 基本思路 常见题型 折叠问题 梯子问题 3,4,5 6,8,10 5,12,13 单元知识图谱 考点一、 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于_______ 的平方。 用 𝑎,𝑏表示直角边，𝑐 表示斜边，则公式为 _____________。 2.中国古代把直角三角形较短的直角边称为_______ ，较长的直角边称为______ ，斜边称为 ____________. 平方和 斜边 勾 股 弦 考点串讲 考点二、 勾股定理的验证 3.勾股定理的验证常用__________ ，这种方法是以数形转换为指导思想,图形拼补为手段,各部分面积之间的关系为依据来实现的,用两种方式表示图形面积(算两次),根据面积相同得到等量关系,进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法 考点串讲 考点三、勾股数 3, 4, 5 1.勾股数是指满足 的三个 正整数，例如____________ （写出一组即可） 2. 1 常见的勾股数形式包括： _______________. （𝑛>1的整数） 3. 判断三个数是否为勾股数的步骤：先确认均为正整数，再计算______________ 是否等于另两个数的平方和。 最大数的平方 考点串讲 考点四、 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则该三角形_____________。 2. 判断直角三角形时， 若从边长判断，需满足两条较短边的平方和等于___________________。 直角三角形 最长边的平方 考点串讲 考点五、 勾股定理的应用 1.立体图形中的最短路径问题:利用“两点之间,线段最短"将立体图形侧面展开,再构造__________求解; 2.最短路程问题:利用轴对称作__________,构造直角三角形求解. 3.航行问题:理解方向角的概念,根据题意作出图形,利用勾股定理解题. 4.勾股定理在实际应用中常结合方程思想. 直角三角形 对称点 考点串讲 例1：  题型一、勾股定理 B 解析：∵∠BAD=90°,AD=3,AB=4, ∴BD2=AD2+AB2=32+42=52, ∵∠DBC=90°,BC=12, ∴DC2=BD2+BC2=52+122=132,∴DC=13.故选B. 　 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DBC=90°,AD=3,AB=4,BC=12,则DC的长为 (　    ) A.5　　     B.13　　     C.17　　    D.18 题型剖析 题型一、勾股定理 勾股定理 第一种： 见直角，直接用 第二种：无直角，构造用 当问题中不存在现成的直角三角形时，需要通过添加辅助线，主动构造出一个或多个直角三角形，从而应用勾股定理。 题型剖析 变式： 题型一、勾股定理 7 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S2+S3+S4=98,则四边形ABCD的对角线BD的长为____________ . 题型剖析 变式： 题型一、勾股定理 解析：由题意知S1=AB2,S2=BC2,S3=CD2,S4=AD2, ∵∠DAB=∠BCD=90°,∴BD2=AD2+AB2=CD2+BC2, 即S1+S4=S3+S2, ∵S1+S2+S3+S4=98,∴S1+S4=S3+S2=49,∴BD=7, 故答案为7. 题型剖析 题型二、勾股定理的验证 例2： 96 我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c,若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为　　    .   题型剖析 题型二、勾股定理的验证 例2： 解析　根据勾股定理可知a2+b2=c2=202, ∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积,∴c2=4× ab+(b-a)2, 即400=2ab+42,整理得2ab=384, ∴每个直角三角形的面积为 ab=96.故答案为96. 题型剖析 题型二、勾股定理的验证 勾股定理的验证的技巧 （1）“图形拼补，算两次面积，等量代换”。 （2）通过不同的方法计算同一个图形的面积， 列出等量关系，经过代数恒等变形， 最终推导出 a² + b² = c²。 题型剖析 题型二、勾股定理的验证 变式：    中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题. (1)试说明a2+b2=c2. (2)如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是4,求(a+b)2. 题型剖析 题型二、勾股定理的验证 变式：    解析     (1)由题意可得大正方形的面积为c2,每个直角三角形 的面积为 ab,小正方形的面积为(b-a)2, ∴c2=4× ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2, 即c2=a2+b2. (2)易知(b-a)2=4,4× ab=12-4=8, ∴2ab=8, ∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=4+2×8=20. 题型剖析 题型三、勾股定理的简单应用 例3： 如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的距离AB=2.4米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.当身高为1.8米的市民(CD)正对门缓慢走到离门0.8米的地方时(即BC=0.8米),感应门自动打开,此时人头顶离感应器的距离AD等于____________米.   1 题型剖析 题型三、勾股定理的简单应用 勾股定理的简单应用的技巧 核心心法：见直角，想勾股 只要在图形中看到直角三角形（或可以通过辅助线构造出直角三角形），并且已知两边求第三边，就应立即想到使用勾股定理。 题型剖析 变式： 题型三、勾股定理的简单应用 解析　如图,过点D作DE⊥AB于点E, ∵AB=2.4米,BE=CD=1.8米,ED=BC=0.8米, ∴AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6(米), 在Rt△ADE中,由勾股定理得, AD2=AE2+DE2=0.62+0.82=1,∴AD=1米. ∴人头顶离感应器的距离AD等于1米. 故答案为1. 题型剖析 题型四、勾股数 例4： 解析： 当a最大时,a2=32+42=25; 当4最大时,a2=42-32=7,∵7不是正整数的平方, ∴不能与3,4构成勾股数. 故答案为25.  　 若3,4,a为勾股数,则a的平方为__________ .  25 题型剖析 题型四、勾股数 勾股数的解题技巧 （1）技巧一：记忆常见勾股数，直接应用 （2）技巧二：利用倍数关系进行验证和求解 （3）技巧三：掌握生成公式，应对未知边 𝑎=− 𝑏=2𝑚𝑛 𝑐= 题型剖析 题型四、勾股数 变式： 若正整数a,b,c是一组勾股数,则下列各 组数一定是勾股数的为 (　    ) A.3a,4b,5c　　    B.a2,b2,c2 C.3a,3b,3c　　    D.a+3,b+3,c+3 C 解析　根据题意,不妨设c最大,则a2+b2=c2, ∵(3a)2=9a2,(3b)2=9b2,(3c)2=9c2,9a2+9b2=9(a2+b2)=9c2, ∴(3a)2+(3b)2=(3c)2,∴3a,3b,3c一定是勾股数,故C正确. 故选C. 题型剖析 例5： 题型五、直角三角形的判定条件 △ABC的三边长为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则该三角形是 (　    ) A.以a为斜边长的直角三角形 B.以b为斜边长的直角三角形 C.以c为斜边长的直角三角形 D.锐角三角形 解析　∵原式可化为c2+b2=a2, ∴此三角形是直角三角形,斜边长为a.故选A. A 题型剖析 题型五、直角三角形的判定条件 直角三角形的判定条件解题技巧 思维路径： 已知三边长度 → 计算平方关系 → 判定三角形形状 核心技巧：计算与比较 通过计算三角形三边长的平方，并比较两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，从而从数量关系反推图形的形状。 题型剖析 题型五、直角三角形的判定条件 变式： 如图,在5×5的正方形网格中,从格点A,B,C,D中任取三点, 所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 (　    )  A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4 C 解析　连接AB,AC,AD,BC,CD,BD(图略), 设小正方形的边长为1,由勾股定理得AB2=12+22=5, AC2=22+42=20,AD2=12+32=10,BC2=52=25, CD2=12+32=10,BD2=12+22=5,所以AB2+AC2=BC2, AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2,所以△ABC,△ADC,△ABD是直角 三角形,共有3个直角三角形. 题型剖析 题型六、确定几何体上的最短路径问题 例6： 如图,一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10 m,高为13 m,上底面边缘C处有食物,一只壁虎在油罐外侧面,食物相对方向距底面1 m的A处,壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食,它爬行的最短路线长为多少? 解析　将圆柱形油罐的侧面展开,如图, 由题意可得AD=5 m,CD=12 m, 则AC2=122+52=169,∴AC=13 m. 答:它爬行的最短路线长为13 m. 题型剖析 题型六、确定几何体上的最短路径问题 确定几何体上的最短路径问题解题技巧 一、核心思想：转化（化立体为平面） 将几何体的表面展开，将立体图形上的路径问题，转化为平面图形上两点之间的线段长度问题。 二、核心技巧：构造直角三角形：运用勾股定理进行计算。 题型剖析 题型六、确定几何体上的最短路径问题 变式： 如图所示的是一个长方体透明玻璃鱼缸,其中AB=80 cm,高AD=60 cm,水深ED =40 cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁P处有一鱼饵,P在水面线EF上,且EP=60 cm.一只小虫想从鱼缸外的D点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁P处吃鱼饵,小虫爬行的最短路线长为　　　    .   100 cm 题型剖析 题型六、反比例函数与一次函数的综合应用 变式： 解析  由题意可得AE=BC=5米,BM=3米,EC=1米, 在Rt△MBC中,MC2=BC2-BM2=52-32=16, 所以MC=4米,所以EM=4-1=3(米), 在Rt△AEM中,AM2=52-32=16,∴AM=4米, 所以AB=AM-BM=4-3=1(米). 答:宣传牌的高度为1米.   题型剖析 题型七、利用直角三角形的判定条件 解决实际问题 例7： 某校将宣传牌(AB)放置在教室的黑板上面(如图所示).在某次数学活动中小明搬来一架梯子(AE=5米)使其顶端靠在宣传牌的A处,底端落在地板E处,然后移动梯子使其顶端落在宣传牌的B处,此时底端E向外移动了1米到达C处.已知AM⊥CM,点B,E分别在线段AM,CM上,测得BM=3米.求宣传牌的高度. 题型剖析 题型七、利用直角三角形的判定条件 解决实际问题 例7： 解析    由题意可得AE=BC=5米,BM=3米,EC=1米, 在Rt△MBC中,MC2=BC2-BM2=52-32=16, 所以MC=4米,所以EM=4-1=3(米), 在Rt△AEM中,AM2=52-32=16,∴AM=4米, 所以AB=AM-BM=4-3=1(米). 答:宣传牌的高度为1米. 题型剖析 题型七、利用直角三角形的判定条件 解决实际问题 综合应用解题步骤 一、 第一步：审题建模，构造三角形。 二、第二步：获取数据，确定三边长 三、第三步：回归实际，得出结论 题型剖析 题型七、利用直角三角形的判定条件 解决实际问题 变式： 数学社团活动课上,小组测试机器人的动能. 如图,∠AOB=90°,OA=9 dm,OB=3 dm,一个小球从点A处出 发,沿着AO方向匀速滚向点O,机器人同时从点B出发,沿直线 匀速去拦截小球,恰好在C处截住了小球,如果小球与机器人 的速度相同,均为1 cm/s,则机器人行走的时间为　　　    s.   50 题型剖析 题型七、利用直角三角形的判定条件 解决实际问题 变式： 解析：设BC=x dm,由题意知,BC=AC=x dm,则OC=(9-x)dm, 在Rt△BOC中,由勾股定理得OB2+OC2=BC2 , 即32+(9-x)2=x2 ,解得x=5, ∴BC=5 dm=50 cm,50÷1=50 s, ∴机器人行走的时间为50 s.     题型剖析 1． D 解析:∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°, ∵AO=3,BO=4,∴AB2=AO2+BO2=32+42=52, ∴AB=5,∴AC=AB=5,∴OC=5-3=2.故选D. 　 如图,直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO=3,BO=4,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AO于点C,则OC的长为(　    ) A.5　　    B.4　    C.3　　    D.2 针对训练 2． 解析:   如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是 (　    ) A.4π　　     B.8π　　     C.12π　　    D.16π 由题意可得AD2=100-36=64,∴AD=8,则以AD为直径 的半圆的面积为 π× =8π.故选B. B 针对训练 3.2002年国际数学家大会的会徽是一个“弦图”(如图1),它是由4个全等的直角三角形(不是等腰三角形)拼接而成的.如图2,在线段AE和CG上分别取点P和点Q,使AP=CQ,连接DP,BP,DQ,BQ,构成了一个“压扁”的弦图.问题:线段AE,CG上是否存在不同于端点的点P,点Q,使得“压扁”的弦图(四边形PBQD)中,4个直角三角形的面积依然满足S1=S2=S3=S4? (　    ) A.存在且唯一　　    B.存在多个 C.不存在　　     D.无法确定 C 针对训练 解析：因为△BCG≌△CDH≌△DAE≌△ABF, 所以CG=DH=AE=BF,BG=CH=DE=AF. 因为AP=CQ,所以PF=QH,易证△BPF≌△DQH, 则S2=S4,易证△BQG≌△DPE,则S1=S3. 设AP=x,AE=a,DE=b,则S1= b(a-x),S2= a(b-x), 因为a≠b,所以S1≠S2,故选C. 　 针对训练 4． C 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 (　    )   A.180°-α    B.180°-2α C.90°+α    D.90°+2α 针对训练 解析： 如图,过B点作BG∥CD,点G在小正方形的顶点上, 连接EG, ∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α. ∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34, ∴BG2+BE2=EG2, ∴△BEG是直角三角形,且∠GBE=90°, ∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α. 故选C. 针对训练 5． 如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm 的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为　　    cm.(杯壁厚度不计)   10 针对训练 5． 解析　如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作B关于EF 的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB', 由题意得DE= BB'=1 cm,AE=9-4=5 cm, ∴AD=AE+DE=6 cm, ∵底面周长为16 cm,∴B'D= ×16=8 cm, ∵AB'2=AD2+B'D2=62+82=100,∴AB'=10 cm, ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10 cm. 故答案为10. 针对训练 6． 6(cm2). 解析：将此长方形折叠,使点B与点D重合,则BE=ED. 设AE=x cm,则BE=(9-x)cm,根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2, 即32+x2=(9-x)2,解得x=4,∴AE=4 cm,∴△ABE的面积为3×4÷2=6(cm2). 如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为 _____________.   针对训练 7． “儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节, 某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,进行了如下操作:①测得水平距离BD为15米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE. (2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12米, 则他应该将风筝线往回收多少米? 针对训练 7． 解析　    (1)在Rt△CDB中, 由勾股定理得CD2=BC2-BD2=252-152=400, 所以CD=20米,所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米). 答:风筝的垂直高度CE为21.6米. (2)如图,设风筝沿CD下降至点M处, 由题意得CM=12米,∴DM=8米, ∴BM2=DM2+BD2=82+152=289,∴BM=17米, ∴BC-BM=25-17=8(米), ∴他应该将风筝线往回收8米. 针对训练 8． 如图,对任意符合条件的Rt△BAC,绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△EAD(∠BAE=90°),连接BE,延长DE、BC,交于点F,四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法. 解析　由题意可知S△ABC=S△ADE,∠BAE=∠F=90°,所以S正方形ACFD =S△ADE+S梯形ACFE=S△ABC+S梯形ACFE=S四边形ABFE=S△BAE+S△BFE,所以b2= c2 + ,整理得a2+b2=c2. 针对训练 9． 观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……;a,b,c. 请根据你发现的规律,回答下列问题: (1)当a=19时,求b,c的值. (2)当a=2n+1时,求b,c的值(用含n的式子表示). (3)用(2)的结论判断15,111,112是不是一组勾股数,并说明理由. 针对训练 9． 解析：    (1)观察题中给出的勾股数得a2+b2=c2,c-b=1,即c=b+1, ∴当a=19时,192+b2=(b+1)2,∴b=180,∴c=181. (2)由(1)知c=b+1,a2+b2=c2,当a=2n+1时,(2n+1)2+b2=(b+1)2, ∴b=2n2+2n,∴c=2n2+2n+1. (3)15,111,112不是一组勾股数. 理由:由(2)知,2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1为一组勾股数,当2n+1=15时,n=7, ∴2n2+2n=2×72+2×7=112,2n2+2n+1=113,∴15,111,112不是一组勾股数. 针对训练 ✅ 知识构建：勾股定理 定义与表达式 勾股定理的逆定理 直角三角形的判断 综合应用 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 数形结合思想：将三角形的几何形状（直角三角形）与三条边的数量关系紧密地结合在一起。 方程思想：在直角三角形中，只要知道其中任意两条边，就可以将第三条边设为未知数，代入公式建立方程。 模型思想：认识到勾股定理本身就是一个描述直角三角形三边关系的基本数学模型。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $