2.3二次根式讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

二次根式 2.3二次根式 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 算数平方根的定义 2 课前复习 平方根的定义 开平方的定义 与的性质 立方根的定义 新课探索 二次根式的概念 4 二次根式的概念 二次根式的性质 二次根式的性质 最简二次根式 最简二次根式 题型练习 二次根式的识别 求二次根式的值 6 题型练习 二次根式有意义的条件 利用二次根式性质化简 二次根式的乘除混合运算 最简二次根式的判断 化为最简二次根式 二次根式的加减运算 分母有理化 易错点 15 易错点 总结 16 总结 课前复习 算数平方根的定义 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数α就叫做a的算术平方根，记作“”,读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0,即=0. 性质： (1)正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根； (2)双重非负性，即 平方根的定义 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次 方根. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 开平方的定义 开平方 定义：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.其中，a叫做被开方数.正数a有两个 平方根，一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数.这两个平方根 合起来可以记作“士”,读作“正、负根号a”. 与的性质 性质1:(=a(a≥0). 性质2:=| a |= 立方根的定义 立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三 次方根； (2)每个数a都只有一个立方根，记为“”,读作“三次根号a”,3是这里的根指数； (3)正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数；即任意实数都有立方根. 新课探索 一、二次根式的概念 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 二次根式的两个要素： ①根指数为2; ②被开方数为非负数. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，即有意义的条件是a≥0. 二次根式也是代数式的一种. 点拨 (1)二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“”,如=2,是二次根式，2不是二次根式； (2)形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与√a的乘积，与单项式书写方式类似. 【练习】下列各式是二次根式的是( ) A B D. 答案：C、分析：A、-7<0,不是二次根式； B、当m<0时，不是二次根式； C、a²+1>0, 是二次根式； D、根指数是3,不是二次根式. 故选：C. 2、 二次根式的性质 二次根式的基本性质：双重非负性：≥0,且a≥0; ①任何非负数的算术平方根的平方等于其本身：()²=a(a≥0); ②算术平方根的意义：=|a|= ③积的算术平方根：=·,(a≥0,b≥0) ④商的算术平方根：=÷,(a≥0,b>0) 点拨 (1) 积的算术平方根的性质可推广到多个非负因数的情况， 即=×××(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0) (2)应用积的算术平方根的性质的前提条件是被开方数是乘积形式，且乘积中的每个因数(因式)必须是非负的. (3)=÷(a≥0,b>0)中的字母a,b可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式，都只有满足a≥0,b>0时才能用此性质进行化简、计算. 【练习】要使式子有意义，a的取值范围是 ( ) Aa≠0 B a>-2且a≠0 C a>-2或a≠0 D a≥-2且a≠0 答案：D、分析：a+2≥0,a不等于0,则选D. 三、最简二次根式 一般的，被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式，如,3. 即： ①被开方数中各因式的指数都为1; ②被开方数不含分母. 二次根式需同时满足这两个条件. 注意 ①化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简根式. ②最简二次根式的系数如果是分数，必须写成假分数，不能够写成带分数. 【练习】下列二次根式中，最简二次根式是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：A.= B. = D.=2 故选C 题型练习 1、 二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 2．下列代数式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义：式子()叫二次根式． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，被开方数为4，是正数，符合二次根式的定义． B．，被开方数为，是正数，符合二次根式的定义． C．，无论x取何实数值，，被开方数为非负数，符合二次根式的定义． D．，被开方数为，是负数，在实数范围内无意义，因此不是二次根式． 故选D． 2、 求二次根式的值 3．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3、 二次根式有意义的条件 5．式子有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件知识点，即二次根式的被开方数必须是非负数．解题方法是根据这一条件列出不等式，求解得出未知数的取值范围．解题关键是牢记二次根式被开方数的非负性，易错点是混淆不等式的符号，或将二次根式有意义的条件与分式有意义的条件（分母不为零）混淆． 要确定式子有意义的条件，需依据二次根式被开方数非负的性质，列出关于x的不等式，然后解这个不等式，得到x的取值范围，再据此选择正确选项． 【详解】由题意得， 解得． 故选：C． 6．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 4、 利用二次根式性质化简 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法和乘法运算，根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意； 故选：D． 8．下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对二次根式的化简，掌握开根号得到的数是非负数，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据二次根式的化简法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A. ，故A正确，不符合题意； B．，故B不正确，符合题意； C．，故C正确，不符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：B． 5、 二次根式的乘除混合运算 9．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 10．值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握根式的运算法则． 6、 最简二次根式的判断 11．下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义,掌握知识点是解题的关键． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；， D、无法化简，符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； 故选D． 12．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 7、 化为最简二次根式 13．化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 14．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 8、 二次根式的加减运算 15．计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加法，掌握算法是解决问题的关键．合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故选：C． 16．计算的正确结果是（　　） A．3 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算即可． 根据二次根式的运算，进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故选：C ． 9、 分母有理化 17．无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，无理数，分母有理化，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据倒数的意义结合分母有理化求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：D 易错点 1、被开方数非负性忽略：认为一定有意义，忽略仅当a≤0时才有意义 2、乘法法则条件遗漏：使用x=时忽略a≥0、b≥0，如对·)错误运算。 3、同类二次根式判断失误：未化简直接比较被开方数，如误认与不是同类二次根式（=2，是同类）。 4、加减运算直接合并被开方数：如误将+=，或+=（正确为3）。 总结 一、二次根式的概念 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 二次根式的两个要素： ①根指数为2; ②被开方数为非负数. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，即有意义的条件是a≥0. 二次根式也是代数式的一种. 点拨 (1)二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“”,如=2,是二次根式，2不是二次根式； (2)形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与√a的乘积，与单项式书写方式类似. 3、 二次根式的性质 二次根式的基本性质：双重非负性：≥0,且a≥0; ①任何非负数的算术平方根的平方等于其本身：()²=a(a≥0); ②算术平方根的意义：=|a|= ③积的算术平方根：=·,(a≥0,b≥0) ④商的算术平方根：=÷,(a≥0,b>0) 点拨 (2) 积的算术平方根的性质可推广到多个非负因数的情况， 即=×××(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0) (2)应用积的算术平方根的性质的前提条件是被开方数是乘积形式，且乘积中的每个因数(因式)必须是非负的. (3)=÷(a≥0,b>0)中的字母a,b可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式，都只有满足a≥0,b>0时才能用此性质进行化简、计算. 三、最简二次根式 一般的，被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式，如,3. 即： ①被开方数中各因式的指数都为1; ②被开方数不含分母. 二次根式需同时满足这两个条件. 注意 ①化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简根式. ②最简二次根式的系数如果是分数，必须写成假分数，不能够写成带分数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式 2.3二次根式 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 算数平方根的定义 课前复习 平方根的定义 开平方的定义 与的性质 立方根的定义 新课探索 二次根式的概念 二次根式的概念 二次根式的性质 二次根式的性质 最简二次根式 最简二次根式 题型练习 二次根式的识别 求二次根式的值 题型练习 二次根式有意义的条件 利用二次根式性质化简 二次根式的乘除混合运算 最简二次根式的判断 化为最简二次根式 二次根式的加减运算 分母有理化 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 算数平方根的定义 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数α就叫做a的算术平方根，记作“”,读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0,即=0. 性质： (1)正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根； (2)双重非负性，即 平方根的定义 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次 方根. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 开平方的定义 开平方 定义：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.其中，a叫做被开方数.正数a有两个 平方根，一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数.这两个平方根 合起来可以记作“士”,读作“正、负根号a”. 与的性质 性质1:(=a(a≥0). 性质2:=| a |= 立方根的定义 立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三 次方根； (2)每个数a都只有一个立方根，记为“”,读作“三次根号a”,3是这里的根指数； (3)正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数；即任意实数都有立方根. 新课探索 一、二次根式的概念 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 二次根式的两个要素： ①根指数为2; ②被开方数为非负数. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，即有意义的条件是a≥0. 二次根式也是代数式的一种. 点拨 (1)二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“”,如=2,是二次根式，2不是二次根式； (2)形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与√a的乘积，与单项式书写方式类似. 【练习】下列各式是二次根式的是( ) A B D. 2、 二次根式的性质 二次根式的基本性质：双重非负性：≥0,且a≥0; ①任何非负数的算术平方根的平方等于其本身：()²=a(a≥0); ②算术平方根的意义：=|a|= ③积的算术平方根：=·,(a≥0,b≥0) ④商的算术平方根：=÷,(a≥0,b>0) 点拨 (1) 积的算术平方根的性质可推广到多个非负因数的情况， 即=×××(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0) (2)应用积的算术平方根的性质的前提条件是被开方数是乘积形式，且乘积中的每个因数(因式)必须是非负的. (3)=÷(a≥0,b>0)中的字母a,b可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式，都只有满足a≥0,b>0时才能用此性质进行化简、计算. 【练习】要使式子有意义，a的取值范围是 ( ) Aa≠0 B a>-2且a≠0 C a>-2或a≠0 D a≥-2且a≠0 三、最简二次根式 一般的，被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式，如,3. 即： ①被开方数中各因式的指数都为1; ②被开方数不含分母. 二次根式需同时满足这两个条件. 注意 ①化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简根式. ②最简二次根式的系数如果是分数，必须写成假分数，不能够写成带分数. 【练习】下列二次根式中，最简二次根式是（） A. B. C. D. 题型练习 1、 二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列代数式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2、 求二次根式的值 3．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3、 二次根式有意义的条件 5．式子有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 6．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4、 利用二次根式性质化简 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 8．下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 5、 二次根式的乘除混合运算 9．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 10．值为（    ） A．1 B．3 C． D． 6、 最简二次根式的判断 11．下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 12．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 7、 化为最简二次根式 13．化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 14．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8、 二次根式的加减运算 15．计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 16．计算的正确结果是（　　） A．3 B． C．3 D．4 9、 分母有理化 17．无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 易错点 1、被开方数非负性忽略：认为一定有意义，忽略仅当a≤0时才有意义 2、乘法法则条件遗漏：使用x=时忽略a≥0、b≥0，如对·)错误运算。 3、同类二次根式判断失误：未化简直接比较被开方数，如误认与不是同类二次根式（=2，是同类）。 4、加减运算直接合并被开方数：如误将+=，或+=（正确为3）。 总结 一、二次根式的概念 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 二次根式的两个要素： ①根指数为2; ②被开方数为非负数. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，即有意义的条件是a≥0. 二次根式也是代数式的一种. 点拨 (1)二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“”,如=2,是二次根式，2不是二次根式； (2)形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与√a的乘积，与单项式书写方式类似. 3、 二次根式的性质 二次根式的基本性质：双重非负性：≥0,且a≥0; ①任何非负数的算术平方根的平方等于其本身：()²=a(a≥0); ②算术平方根的意义：=|a|= ③积的算术平方根：=·,(a≥0,b≥0) ④商的算术平方根：=÷,(a≥0,b>0) 点拨 (2) 积的算术平方根的性质可推广到多个非负因数的情况， 即=×××(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0) (2)应用积的算术平方根的性质的前提条件是被开方数是乘积形式，且乘积中的每个因数(因式)必须是非负的. (3)=÷(a≥0,b>0)中的字母a,b可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式，都只有满足a≥0,b>0时才能用此性质进行化简、计算. 三、最简二次根式 一般的，被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式，如,3. 即： ①被开方数中各因式的指数都为1; ②被开方数不含分母. 二次根式需同时满足这两个条件. 注意 ①化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简根式. ②最简二次根式的系数如果是分数，必须写成假分数，不能够写成带分数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $