精品解析： 重庆市开州区东华初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度东华初中初三上期数学第一次月考考试卷 考试范围：1-22章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 下列运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ） A. 调查柳江流域水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况 C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率 5. 估算的结果（ ） A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间 6. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ） A. 32 B. 29 C. 28 D. 26 8. 某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，E是正方形外一点，连接、，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，若，， 则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 10. 已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算______ 12. 已知是方程的一个根则 ______． 13. 函数的图象是抛物线，则___________． 14. 若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为________．（用“”符号连接） 15. 如图，在中，，，点D是上一点，连接，将沿折叠至，连接，，平分交于点E．若，则________，________． 16. 对于一个四位正整数M，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“得胜数”．例如：，因为，所以是个“得胜数”；又如，因为，所以不是一个“得胜数”．则满足条件的最小“得胜数”是_____．已知一个四位正整数N，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，称这个数为数N的“超越数”，记为四位正整数N与其“超越数”之差，例如：，其“超越数”为，若一个“得胜数”M的十位数字为a，百位数字为b，若是9的倍数，则满足条件的M的最大值是_____ 三、解答题（9个小题，17题8分，18题8分，19-25小题每小题10分，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , , ， 同理可得 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 20. 进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 21. 如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． （1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； （3）如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 25. 如图，已知是等边三角形，点为上一点． （1）如图，点为上一点，连接，，交于点．若，求的度数； （2）如图，若点是的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点落在的延长线上，连接，且满足，点是的中点，猜想线段，的数量关系，并证明； （3）如图，，点为上一点，点为的中点，点分别为上的动点，连接，，且满足．当取最小值时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度东华初中初三上期数学第一次月考考试卷 考试范围：1-22章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、有理数的比较大小，先求出各数的绝对值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的是； 故选：A． 2. 下列运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ） A. 调查柳江流域水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况 C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率 【答案】C 【解析】 【分析】逐项分析，找出适合全面调查的选项即可． 【详解】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意； B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意； C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意； D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查；在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 5. 估算的结果（ ） A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在和之间． 故选：D． 6. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 7. 下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ） A. 32 B. 29 C. 28 D. 26 【答案】B 【解析】 【详解】根据给出的几个图形我们可以得到黑色正方形的个数的一般规律为：2+3（n－1）=3n－1，则当n=10时，原式=30－1=29， 故选B. 8. 某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据题意得出方程，解出即可． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：， ， ，舍去， 所以，平均每月的增长率为． 故选：D． 9. 如图，E是正方形外一点，连接、，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，若，， 则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，构造等边三角形，利用全等三角形的性质得到是解答的关键．先证明是等边三角形得到，再利用勾股定理求得；作等边三角形，过C作延长于N，连接，则，，证明得到，然后利用勾股定理，结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴ 作等边三角形，过C作延长于N，连接， 则，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式的系数规律问题，理解题意，根据递减条件、相邻系数差以及取值范围的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析解答即可． 【详解】解：①由题意，当时，，，，超出范围， 则n的最大值为4，故①正确； ②当时，，可取2，1，0，有3种情况； 当时，，可取1，0，有2种情况； 当，可取0，有1种情况； 当时，可取18，19，20，有3种情况，但当时，超出范围， ∴若，则满足条件的整式有个，故②错误； ②由题意，，则， ∴，又，超出范围， ∴，，， 当时，可取9、10、11、12、13、14、15，有7种情况； 当时，可取10、11、12、13、14、15，有6种情况； 当时，可取11、12、13、14、15，有5种情况； 当时，可取12、13、14、15，有4种情况； 当时，可取13、14、15，有3种情况； 当时，可取14、15，有2种情况； 当时，可取15，有1种情况； 当时，有0种情况， 故满足条件的整式有个，故③正确； 正确的个数有2个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负指数幂的运算法则． 利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂都等于1，因此 ； 根据负整数指数幂法则，，因此； 所以原式． 故答案为． 12. 已知是方程的一个根则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13. 函数的图象是抛物线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 14. 若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为________．（用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的函数值大小，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、在二次函数的图像上，且， ∴； 故答案为： 15. 如图，在中，，，点D是上一点，连接，将沿折叠至，连接，，平分交于点E．若，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于作出辅助线，得出为正方形． 作，通过勾股定理，求出的长度，是的角平分线，得出为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作，如图， 由题得，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴四边形为正方形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得或（舍去）， ∴，即， ∴为正方形的对角线， ∴． 故答案为：；． 16. 对于一个四位正整数M，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“得胜数”．例如：，因为，所以是个“得胜数”；又如，因为，所以不是一个“得胜数”．则满足条件的最小“得胜数”是_____．已知一个四位正整数N，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，称这个数为数N的“超越数”，记为四位正整数N与其“超越数”之差，例如：，其“超越数”为，若一个“得胜数”M的十位数字为a，百位数字为b，若是9的倍数，则满足条件的M的最大值是_____ 【答案】 ①. 3012 ②. 9234 【解析】 【分析】根据四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，十位数字最小为1，千位数字最小为3；百位数字最小为0，个位数字最小为2，继而得到最小“得胜数”是3012．一个“得胜数”M的十位数字为a，百位数字为b，则千位数字，个位数字为， ，得到 ， 只需是9的倍数即可． 本题考查了新定义问题，整除，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：根据四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，十位数字最小为1，千位数字最小为3；百位数字最小为0，个位数字最小为2，继而得到最小“得胜数”是3012． 一个“得胜数”M的十位数字为a，百位数字为b，则千位数字，个位数字为， ，得到 ， 只需是9的倍数即可， 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 故当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； M的最大值是9234． 故答案为：3012，9234． 三、解答题（9个小题，17题8分，18题8分，19-25小题每小题10分，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，算术平方根和负整数指数等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简，再把化简后的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , , ， 同理可得 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【答案】（1）如下图所示，即为所求， （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了过直线上一点作已知直线的垂线、平行四边形的性质、菱形的判定． 由平行四边形的性质可知点是线段的中点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过两点作直线，即为所求； 根据平行四边形的性质可知，，根据平行线的性质可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，同理可证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，又由作图可知，从而可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于两点，过两点作直线， 直线即为所求， 连接，，，即可； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , ,， ， 同理可得， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 故答案为：，，． 20. 进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好， 理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好； （3）名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、众数、中位数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． （）根据众数、中位数的定义可求出的值，根据组人数和扇形统计图可求出的值； （）根据平均数、众数、中位数判断即可； （）分别求出八年级和九年级竞赛成绩优秀的学生人数，再相加即可. 【小问1详解】 解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名， 又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85， ∴中位数， ∵九年级组成绩学生数有名， ∴九年级组成绩的人数占比为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名． 21. 如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【小问1详解】 解： 在和中 【小问2详解】 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练运用这些知识解决问题是关键． 22. 如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． （1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】（1）36元 （2）20元；2880元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识，正确建立一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元，每天可以售出 ，所以此时商场平均每天要盈利元 ，根据商场平均每天要盈利为1600元列出方程求解即可； （2）设商场平均每天盈利y元 ，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为 ： ，用“配方法”求出该函数的最大值 ，并求出降价多少即可． 【小问1详解】 解 ：设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元 ，每天可以售出， 由题意 ，得： ， 即 ：， 解得： ， 为了扩大销售量 ，增加盈利 ，尽快减少库存 ，所以x的值应为36． 答：若商场平均每天要盈利1600元 ，每件衬衫应降价36元． 【小问2详解】 解 ：设商场平均每天盈利y元 ，每件衬衫应降价x元 ， 由题意 ，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元． 答：该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价20元，盈利最大是2880元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； （3）如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出、坐标，进而求出直线解析式为；设，则，可得，则当，即时，的长度最大；如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则，当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）求出，则将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，即新抛物线解析式为，如图所示，过点作轴于，可推导证明，则，据此可求出直线解析式为，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入中得， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中， 当时， 解得或， 当时，， ，； 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； 设，则， ， 当，即时，的长度最大， ， 此时点的坐标为， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：，， ，， ， 将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为； 如图所示，过点作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 轴，即， ， 同理可得直线解析式为， 可设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为或． 25. 如图，已知是等边三角形，点为上一点． （1）如图，点为上一点，连接，，交于点．若，求的度数； （2）如图，若点是的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点落在的延长线上，连接，且满足，点是的中点，猜想线段，的数量关系，并证明； （3）如图，，点为上一点，点为的中点，点分别为上的动点，连接，，且满足．当取最小值时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）的长为． 【解析】 【分析】（）由是等边三角形，则，，然后证明，所以，再由三角形外角性质即可求解； （）如图，在上截取，连接，作，在上截取，连接，，证明，则有，由是的中点，所以，再证明，故有，，则有点三点共线，由旋转性质可知，，，，得是等边三角形，从而有，，然后通过中位线定理可得； （）过作于点，作，交延长线于点，则，由是等边三角形，则，，得，，则有，证明，所以，，即，，取中点，连接，证明，所以，即有，当，，三点共线时，有最小值，即有最小值，过作于点，则，证明，所以，设，则，，求出的值，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由， 证明：如图，在上截取，连接，作，在上截取，连接，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点三点共线， 由旋转性质可知，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在上截取， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，作，交延长线于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， 如图，取中点，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴当，，三点共线时，有最小值，即有最小值， 如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $