15.4.3含30°角的直角三角形的性质(教学课件)数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，通过折叠等边三角形纸片和摆放三角尺引入，衔接等边三角形与直角三角形知识，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养几何直观，用补短法、截长法发展推理意识，结合轮船航行等实际问题强化应用意识。学生能深化定理理解与应用，教师可借助多样化练习提升教学效率。

15.4.3 含30°角的直角三角形 的性质 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 沪科版2024·八年级上册 A B C D 问题 1 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示， 你有什么发现？ 探究新知 等边三角形变成一个含30°角的直角三角形 30° 问题 2 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ C A B 探究新知 30° BC= 1 2 AB 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 你能证明吗？ 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. A B C D 1 2 求证：BC = AB． 验证猜想 证明： 延长 BC 到 D， 使 BD=AB， 连接AD ∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30° ∴ ∠B =60° ∴ △ABD 是等边三角形 ∴ BC = BD，　　 且 BD=AB ∴ BC = AB　 补短法 A B C D 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 1 2 求证：BC = AB． 验证猜想 证明： 在 BA上截取 BD=BC， ∴ ∠B= 60° 且 BD=BC ∵ ∠C =90°，∠A =30° ∴ △BCD是等边三角形 ∴ ∠BDC=60°， ∴ ∠DCA= ∴ AD=DC ∴ AD=BC ∠BDC-∠A =30° BC=DC 连接DC =2BC 又∵ AB=AD+BD ∴ BC= 1 2 AB 截长法 归纳总结 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 定理： ∵ ∠C =90°，∠A =30° A B C 几何语言： ∴ BC= 1 2 AB 30° （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.） 或 AB=2BC 知识拓展： ① 适用条件: ①必须在直角三角形中 ② 有一个锐角为30° 二者缺一不可 ② 作用： 这个性质主要用于计算线段的长度或证明线段的倍数关系. 归纳总结 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 定理： ∵ ∠C =90°，∠A =30° A B C 几何语言： ∴ BC= 1 2 AB 30° （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.） 或 AB=2BC 使用要点 找准30°的角所对的直角边和斜边 1、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量∠ABC＝30°，则树高为（　　） A．6 m B．9 m C．10 m D．12 m B 巩固练习 变式 1 如图，Rt△ABC 中，∠A= 30°，AB+BC=12cm， 则 AB=______. 8 A C B 变式 2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=8，则 BD=（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 A 变式 4 如图，在 △ABC 中，AB=BC，∠B=120°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D．若 AC=6cm，则 AD= cm． 2 变式 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点E，若 BD=20cm，则 AC的长为 . 10cm 2、如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm C 3、已知，如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，∠A=30°．求证：BD= AB 1 4 4、如图，一艘轮船早上 8 时从点 A 向正北方向出发，小岛 P 在轮船的北偏西 15° 方向．轮船每小时航行 15 海里，11 时轮船到达点 B 处，小岛 P 此时在轮船的北偏西 30° 方向. (1) 求此时轮船距小岛为多少海里？ (2) 在小岛 P 的周围 20 海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由． 15° 30° 45海里 解：(1)∵ ∠PAB=15°，∠PBC=30° ∵ ∠APB=30°-15°=15° ∴ PB=AB 15° ∵ AB=15×(11-8)=45 (海里) ∴ PB=45 (海里) 即 此时轮船距小岛为 45 海里 4、如图，一艘轮船早上 8 时从点 A 向正北方向出发，小岛 P 在轮船的北偏西 15° 方向．轮船每小时航行 15 海里，11 时轮船到达点 B 处，小岛 P 此时在轮船的北偏西 30° 方向. (1) 求此时轮船距小岛为多少海里？ (2) 在小岛 P 的周围 20 海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由． 15° 30° 45海里 解：(2) 过 P 点作 PD⊥BC 交 BC 于 D ∵ 在 Rt△PBD 中，∠PBD=30°，PB=45 15° D ∴ PD= PB 1 2 = ×45 1 2 =22.5(海里) ∴ 轮船继续向前航行，不会有触礁危险. ∵ 22.5＞20 22.5海里 （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.） 30° 15° 5、 已知:等腰三角形的底角为15°，腰长为 20. 求腰上的高. A C B D 15° 方法总结：有些题目中，但给出的角为 15° 时，往往运用一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，转化出含 30° 角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质来解决问题. 解： 过点 C 作 CD⊥BA，交 BA 延长线于点 D ∵ ∠B=∠ACB=15° ∴ ∠DAC= ∠B+∠ACB = 15°+15°=30° ∴ CD= 1 2 AC 1 2 = ×20 又∵ CD⊥BA，AC=20 =10 变式：某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的 △ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知 ∠A＝150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要( ) A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元 B 30° D 150° 证明：（1）∵ BE＝CE，ED⊥BC ∴ BD＝CD（等腰三角形的三线合一） （2）∵ ∠A＝90° ∴ ∠B+∠BCE+∠ACE＝90° ∵ BE＝CE＝4 ∴ ∠B＝∠BCE ∵ CE平分∠ACB ∴ ∠BCE＝∠ACE ∴ ∠B＝∠BCE＝∠ACE＝30° ∴ 6、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE平分∠ACB，且BE＝CE， （1）过 E 作 ED⊥BC 垂足为D，求证：BD＝CD； （2）若 BE＝4，求AE的长． 17 17 7、如图，已知 AD，AE 分别是 △ABC 的高和角平分线，∠CAB＝90°． （1）∠B＝60°，求∠DAE； （2）若 AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，求 AD 的长． 分析：（1）根据角平分线及高线的定义，求出 ∠BAE 和 ∠BAD 的度数，据此可解决问题； （2）利用面积法即可解决问题． 18 18 8、如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长． 解：延长AD、BC交于E ∵ ∠A＝30°，∠B＝90° ∴ ∠E＝60° ∵ ∠ADC＝120° ∴ ∠EDC＝60° ∴ △EDC 是等边三角形 设CD＝CE＝DE＝x ∵ AD＝4，BC＝1 ∴ 2（1+x）＝x+4 解得 x＝2 ∴ CD＝2 E 19 19 本节课你有什么收获？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 定理： ∵ ∠C =90°，∠A =30° A B C 几何语言： ∴ BC= 1 2 AB 30° （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.） 或 AB=2BC 知识拓展： ① 适用条件: ①必须在直角三角形中 ② 有一个锐角为30° 二者缺一不可 ② 作用： 这个性质主要用于计算线段的长度或证明线段的倍数关系. 感谢聆听! $