15.4.1等腰三角形的性质(教学课件)数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，通过补短法与截长法证明猜想导入，搭建从具体推理到抽象定理的学习支架，衔接三角形内角和与等边三角形性质旧知。 其亮点在于以多样证明培养推理能力，借变式练习（如外角转化、垂直平分线应用）发展几何直观，结合台风折树、轮船触礁等现实问题强化应用意识，助力学生深化数学思维，为教师提供结构化教学资源。

15.4.1 等腰三角形的性质 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 沪科版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 经历操作、发现、猜想、证明的过程,培养学生的逻辑思维能力; 掌握等腰三角形的性质1,2及其推论; 运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算. 等腰三角形 概念回顾 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 . 等腰三角形中， 相等的两边叫做 腰， 腰 腰 底边 底角 底角 顶 角 第三边叫做 底边. 两腰的夹角叫做 顶角， 腰与底边的夹角叫做 底角. A B C 概念回顾 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 . 等腰三角形是一类特殊的三角形.等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？ 腰 腰 底边 底角 底角 顶 角 A B C 底边上的中线所在的直线是它的对称轴. 操 作 A B C D 画一个等腰三角形ABC，如下图， 把边 AB 叠合到边 AC 上， 这时点 B 与点 C 重合， 并出现折痕 AD. 图中哪些线段或角相等？ 观察图形： △ADB 与 △ADC 有什么关系？ 等腰三角形是轴对称图形， 等腰三角形具有对称性： 猜 想 操 作 A B C D AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠BAD=∠CAD ∠BDA=∠CDA =90° 猜想 1：等腰三角形的两底角相等 AD 为底边上的中线 AD 为顶角平分线 AD 为底边上的高 猜想 2： 等腰三角形的 顶角平分线、 互相重合 底边上的中线、 底边上的高 猜想 2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. A B C D 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明： 过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 于点 D 则 ∠ADB ＝∠ADC＝90° 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中 ∵ AB＝AC (已知) AD＝AD (公共边) ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (HL) ∴ ∠B＝∠C (全等三角形对应角相等) 猜想 1：等腰三角形的两底角相等 验证猜想 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 证明： 取 BC 的中点，连接AD 则 BD=CD 在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=CD AD=AD ∵ (公共边) ∴ △ABD≌△ACD ∴ ∠B=∠C (SSS) (全等三角形对应角相等) 猜想 1：等腰三角形的两底角相等 验证猜想 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 证明： 作顶角 ∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D 则 ∠BAD=∠CAD 在△ABD与△ACD中 AB＝AC ∠BAD=∠CAD AD＝AD (公共边) ∵ ∴ △ABD≌△ACD ∴ ∠B＝∠C (SAS) (全等三角形对应角相等) 猜想 1：等腰三角形的两底角相等 验证猜想 等腰三角形的性质 A B C 定理 1： 等腰三角形的两个底角相等. 简称“等边对等角” 几何语言： ∵ 在 △ABC 中，AB=AC ∴ ∠B=∠C (等边对等角) 知识拓展： ① 适用条件： 必须在同一个三角形中. ② 作用： 是证明角相等的常用方法，应用它证角即可省去三角形全等的证明，因而更简便. 验证猜想 猜想 2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. A B C D 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD. 求证： BD=CD ∠BDA=∠CDA=90°， 证明： 在 △ABD 与 △ACD 中 AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD ∵ (公共边) ∴ △ABD≌△ACD ∴ BD=CD， (SAS) ∠BDA=∠CDA 又∵ ∠BDA+∠CDA=180° ∴ ∠BDA=∠CDA=90° 等腰三角形的性质 定理 2： 顶角平分线、 互相重合. 底边上的中线、 底边上的高 等腰三角形的 简称“三线合一” 即 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 A B C D 思考： 在等腰三角形中，若出现“三线”中的“一线”，我们应该想到什么？ 知一得二 等腰三角形的性质 定理 2： 顶角平分线、 互相重合. 底边上的中线、 底边上的高 等腰三角形的 简称“三线合一” 即 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 A B C D 几何语言： ① ∵ 在△ABC中，AB＝AC， ② ∵ 在△ABC中，AB＝AC， ∠BAD＝∠CAD ∴ BD＝CD， AD⊥BC ∴ ∠BAD=∠CAD ， AD⊥BC BD＝CD (三线合一) (三线合一) ③ ∵ 在△ABC中，AB＝AC， BD=CD ∴ ∠BAD=∠CAD ， AD⊥BC (三线合一) 等腰三角形的性质 定理 2： 顶角平分线、 互相重合. 底边上的中线、 底边上的高 等腰三角形的 简称“三线合一” 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 即 A B C D 知识拓展： ① 适用条件： (1) 必须是等腰三角形 (2) 必须是顶角的平分线、底边上的中线 和底边上的高才互相重合. ② 作用： 是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 “三线合一”必须是等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合 为什么不一样? A B C A B C 问题 1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC ∠A=∠B=∠C=60° 探究新知 猜想 3：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 已知：AB=AC=BC. 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. A B C 证明： ∵ AB=AC=BC ∴ ∠B=∠C，∠A=∠C (等边对等角) ∴ ∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° (三角形的内角和等于180°) 验证猜想 猜想 3：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 归纳总结 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 等边三角形的性质 A B C 几何语言： ∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C=60° AB=AC=BC A B C A B C 问题 2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 顶角的平分线、底边上的高 底边上的中线 三线合一 知识拓展： ① 等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线都“三线合一”. ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质. 巩固练习 1、若等腰三角形的底角是40°，则其顶角为_______. “分类讨论”思想的运用 100° 3、若等腰三角形的一个内角是100°，则另外两个角 分别为__________________. 40°、40° 2、如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于 . 20°或50° 4、已知：如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120º，点 D ，E 是底边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE，求 ∠DAE 的度数. A B C D E 解： ∵ AB＝AC，且 ∠BAC＝120º ∴ ∠B＝∠C (等边对等角) ∴ ∠B＝∠C = ×(180°-120°) 1 2 =30° ∵ BD＝AD，CE＝AE (已知) ∴ ∠BAD＝∠B=30° ∠CAE＝∠C=30° (等边对等角) ∴ ∠DAE＝ ＝120°-30°-30° ＝60° ∠BAC -∠BAD -∠CAE 解： ∵ ∠BAC＝120° ∴ ∠B+∠C=180°-∠BAC=60° (已知) ∵ BD＝AD，CE＝AE (已知) ∴ ∠BAD＝∠B， ∠CAE＝∠C (等边对等角) ∴ ∠DAE＝ ∴ ∠BAD+∠CAE=60° ∠BAC -(∠BAD+∠CAE) ＝120°-60° ＝60° 变式：已知：如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120º，点 D ，E 是底边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE，求 ∠DAE 的度数. A B C D E 5、如图所示，在 △ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于 D，E，垂足分别是 M，N． (1) 若 △ADE 的周长为 6，求 BC 的长； (2)若 ∠BAC=100°，求 ∠DAE 的度数． 然后根据等腰三角形的性质 及三角形的外角和内角之间的关系， 6、 如图，在 △ABC 中 ，AB=AC，点 D 在 AC 上，且BD=BC=AD，求 △ABC 各角的度数. 求出未知数. 分析： 当已知条件中 没有一个已知度数的角 而又要求角的度数时， 一般采用方程思想来解决， 设未知数时， 一般设较小的角的度数为 x . 用含未知数的代数式表示出一个三角形的内角的度数， 再利用三角形的内角和等于180°列出方程， x A B C D 2x 2x 2x x (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) 6、 如图，在 △ABC 中 ，AB=AC，点 D 在 AC 上，且BD=BC=AD，求 △ABC 各角的度数. 解： ∵ BD=AD ∴ ∠BDC 设 ∠A=x ∴ ∠ABD=∠A =x ∵ BD=BC (等边对等角) =∠ABD+∠A =2x x A D 2x 2x x ∴ ∠C=∠BDC=2x (等边对等角) C 2x ∵ AB=AC B ∴ ∠ABC=∠C =2x 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴ x+2x+2x=180° (等边对等角) (三角形的内角和等于180°) 解得 ∴ ∠A=36°， ∠C x=36° =2x =72° A B C D E 变式：如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在 AC，AB 边上，且 BC=BD，AD=DE=EB，求 ∠A 的度数. x x 2x 2x 3x 3x 7、如图所示，已知点 D，E 在 △ABC 的边 BC 上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE. 证明： 过 A 点作 AF⊥BC， 垂足为 F. ∵ AB＝AC， AF⊥BC ∴ BF＝CF F ∵ AD＝AE， AF⊥BC ∴ DF＝EF ∴ BF－DF＝CF－EF 即 BD＝CE (三线合一) (三线合一) 方法总结： 作等腰三角形的顶角平分线、 等腰三角形中常见的添辅助线的方法是什么？ 底边上的中线 等腰三角形中常见的添辅助线的方法是： 和底边上的高. 使点A与点A′、点C与点C′重合， 8、求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. A C B A' B' C' 点B和点B'在AC的两侧. 证明： 在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C', ∴ ∠BCB'=90°+90°=180° ∵ ∠ACB＝∠A'C′B'＝90º ∴ B，C，B'三点在一条直线上 (等式的性质) (平角的定义) ∵ 在△ABB'中，AB=A'B' ∴ ∠B=∠B' (等边对等角) 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中 ∠ACB＝∠A'C′B' ∠B=∠B' AB＝A'B' ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS) ∠C＝∠C′＝90º， AB＝A′B′，AC＝A′C′. (已知) (已证) (已知) 9、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解： ∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠ABC＝∠ACB＝60° ∵ ∠ABE＝40° ∴ ∠EBC＝∠ABC－∠ABE ∠ACB－∠D ＝20° ∵ BE＝DE ∴ ∠D＝∠EBC＝20° ∴ ∠CED＝ (等边对等角) ＝40° 10、△ABC 为正三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是CA 边上任意一点，且 BM＝CN，BN 与 AM 相交于 Q 点，∠BQM 等于多少度？ ∴ ∠BQM＝60° 解： ∵ △ABC为正三角形 ∴ ∠ABC＝∠C＝60°， AB＝BC 在 △ABM 和 △BCN 中 ∵ ∠ABC＝∠C AB＝BC BM＝CN ∴ △AMB≌△BCN (SAS) ∴ ∠BAM＝∠CBN ∴ ∠ABQ＋∠BAM＝60° 又∵ ∠ABQ＋∠CBN＝60° 11、A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置． A B 分别以 A、B、C 为顶角顶点来分类讨论！ 8个 这样分类就不会漏啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 变式：如图，直线 a、b 相交于点 O，∠1=50°，点 A 在直线 a 上，直线 b 上存在点 B，使以点 O、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的 B 点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 本节课你有什么收获？ 等腰三角形的性质 定理 1： 等腰三角形的两个底角相等. 简称“等边对等角” 定理 2： 顶角平分线、 互相重合. 底边上的中线、 底边上的高 等腰三角形的 简称“三线合一” 即 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 等边三角形的性质 ① 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. ② 等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线都“三线合一” ③ 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质. 等腰三角形中常见的添辅助线的方法是： 作等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高. 感谢聆听! $