精品解析：海南省部分学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

2025—2026学年高三年级第二次月考 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数与导数． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -3 B. 2 C. 3 D. 5 3. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，, ，则“”是“有两解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）已知函数，则（ ） A. 的图象为中心对称图形 B. 有且仅有1个零点 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________． 13. 如图，在梯形ABCD中，，点M是线段BC上靠近点B的四等分点，若，则________． 14. 已知且，若，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 16. 已知函数的最小正周期为，且过点． （1）求的值； （2）求函数在上的值域． 17. 已知，，完成下列问题： （1）若，求取得最小值时m，n的值； （2）若，求的最小值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值； （3）已知实数，讨论关于x的方程的解的个数． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． （ⅰ）求证：是直角三角形； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三年级第二次月考 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数与导数． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集定义即可得. 【详解】由，，故. 故选：B. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -3 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C. 3. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可． 【详解】终边过点， 则， ， 故选：A． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 5. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦型函数的对称中心即可求解. 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 6. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 7. 在中，, ，则“”是“有两解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，再利用导数可得函数单调性，利用函数单调性即可得解. 【详解】令，则， 故在上单调递增，故， 则，故， ，故， 故有，即. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得或，进而有或，结合幂函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由是幂函数，则， 所以或，故或，A错， 所以或，B对， 显然、都是偶函数，C对， 由，而，故，D对. 故选：BCD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D应用特殊值比较大小判断；B由不等式性质判断；C作差法判断. 【详解】A：若，则，故A错； B：由，则，故B对； C：， 由，，故，则，故C对； D：若，则，故D错. 故选：BC 11. （多选题）已知函数，则（ ） A. 的图象为中心对称图形 B. 有且仅有1个零点 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，则，进而根据为奇函数，并结合图象平移即可判断A；利用导数研究函数的单调性，进而根据零点存在性定理判断B；根据函数的单调性并结合得，进而解不等式即可判断C；将问题转化为，进而根据的奇偶性与单调性求解即可判断D. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以为奇函数，图象关于点对称， ， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 因为，所以 所以函数在上单调递减， 对于A，因为图象为函数图象向上平移3个单位得到， 所以的图象关于点对称，即的图象为中心对称图形，故A正确； 对于B，因为图象可由函数的图象向上平移3个单位得到， 则函数在上单调递减， 又，，有且仅有1个零点，故正确； 对于C，因为，所以， 因函数在上单调递减，则得，即，解得：， 所以，当，实数的取值范围为，故C正确； 对于D，由得， 因为为奇函数，所以， 因函数在上单调递减，则，解得，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造函数，得，进而利用结合单调性，奇偶性依次讨论各选项即可. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】由题意可得， 所以的虚部为. 故答案为： 13. 如图，在梯形ABCD中，，点M是线段BC上靠近点B的四等分点，若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用平面向量的基底表示求解即可，先选择作为基底，然后再选择作为基底表示，从而求出结果. 【详解】， 故答案为：2. 14. 已知且，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简得，再由角的范围即可确定，再用诱导公式化简求值即可. 【详解】， ， 因为，所以， 化简得，所以，即， 因为且，所以且， 所以且，所以， . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】 【分析】（1）由题意得，解出即可； （2）由（Ⅰ）得，利用导数研究单调性即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 由（Ⅰ）得， 则， 令，解得，又， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 16. 已知函数的最小正周期为，且过点． （1）求的值； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1），． （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数的周期求出的值，再利用函数过点求出； （2）利用正弦型函数的单调性结合所给条件求解即可. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为， 所以，又， 所以解得：， 由， 所以或 又，所以当时，代入， 有：． 【小问2详解】 由（1）得，又， 所以令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故在上的值域为． 17. 已知，，完成下列问题： （1）若，求取得最小值时m，n的值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1），； （2）6. 【解析】 【分析】（1）由条件得，再代入所求式子用基本不等式可解得； （2）由条件用基本不等式构造一个关于的一元二次不等式，解不等式可得. 【小问1详解】 由，可得且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故当取得最小值时，，． 【小问2详解】 由，得， 即，解得或. 因，，故舍去，所以. 当且仅当时等号成立，故的最小值为6． 再由，解得，. 故，时的最小值为6． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值； （3）已知实数，讨论关于x的方程的解的个数． 【答案】（1） （2）极大值，无极小值 （3） 当时，关于x的方程有两个解； 当时，关于x的方程有一个解. 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，进而可得函数的极值； （3）由题意可得：，构建，，利用导数分析函数的单调性和图象，结合图象分析方程的根的个数. 【小问1详解】 由题意可得：函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）可知：，， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数有极大值，无极小值． 【小问3详解】 因为，即，等价于， 显然不是方程的根，可得， 构建，，则， 当且仅当时，等号成立， 可知在和内单调递增， 若，当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于； 若，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 画出函数的大致图象如图所示， 且，由图像可知： 当时，直线与的图象有两个交点，即关于x的方程有两个解； 当时，直线与的图象有一个交点，即关于x的方程有一个解. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． （ⅰ）求证：是直角三角形； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ） 若向量共线，且，， 则，即， 可得， 则， 因为，则，可知，， 可得，即，可得， 且，则，可得， 则，所以是直角三角形； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量的坐标运算求夹角的余弦值； （2）（ⅰ）由向量平行可得，利用三角恒等变换可得，进而分析证明；（ⅱ）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，换元，根据正弦函数、二次函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 若，，则，， 可得，，， 则， 所以向量夹角的余弦值为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知：， 由正弦定理得： ， 令， 因为，则，， 可得，且， 则， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 可知在区间内单调递增，且，， 可得，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $