4.3对数（2）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦对数运算性质及换底公式，通过导问引领搭建学习支架，以具体问题（如求对数值找联系推导性质、国民生产总值增长问题引出换底公式）引导学生自主探究，衔接对数定义，形成从具体到抽象的认知脉络。 以核心素养为导向，通过“导问-探究-应用-总结”环节强化逻辑推理（性质与换底公式推导）和数学运算（“收”“拆”化简策略），结合地震能量、经济增长等实际问题培养数学建模能力，课堂检测分层设计，助力学生掌握方法，提升用数学思维解决问题的能力。

4.3 对数（2） 【学习目标】 1.掌握对数的运算性质，理解其推导过程和成立条件.(逻辑推理) 2.掌握换底公式及其推论.(逻辑推理) 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值，(数学运算) 【重点难点】 重点：对数的运算性质及换底公式 难点：换底公式 【导问引领，新知生成】： 我们知道 ，那么 logₐ(M ,且a≠1)正确吗？ 问题1：求下列三个对数的值: log₂32= ，log₂4= ,log₂8= . 你能发现这三个对数的真数及对数值之间有哪些内在联系吗？推广到一般情形，能得到什么结论？试利用指数幂的运算性质推导你的结论。 我们不妨设：，，则 ,将三个指数式化为对数式得： ， 从而，可得： 。 利用指数幂的其他运算性质可得到什么结论？ 1、对数的运算性质：若，则： （1） （2） （3） 【思考探究，新知升华】 你是否能用简单的方法巧记对数的这三条运算性质？ (1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差； (3)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 能否更简短些？ （留着学生发挥） 【展示交流，新知应用】： 例题1.求下列各式的值： （1） （2） （3） 巩固练习： ； ； 。 例题2：用表示（1），（2） ， （3） 【方法总结，新知升华】：对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则 对数式的化简与求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行。 (2)两种常用的方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的 两对数的和(差)。 【导问引领，新知生成】 问题2：2022年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%. ①经过x年，国民生产总值是多少? ②那么经过多少年后国民生产总值是2022年的2倍? ③若lg 2≈0．3010，lg 1．08≈0．0334，如何计算x=log₁.082呢？(精确到１年) 类似问题，如何用求呢？ 我们不妨设，则化为指数式为： ，思考，同一个数的对数一定相等，你能得到什么结论？再利用幂的对数性质得到 ，进而得到下面结论。 2、对数的换底公式：，且， 【思议探究，新知升华】 利用换底公式换底公式你还能得到什么结论？试推导下面结论： (1) 推论一：.（） 此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. (2)推论二：，（； (3)推论三：（，此公式表示底数变为原来的 m次方，真数变为原来的 n次方，所得的对数值等于原来对数值的 倍。 【展示交流，新知应用】： 例题3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为, 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 例题4. (1)计算:(log₄3+log₈3)（log₃2+log92）= ； (2)已知log₁₈9=a,18ᵇ=5,求 log₃₆45.(用a,b表示)。 【方法总结，新知升华】：利用换底公式化简与求值的思路： 思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算 换成同一底数； 思路二：一次性换为常用对数（或自然对数） 化简、通分、求值。 【课堂检测】： 1.已知，求下列各式的值： （1）lg6 （2） （3） （4） 2.求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 3.某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？ 4. 已知: 且 则t=( ) B. C.36 D.6 5. 如果log₈a+log₄b²=5,log₈b+log₄a²=7,求log₂(ab)的值 学科网（北京）股份有限公司 $