4.4.3不同函数增长的差异学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§ 4.4.3　不同函数增长的差异【导学】

导学目标：

1．尝试将实际问题转化为函数模型．

2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．

3．会根据函数的增长差异选择函数模型．

三种函数模型的增长规律	(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
	(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
	(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
不同函数模型的选取标准	(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
	(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
	(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
	(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

【典型例题】

题型一　函数模型的增长差异

【例1-1】下列函数中，增长速度最慢的是(　　)

A．y＝3x B．y＝log2x

C．y＝x3 D．y＝4x

【例1-2】有一组数据如下表：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

A．v＝log2t                            

C．v＝       D．v＝2t－2

 

 

【例1-3】甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　 　)

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多

C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点

 

 

【例1-4】(链接教材P150T5)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

  方案一：每天回报40元；

  方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

  方案三：第一天回报0.4元，以后每天比前一天翻一番。

 请问，你会选择哪种投资方案？

 

 

【例1-5】甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为.给出以下结论:

①当x>1时,乙总走在最前面;

②当0<x<1时,丙走在最前面,当x>1时,丙走在最后面;

③如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.其中所有正确结论的序号是　　　　. 

 

 

题型二　函数模型的选取

不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．

(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．