4.4.3不同函数增长的差异学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 § 4.4.3　不同函数增长的差异【导学】 导学目标： 1．尝试将实际问题转化为函数模型． 2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异． 3．会根据函数的增长差异选择函数模型． 三种函数模型的增长规律 (1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)． (3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn. 不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 【典型例题】 题型一　函数模型的增长差异 【例1-1】下列函数中，增长速度最慢的是(　　) A．y＝3x B．y＝log2x C．y＝x3 D．y＝4x 【例1-2】有一组数据如下表： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．v＝log2t C．v＝ D．v＝2t－2 【例1-3】甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　 　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【例1-4】(链接教材P150T5)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 【例1-5】甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为.给出以下结论: ①当x>1时,乙总走在最前面; ②当0<x<1时,丙走在最前面,当x>1时,丙走在最后面; ③如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.其中所有正确结论的序号是　　　　.  题型二　函数模型的选取 不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 【例2-1】(多选题)已知函数f(x)=2x, g(x)=lox ,h(x)=x-1,则在区间(0,+∞)上(　　) A.f(x)的递增速度越来越快 B.g(x)的递减速度越来越慢 C.h(x)的递减速度越来越慢 D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 【例2-2】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长8.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 【例2-3】某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只. 【例2-4】(链接教材P154练习T1)某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2+bx+c，乙选择了模型y＝pqx+r，其中y为患病人数，x为月份a,b，c,p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为选择哪种模型更符合实际？ 【例2-5】函数f(x)＝log2x, g(x)＝log3x, h(x)＝log5x 的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 第四章 指数函数与对数函数 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【例2-6】设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $